Die historische Erforschung der Zahlen

Moderator: Sculpteur

Die historische Erforschung der Zahlen

Beitragvon Sculpteur » 05.01.2024 12:11

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Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen (1): Die Fibonacci-Zahlen
Mit den Eigenschaften von Zahlen setzt sich der Mensch seit der frühen Entwicklung der Mathematik und der Erfindung des Zählens auseinander. Schon die alten Mesopotamier und alten Ägyptern verfügten über ein umfangreiches mathematisches Wissen [FIL1].
Bereits die alten Griechen verfügten über ausführlicherere Erkenntnisse über Zahlen und deren Eigenschaften und setzen diese Erkenntnisse in universelle logische Schlussfolgerungen um. Damit etablierten u.A. die alten Griechen eine umfassendere Logik, die bis heute hilft, sich z.B. mathematischen Fragestellungen anzunähern [FIL1].
Ein Forschender, der die Möglichkeiten der logischen Analyse mit einer dezidierten Naturbeobachtung verband, war der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa, vermutlich 1180-1250) [Reiss, 2005,45-46].

[ZITAT]:
Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.
Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge in der Natur beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

Mit den sog. Fibonacci-Zahlen ist heute üblicherweise eine besondere Zahlenreihe (ℕ = natürliche Zahlen) benannt, die entsteht, wenn folgende Rechenoperation stetig wiederholt wird: Ausgangsbasis der verketteten Rechenoperation ist die erste Summierung der beiden Grundglieder mit dem gleichen Zahlenwert 1 und 1. Dabei lautet die Folge-Rechenregel, jeweils das nächste sich ergebende Glied als Zahlenwert mit dem vorherigen wieder zu einer neuen (nachfolgenden) Summe zu summieren. So entsteht schließlich die Reihe der Fibonacci-Zahlen:

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
usw. usf.

Die Fibonacci-Folge in ℕ lautet demnach:
F(1 ... ∞) ∈ ℕ = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...}

Bei den Fibonacci-Zahlen handelt es sich also um eine in rekursiver Hinsicht "duale" Zahlenreihenentwicklung (zwei Elemente werden durch Addition jeweils zum Glied summiert).

Fibonacci-Zahlen sind u.A. für Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter u.a.; aber auch für die Experimentalarchäologie und Kunsthistorik interessant: die Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen liefert handfeste und einfach umzusetzende "Rezepturen" für die angewandte Gestaltungspraxis. Hervorzuheben ist dabei die gemeinhin bekannte sehr starke Nähe der Fibonacci-Zahlenreihen zum Prinzip des sog. Goldenen Schnitts. Damit ist eine Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen stets dann interessant, wenn gestalterische Produkte der Vergangenheit beforscht und im Hinblick auf angewendete Gestaltungspraxis untersucht werden. Dies weil davon auszugehen ist, dass Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) bestimmter Epochen nicht in jedem Fall zu z.B. Zirkel und Reichtscheit (bzw. Lineal) o.ä. griffen um etwa Proportionen in Anlehnung an den Goldenen Schnitt zu gestalten (sofern ableitbare gestaltete Proportionen die dem Goldenen Schnitt nahekamen, keine intuitiven, erfahrungsbasierten oder zufälligen Produkte waren; wie dies etwa beim freihändigen Zeichnen der Fall sein kann). Vielmehr ist naheliegender davon auszugehen, dass sich die gestaltenden bzw. mit gestalterischen Fragestellungen sich auseinandersetzenden Menschen der Vergangenheit für die konstruierende Erzeugung von Proportionen vielfach einfacher Näherungsformeln (als "Faustformeln") bedienten, womit die Fibonacci-Zahlen sehr interessant in dieser Hinsicht werden: um den Goldenen Schnitt (in zahlreichen Variationen) - z.B. für den Entwurf und die Herstellung etwa einer Bildfläche oder eines Möbelstücks (um nur zwei von vielen möglichen Beispielen zu nennen) - zu konstruieren und zu nutzen, genügt es, sich zweier direkt aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe zu bedienen (Ausnahme sind hierbei die zweite und die dritte Fibonacci-Zahl mit 1 und 2. Durch die Duale Kombination zweier (spezifischer) direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Näherungs-Faustformel für den Goldenen Schnitt) ist eine Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts -mit Ausnahmen- automatisch gegeben, z.B. für:
(gerundete Werte)
34 : 21 = 1,61904762 : 1 und 21 : 34 = 0,617647059 : 1
21 : 13 = 1,61538462 : 1 und 13 : 21 = 0,619047619 : 1
13 : 8 = 1,625 : 1 und 8 : 13 = 0,615384615 : 1
8 : 5 = 1,6 : 1 und 5 : 8 = 0,625 : 1
5 : 3 = 1,66(periode)* : 1 und 3 : 5 = 0,6 : 1

Die Proportion 5 : 3 lässt sich dabei unter Verwendung des sog. pythagoreischen Tripels 3 : 4 : 5 auf einfache Art und Weise vermessungstechnisch erzeugen. Nach heutiger gängiger Meinung weist die Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh diese Proportion auf [FIL1]. Hervorzuheben in Bezug auf dieses Thema ist auch die noch heute anhaltende Diskussion darüber, ob die alten Ägypter tasächlich die sog. 12-Knotenschnur als Vermessungswerkzeug (und damit auch als potenzielles Gestaltungswerkzeug) nutzten [siehe [FIL1]. Bei der Proportion 5 : 3 greift das (eindeutige) Prinzip Nähe zum (rechnerischen) Prinzip des Goldenen Schnitts als Approximation allerdings nicht mehr stark. Allerdings kann die Proportion 1,66(periode) : 1 und 0,6 : 1 mit der Proportion ~1,618 : 1 und 1 : ~0,618 (je nach Ausführung) durchaus verwechselt werden, bzw. als gestalterisch - je nach Anwendungsbereich und Ausführung - recht guter Ersatz für den Goldenen Schnitt bzw. als (sehr grobe) algebraische Aproxximation für den Goldenen Schnitt funktionieren: wird z.B. die Füllung für die Schwenktür eines Möbelstücks aus Eichenholz in der Proportion 5 : 3 gestaltet, ist es für den (durchschnittlichen) Betrachter wohl eher unerheblich, ob die zugrundeliegende Proportion für die Gestaltung der Füllung mit ~1,61 : 1 oder mit 1,66 : 1 konzipiert wurde. Der prozentuale Unterschied zwischen den beiden messtechnischen Annäherungen an das rechnerische Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts beträgt gerade einmal [1,61 : (1,66 : 100)]% = 96,98% bei rechnerischer Ansetzung des größeren Zahlenwerts für 100% und [1,66 : (1,61 : 100)]% = 103,10% bei rechnerischer Ansetzung des kleineren Zahlenwerts für 100%. Messtechnisch - und auch optisch - fallen solche Unterschiede bei kleineren gestalteten Objekten so gut wie gar nicht ins Gewicht, insbesondere wenn z.B. für die Holzverarbeitung zusätzlich beachtet werden muss, dass entsprechende Zugaben (Messtoleranzen) notwendig mit einkalkuliert werden müssen, weil Holz - je nach Sorte - mehr oder weniger stark arbeitet und z.B. auf Umgebungsluftfeuchte reagiert (siehe Schwundmaß bei Hölzern). Diese bei der Holzverarbeitung notwendig mit einzukalkulierenden Toleranzen bedingen auch gleichermaßen bestimmte handwerkliche und kunsthandwerkliche Vorgehensweisen bei der Gestaltung und Verarbeitung von Holzprodukten. Gleiches gilt dabei i.d.R. (je nach Papier- und Pappart und deren Zustand) sogar wesentlich stärker für Papier und Pappe und damit auch z.B. für die proportionstechnische Analyse historischer Kunstwerke aus Holz, Papier (und Pappe) und auf Holz, Papier und Pappe aufgebrachte historische Kunstwerke (siehe z.B. historische Kupferstiche oder Holzdrucke). Messergebnisse von wenigen Millimetern Unterschied können (und sollten) deshalb für die Analyse solcher historischer Kunstwerke und Objekte gar nicht erst ins Gewicht fallen um zu eindeutigen Schlussfolgerungen über den proportionstechnischen Aufbau eines Kunstwerks zu gelangen.
Das Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts ist von siener Entstehung her mit a/b = a+b/a oder a/a+b = b/a beschrieben (siehe [gWiki8]). Das rechnerische (hier gerundete) Proportionsverhältnis das auch in der Mathematik "Goldener Schnitt" genannt wird und gemeinhin mit dem Formelzeichen "Phi" bezeichnet wird und die Proportionen
~1,6180339887 : 1 bzw. ~0,6180339887 : 1 erzeugt, ist mit der Formelstellung [1 : (sqrt(5)] : 1 bzw. 1 : [1 : (sqrt(5)] anzusetzen (sqrt = international übliche textuelle Abkürzung für "Quadratwurzel", also für das spezifische Wurzelzeichen.) . Eine z.B. zeichnerisch-konstruierende Annäherung des Prinzips des Goldenen Schnitts mit seiner Affinität auch z.B. zu Naturformen lässt sich z.B. mit Zirkel und Richtscheit bzw. Lineal auf verschiedene Arten und Weisen erzeugen (siehe z.B. [gWiki8]).

[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea „Goldener Schnitt“, proportio divina „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.
[ZITAT ENDE] [gWiki8]

[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale.
[ZITAT ENDE] [Walser, 1996,Vorwort]

Das mathematische Prinzip des Goldenen Schnitts messtechnisch übertrieben exakt auf z.B. einzumessende zu gestaltende Objekte zu übertragen ist technisch selten nur bis zu einem bestimmten Grad möglich und in den allermeisten Fällen auch gar nicht sinnvoll (Ausnahmen bestätigen die Regel). Die Einhaltung einer einzigen Nachkommastelle des mathematisch exakten Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in der Ausführung z.B. einer kunsthandwerklichen Holzarbeit ist - je nach Größe und Ausführung - bereits eine Herausforderung. Um so unsinniger erscheint es etwa, wenn sog. Pyramidologen und Alternativtheoretiker selbst heute noch versuchen, mit übertriebenem Eifer Exaktheiten die sich angeblich z.B. aus den Proportionen der Pyramiden von Giseh (Ägypten) und anderen historischen Bauwerken weltweit (angeblich) ablesen lassen, als Argumente für den Nachweis der (angeblichen) Anwendung des Goldenen Schnitts auf z.B. historische Bauwerke anführen, sich dabei jedoch häufig genug in Zahlenspielerein verlieren (siehe z.B. [FIL1]).
In puncto für die Proportionsforschung anzusetzenden Toleranzen gilt gleiches sogar in verstärktem Maße für größere und sehr große Objekte wie etwa Bauwerke und Monumentalbauwerke: z.B. bei Gestaltung und Herstellung eines Bauwerks wie einer Orgel kann zwar gestalterisch (konstruierend zeichnerisch) mit dem Prinzip des Goldenen Schnitts gearbeitet werden - das jedoch bereits beim zeichnerischen Entwurf nur ungefähr und niemals rechnerisch exakt umgesetzt werden kann - und auch bei der anschließenden Herstellung und dem Aufbau z.B. einer Orgel sind sehr viele zusätzliche Toleranzen und sich aufsummierende Messfehler mit zu beachten, weil z.B. für den Bau einer Orgel sehr viele verschiedene Komponenten miteinander verbaut werden (um nur eins von sehr vielen möglichen Beispielen zu nennen).
Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist also ein z.B. zur Zeit der Renaissance (in Rückbesinnung auf die Antike) zum Ideal erhobenes proportionstechnisches Prinzip, das in der realistischen alltäglichen Anwendung jedoch rasch seine pragmatischen Grenzen findet. Gleichzeitig ist diese gestalterische Unwägbarkeit jedoch ein gewichtiges Argument für die naheliegende Verwendung von Faustformeln für die (konstruierte) Erzeugung von Proportionen durch Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) in der Geschichte des Gestaltens.
Näherungswerte für das proportionstechnische Anlegen des Goldenen Schnitts reichen für eine angewandte Gestaltungspraxis (z.B. messtechnisch, je nach Vorhaben) völlig aus, weil sich feinere Nachkommastellen bei der Ermittlung des originalen Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in konkreter Gestaltungspraxis (z.B. bei handwerklich-gestalterischen Entwürfen) ohnehin nicht umsetzen lassen und eine solche Umsetzung auch nicht sinnvoll ist. Deshalb ist es auch naheliegend anzunehmen, dass die Proportion des Goldenen Schnitts mit der Proportion 5 : 3 (1,66p : 1 bzw. 0,6 : 1 - je nach Exaktheit der Ausführung einer Gestaltung) durchaus verwechselt werden kann.
Wie übertrieben (und damit unangebracht) dabei im Hinblick auf die potenzielle Anwendung des Prinzips des Goldenen Schnitts stellenweise interpretiert wird (bzw. in der Geschichte interpretiert wurde) zeigt etwa der Versuch, durch Einzeichnen spezieller geometrischer Muster dem Nachweis dafür liefern zu wollen, dass z.B. ein bestimmtes Kunstwerk nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts konzipiert sei: solches Unterfangen ist stellenweise - nicht jedoch generell - fehlgeleitete Forschung: ein Beispiel hierfür ist etwa der Versuch, eine sog. Fibonacci-Spirale in das Gemälde Mona Lisa von Leonardo da Vinci hinein zu konstruieren um dies als Argument dafür zu verwenden, die Mona Lisa sei als Gemälde nach dem Goldenen Schnitt konzipiert: wohlgemerkt mag es sehr wohl möglich sein dass da Vinci die Mona Lisa tatsächlich nach dem Goldenen Schnitt konzipiert hat und sich bestimmte geometrische Indizien hierfür auch aus dem Gesamtbildaufbau des Bildwerks ableiten lassen: es existieren meiner Ansicht nach jedoch keine sinnvoll anzunehmenden Gründe dafür, dass da Vinci die Mona Lisa nach dem Prinzip der Fibonacci-Spirale entworfen, gestaltet und gemalt haben soll [siehe gWiki7], die damit belegt werden könnten, dass eine Fibonacci-Spirale in das Kunstwerk hineinkonstruierbar ist: nach dem Prinzip des Ockham´schen Rasiermessers sprechen zahlreiche Argumente dagegen, dass eine solche Art der Bildwerksinterpretation überhaupt ausreichend exakt genug und damit entsprechend wahrscheinlich im Ergebnis ist.


Albrecht Dürer und seine mögliche Bezugnahme auf Fibonacci-Zahlen
Eine Bezugnahme auf die gestalterische Verwendung von Fibonacci-Zahlen finden wir möglicherweise; dies muss als Vermutung formuliert werden) bei Albrecht Dürer (d.J., 1471 - 1528). In Albrecht Dürers Kupferstich ("Meisterstich") Melencholia I besteht (möglicherweise) eine Bezugnahme Dürers auf die Fibonacci-Zahlen, wenn wir die Proportionen des Dürer-Werks insgesamt und im Speziellen, die im Bildwerk enthaltenen Informationen betrachten: hier damit gemeint sind das in Dürers Bildwerk Melencholia I enthaltene sog. "magische Quadrat" und die Gesamtabmessungen des Bildwerks.
Dürers Bildwerk Melencholia I weist (bezugnehmend auf Quelle [gWiki3]) eine Gesamtabmessung von 24,2 cm × 19,1 cm auf (Abmessungen können von Werk zu Werk tendenziell variieren, z.B. aufgrund von verwendeten Papieren für Drucke, sowie von klimatischen Bedingungen (Luftfeuchte), Erhaltungszustand u.a. ggf. stärker variieren (auch geht aus fden Angaben bei Wikipedia zur Abbildung von Dürers Meelncholia I nicht hervor, ob sich die Angabe der Abmessungen auf das Blatt Papier selbst bezieht auf den das Werk gedruckt ist, auf den das Bilkdwerk umgebenden - gestochenen - feinlinigen Rahmen der das Bildwerk einrahmt. Auch sind bei der Analyse von digitalisierten Abbildungen generell das Erfassungsprinzip (Scan oder Abfototgrafie?) sowie eventuelle Formatierungsfehler bei der Digitalisierung zu berücksichtigen. Scannen und Abfotografieren eines historischen Bildwerks können - je nach Größe des Bildwerks, je nach Abstand der Ablichtung, je nach Verzerrungen durch verwendete Objektive und Sensoren etc. sowie durch Bildbearbeitungen und Umformatierungen entstehen (und sich möglicherweise stellenweise unmerkliche einschleichen bzw. aufsummieren). Ein weiterer Faktor für sich potenziell einschleichende Verzerrungen bei der Reporoduktion eines historischen Bildwerks ist die für eine Vervielfältigung verwendete Belichtungstechnik (bei Papierabzügen) und
generell die verwendete Drucktechnik - etwa bei tintenstrahlgedruckten, thermogedruckten oder offsetgedruckten Reproduktionen. Deshalb sollten für die Analyse von historischen Bildwerken (sofern das Nachmessen am Original nicht möglich, bzw. nicht erlaubt ist) nach Möglichkeit stets Vervielfältigungen verwendet werden, bei denen mit der Ablichtung ein Messlineal o.ä. als Referenz erfasst wurde.
Die reinen Hauptabmessungen eines historischen Bildwerks - insbesondere in Reproduktionen, Ablichtungen und generell Vervielfältigungen können potenziell zu Verwechslungsgefahren für die Ermittlung der von Erzeugern ursprünglich verwendeten Proportionen führen.
Somit geben Reproduktionen eines historischen Bildwerks proportionstechnisch und Abmessungstechnisch häufig genug zu geringfügige Auskünfte, um zu möglichst eindeutigen Schlussfolgerungen zu gelangen. Ein Hinzuziehen weiterer Indizien (neben den genannten messtechnischen (z.B. Lineal mit ablichten oder selber nachmessen) in der für etwaige Schlussfolgerungen im Hinblick auf die Beforschung von Proportionen z.B. eines historischen Bildwerks ist deshalb nicht nur sinnvoll, sondern sogar notwendig: solche Indizien können etwa der generelle Bildwerksaufbau (Bildwerksflächenaufteilung, Orientierung von im Bildwerk dargestellten Objekten und Gegenständen - z.B. dargestellte Personen- sowie weitere in einem Bildwerke enthaltene Informationen sein (z.B. symbolhafte Anspielungen oder etwa das Darstellen von Gerätschaften wie Reißschiene und Reißzirkel (wie in Dürers Werk Melencholia I gegeben).
(mehr und spezielleres zu diesem Thema bei nächster Gelegenheit auch an anderer Stelle in diesem Forum, es ist hierfür erforderlich, noch einige Quellen zu sichten um zu eruieren, inwieweit es sich bei von mir in diesem Thema getätigten Annahmen um bisher noch unbekanntes Wissen handeln könnte).

Dürers Magisches Quadrat in Melencholia I
Das besondere an Dürers im Bildwerk Melencholia I enthaltenen magischem Quadrat ist, dass die Summen der im Quadrat befindlichen Zahlen (die von Dürer auf spezielle Art und Weise zueinander arrangiert wurden und damit die logische Zahlenfolge durchbrechen), jeweils die Zahl 34 ergeben. Die Summierung der Zahlen erfolgt dabei in sämtliche möglichen Richtungen, also horizontal, vertikal und diagonal u.a. [gWiki1]. Dabei ist hervorzuheben, dass es sich bei der Zahl 34 um eine Fibonacci-Zahl handelt, die wiederum Bezug auf aus dem magischen Quadrat Dürers ableitbare Zahlenzusammenhänge (als Summen) ermöglicht, die in Kombination mit der vordergründig auftretenden "Hauptzahl" (mit dem Zahlenwert 34 also) dual kombiniert die Herstellung eines Proportionalen Seitenverhältnisses mit starker Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts ermöglichen (mehr dazu bei nächster Gelegenheit). So ist z.B. im Hinblick auf Dürer´s in Melencholia I enthaltenem magischen Quadrat festzustellen, dass die verdoppelte Kombination der direkt aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen 3 und 5 in der Summe 16 ergibt, also die Quadratzahl, die sich aus 4² ergibt und der Anzahl der Kästchen des magischen Quadrats im Bildwerk entspricht weil = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 (um nur ein mögliches interpretatorisches Beispiel zu nennen, das jedoch auch reine Zahlenspielerei sein kann, die Dürer ursprünglich nicht beabsichtigte. Dieser interpretatorische Zusammenhang zeigt jedoch auf, wieviel verschiedenes sich komplex in Dürers Bildwerk hineininterpretieren lässt, weshalb diese Aspekte entsprechend dezidierter Überprüfung und Beurteilung bedürfen ).

Die Hauptproportionen von Dürers Bildwerk Melencholia I
Wie genau die (spekulierte) Bezugnahme Dürers auf das Prinzip des Goldenen Schnitts mit seinem Bildwerk Melencholia I gemeint ist, wird baldmöglich von mir erörtert. Soviel sei nur vorweggesagt: Die Hauptproportion des Bildwerks (also der quasi gestochene "Rahmen" der den Kupferstich umgibt, entspricht in seinen Abmessungen nicht dem Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts von ~1,618 : ~1, sondern eher der Quadratwurzel aus ~1,6 : ~1 = ~1,27 : ~1. Dürers Werk nimmt damit also (so ist es seitens des Verfassers gemeint) "auf den ersten Blick" - sofern überhaupt ursprünglich gewollt - einen indirekten Bezug auf Goldenen Schnitt.
Wesentlich wahrscheinlicher ist nach meiner Einschätzung jedoch davon auszugehen, dass Dürer sein Bildwerk Melencholia I in einem Proportionsverhältnis von 1,33(periode) : 1 geplant hat (was einer Anwendung des pythagoreischen Tripels 3:4:5 entsprechen würde; mehr dazu baldmöglich): diese Bildwerksplanung Dürers ist als sehr wahrscheinlich anzunehmen, weil sich eine sinnvolle Grundeinteilung des Bildwerks Melencholia I (auf die ich ebenfalls bei nächster Gelegenheit eingehen werde) mit einer solchen Bildwerksplanung korrespondiert.
Interessant an den Proportion von Dürers Bildwerk und hervorzuheben ist dabei, dass der Kupferstich Melencholia I damit Proportionen aufweist, die (ggf. nur ungefähr) denen der Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh entsprechen. Eine solche Proportion lässt sich gestalterisch alternativ sehr einfach erzeugen, z.B. indem eine Messschnur von 12 gleichlangen Einheiten Länge (als Teilstrecken) im Verhältnis 3:4:5 = 12 Einheiten aufgespannt wird - um nur eins von sicherlich vielen möglichen Beispielen zu nennen. Eine ungefähr ähnliche Proportion wie sie aus den Bauwerksabmessungen der Chepren-Pyramide ableiten lässt, lässt sich jedoch ebenfalls aus den (ungefähren) Bauwerksabmessungen der Cheops-Pyramide ableiten: die - je nach Interpretationsansatz als ggf. ungefähr zu bezeichnenden - Proportionen der Cheops-Pyramide lassen sich auf einfache Art und Weise erzeugen, indem z.B. eine Messschnur von 25 Grundeinheiten (als Teilstrecken) Länge bei 11 : 14 Einheiten abgewinkelt und z.B. als Schnurzirkel verwendet wird. Die Proportionen beider Pyramiden -sowohl die der Chepren- als auch die der als älter einzustufenden Cheops-Pyramide weisen damit Proportionen auf, die eine starke Nähe zueinander aufweisen und eine eindeutige Zuordnung anhand der aktuellen Quellenlage schwierig bis hin zu unmöglich machen (siehe [FIL1]).
Die potenzielle Nähe von Dürers Bildwerk Melencholia I zu den (potenziellen) Proportionen altägyptischer Pyramiden bedeutet jedoch keineswegs, dass Dürers Bildwerk und die Proportionen der Pyramiden von Giseh in irgendeinem mysteriösen (gewollten) Zusammenhang stehen: vielmehr könnte aus dieser interessanten (potenziell evtl. möglichen) Übereinstimmung lediglich sprechen, dass Gestalter der vergangenen Epochen sich eben stets bewährter Proportionen bedient haben um zu gestalten [qed]. Die Proportionen 4 : 3 (potenziell Chepren-Pyramide) sowie 14 : 11 (potenziell Cheops-Pyramide) lassen sich im Zahlenraum der natürlichen Zahlen relativ leicht entdecken und gehören mit zu den häufigsten, überhaupt aus dem Zahlenraum der natürlichen Zahlen ableitbaren - und deshalb auch von Gestaltern der Vergangenheit - naheliegend genutzten Proportionen (siehe [FIL1]).
Um aufzuzeigen, wie wichtig es deshalb ist, in der Proportionsforschung exakt zu differenzieren, zeigt die Tatsache auf, dass sich die Proportion von Dürers Bildwerk (ggf. ungefähr) ebenfalls mit den Proportionen der Mykerinos-Pyramide auf dem Plateau von Giseh in Verbindung bringen lassen (zwischen geometrischen Formen lassen sich häufig annähernde Übereinstimmungen feststellen. Solche - häufig nur scheinbaren Übereinstimmungen - sagen jedoch nicht zwangsläufig und automatisch grundlegendes über tatsächlich angewendete Gestaltungspraktiken zur Erzeugung von Proportionen und ursprünglich für die Gestaltung gewählte tatsächliche Proportionen aus; siehe zum Vergleich z.B. Varianten nebeneinandergestellter Rechteckflächen mit Nähe zum mathematischen Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts; Anhang 3).
Zum äußerst komplexen Gesamtkontext der Erforschung der Proportionen altägyptischer Pyramiden siehe hier [FIL1]: viewtopic.php?f=22&t=6674&p=60019#p60019

Meiner Ansicht nach ist - mit sehr großer Wanrhscheinlichkeit - davon auszugehen, dass Albrecht Dürer (d.J.) seinen Kupferstich Melencholia I nach der Proportion 4 : 3 (Höhe zu Breite) bei einer vermutlichen (ggf. gröbsten) Grundrastereinteilung von 8 : 6 (Höhe zu Breite) gestaltete: es sprechen sehr viele Indizien dafür. Diese Vermutung bezieht sich auf den gestochenen dünnlinigen Rahmen, der das Bildwerk als rechteckige Bildwerksfläche einfasst, aber auch im Bildwerk enthaltene Aufteilungen (mehr dazu später).
Sofern diese Einschätzung als stimmig angenommen werden kann [qed], wäre Dürers Bildwerk Melencholia I damit nach einer uralten und vermutlich bereits von z.B. den alten Ägyptern genutzten Proportion gestaltet, die alltagspragmatische Anwendung auch heute noch findet, weil sie auf dem Prinzip des pythagoreischen Tripels 3:4:5 beruht. Nach der Proportion 3:4:5 wird bereits seit vielen Jahrhunderten und ggf. Jahrtausenden gestaltet und vermessen. Besonders naheliegend erscheint diese Proportion für Dürers Proportionierung von Melencholia I weil sich diese Proportion - nach meiner Einschätzung - Verfassers - mit sehr großer Wahrscheinlichkeit auch für Dürers Bildwerk "Der Zeichner der Laute (1525)" nachweisen lässt. Nach dem Prinzip der Anwendung des Ockham´schen Rasiermessers ist die Proportion 3:4:5 eine (nach dem Auschlussprinzip für andere Proportionen) für die historische Bildwerksnalayse stark zu präferierende Proportion, siehe zum Vergleich hier:
viewtopic.php?f=22&t=6828
[FIL2]


Das kaskadische Summenverhalten der Fibonacci-Zahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Zu einer der leicht zu entdeckenden Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehören die in den folgenden Ausführungen beschriebenen (siehe auch das Thema "Folgeglieder" in [gWiki8, 2.2] (mit ganz besonderem Dank an N.N. für Hilfestellung und Informationen zum Thema und zur Quellenlage).

Die kaskadische Bildung von Fibonnaci-Zahlen >3 als spezifische Summe jeweils zweier spezifischer aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen als Summanden.
Zu den erwähnenswerten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehört der folgende arithmetische Zusammenhang: eine beliebig große Fibonacci-Zahl lässt sich jeweils aus Gliedern der Summen zweier spezifisch kleinerer direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen bilden, wobei die Anzahl der spezifischen Glieder stets aus den Zahlenwerten zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen besteht. Die Gesamtanzahl der zu summierenden Glieder muss dabei mindestens drei Glieder betragen.

Beispiele:
bei F(nc) = F(4), F(5), F(6):
Typ a + 2b = 1+2+2 = 5
Typ 2a + 3b = 1+1+2+2+2 = 8
Typ 3a + 5b = 1+1+1+2+2+2+2+2 = 13
Typ 5a + 8b = 1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+2 = 21
usw. usf.
Typ a + 2b = 2+3+3 = 8
Typ 2a + 3b = 2+2+3+3+3 = 13
Typ 3a + 5b =2+2+2+3+3+3+3+3 = 21
Typ 5a + 8b = 2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3 = 34
usw. usf.
Typ a + 2b = 3+5+5 = 13
Typ 2a + 3b = 3+3+5+5+5 = 21
Typ 3a + 5b =3+3+3+5+5+5+5+5 = 34
Typ 5a + 8b = 3+3+3+3+3+5+5+5+5+5+5+5+5 = 55
usw. usf.

Die Fibonacci-Zahlen als Flächengesetzmäßigkeit
In einer flächenmäßigen Kombination zweier jeweils direkt aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen zum Quadrat (resp. zu quadratischen Fläche) wird die Flächengesetzmäßigkeit der Fibonacci-Zahlen deutlich: jede flächentechnische Kombination zweier direkt aufeinanderfolgender sog. Fibonacci-Quadrate erzeugt zur jeweils nächstgrößeren möglichen Quadratzahl (resp. Quadratfigur) hin, die beide direkt aufeinanderfolgenden Quadratzahlen (resp. Quadratfiguren) einbeschreibt, einen produktmäßigen (und flächentechnisch) betrachteten "Überschuss" (als "Restprodukt") in Größe jeweils zweier spezifisch direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Sehr gut deutlich und einfach darstellbar wird dieser Zusammenhang in der Grafik (siehe Anhang 2). Für dies mit der Systematik
der Fibonacci-Spirale quasi beschriebene Entwicklungsprinzip wird hier im Beitrag aus Gründen des hierfür erforderlichen Umfangs kein explizit mathematischer Beweis zitiert. Das relevante Entstehungsprinzip der Fibonacci-Spirale lässt sich in den genannten Quellen gut nachlesen). Für die Reihenentwicklung der hier sog. "Zwei-Quadrate-Konstellation von Fibonacci-Zahlen" kann also geschrieben werden:

{F(n)² + F(n+1)² + ab(n) ∈ ℕ ׀ ab(n) < F(n)^2; ab(n) < F(n+1)^2; ab(n) = F(n+1)² - F(n)²}

dabei gilt dass die Zwei-Quadrate-Konstellation von Quadraten mit der Seitenlänge zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonnaci-Quadrate jeweils die Berechnungsmöglickeit für {a,b} enthält mit:

{(a,b) ∈ ℕ ׀ (a,b) : F(n+1)² = a; (a,b) : F(n)² = b}

Aus dem vorbeschriebenen folgt die Entwicklung der spezifischen Zahlenreihen:
bei: [Spalte I] / [Spalte II] / [Spalte III] / [Spalte IV] // [Spalte V]
[a] / [b] / [F(n)²] / [F(n+1)²] // [Zeile] / [Zuordnung, siehe Anhang 2]
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
[1] / [1] / [ 1²] / [2²] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [2²] / [3²] // [Zeile I] / [B]
[2] / [3] / [3²] / [5²] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [5²] / [8²] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [8²] / [13²] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.

oder auch:
[1] / [1] / [ 1] / [4] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [4] / [9] // [Zeile I] / [B]
[2] / [3] / [9] / [25] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [25] / [64] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [64] / [169] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.
- - -
Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

Walser, H.: Einblicke in die Wissenschaft : Mathematik: Der Goldene Schnitt. 2. erw. Aufl., vdf Hochschulverlag an der ETH, Stuttgart; Leipzig, 1996

[deutsschprachige Wikipedia]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 4. Januar 2024, 12:44 UTC
Versions-ID der Seite: 240832508
Permanentlink: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =240832508
Datum des Abrufs: 5. Januar 2024, 11:45 UTC

[gWiki2]:
Bibliografische Angaben für „Albrecht Dürer“
Seitentitel: Albrecht Dürer
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 24. Dezember 2023, 11:26 UTC
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FIL = Foreninterner Link

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Titel des Beitrags: "Die Proportionen altägyptischer Pyramiden"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 05.01.2024, 18:49 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"

[FIL2]:
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Titel des Beitrags: "Bildwerksanalyse historischer Kunstwerke"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 06.01.2024, 11:18 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"

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Besondere Zahlen: Die natürlichen Zahlen

Beitragvon Sculpteur » 08.01.2024 11:06

- (Hinweis: Für die sämtlichen folgenden vom Verfasser geschilderten Zusammenhänge gilt der an den ersten Themenbeitrag des Verfassers in diesem Thema angehängte Haftungsausschluss (Disclaimer) -

Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen (2): Die Natürlichen Zahlen
Die heutzutage gemeinhin sog. natürlichen Zahlen sind ganzzahlige (positive) Zahlen mit denen wir tagtäglich z.B. zählen oder die Anzahl von z.B. Dingen und Objekten u.ä. ausdrücken können (z.B. 8 Flintabschläge, 13 Tonscherben, 4 Perlmutknöpfe, 7 Personen die an einer Ausgrabung beteiligt sind, 5 Altersbestimmungen per Radiokarbonmethode, 63 in Frage kommende ternäre Mischungen für die nachvollziehende Erforschung der Rezeptur einer historischen Schießpulvermischung, 15 verrostete historische Kanonenkugeln oder z.B. 25 Pfeilspitzen, denen 1 verrotteter Lederköcher nebst 2 Sehnen für einen Langbogen Platz bietet, 2 unterfinanzierte Archäologen und 1 Experimentalarchäologe, die mit der finanziellen Förderung einer Grabung ringen müssen sowie 5 Blockbergungen, die noch vor Feierabend bewältigt werden müssen weil die Abrissbirne schon mit den Hufen scharrt - aber Spaß Beiseite: Der Möglichkeit, mit Zahlen z.B. Zusammenhänge des alltäglichen Zusammenlebens auszudrücken, sind schier unendlich groß und ebenso nützlich. Einer der Gründe, weshalb Mathematik und im Speziellen z.B. die Zahlen und Zahlenarten seit ihrer Erfindung vor vielen Jahrtausenden seit mindestens ebenso langer Zeit vom Menschen beforscht werden, liegt im großen alltäglichen und gesamtgesellschaftlichen Nutzen der Mathematik als Ganzes und der Zahlen und Zahlenarten im Speziellen.
Bereits die alten Sumerer notierten logistische Zusammenhänge wie Nahrungsmittelmengen und darauf zu erhebende Steuern auf Tontafeln, indem sie mit hölzernen Stäbchen keilutförmige Schriftzeichen in frischen Ton drückten. Auch für die alten Ägypter, Inder, Chinesen u.v.a. waren Schriftzeichen von Anbeginn der schriftlichen Überlieferung von historischen Zusammenhängen mittels Schrift (natürlich) unverzichtbar. Ob diese Schriftzeichen - und ihre quasi Vorgänger als Symbolzeichen - dabei in Ton, Stein, Holz oder später etwa Papier verewigt wurden, war zwar ebenfalls spektakuläre Erfindung der Menschheit, replizierte jedoch stets die eigentlich urtümlichste und bedeutendste Erfindung von allen: die Erfindung der Symbolzeichen selbst und die Methode (neben z.B. den Methoden Weitererzählen und Vormachen von z.B. handwerklichen Zusammenhängen) durch Versymbolisierung und schließlich Verschriftlichung über Generationen, Epochen und ganze - heute - übergeordnete Zeitabschnitte hinweg zu Überliefern. Einen wesentlichen Bestandteil der Symbolzeichen aus dem Repertoire der Menschheit derer sich die Menschen dabei sehr früh - und stellenweise möglicherweise weit vor der Erfindung von Schriften bedienten sind Zahlzeichen als Symbolzeichen: diese konnten von Menschen z.B. in Form von etwa in Knochen, Horn, Elfenbein, Holz oder z.B. Stein gekratzten, geritzten oder gekerbten Zahlzeichen Anwendung finden. Rasch erfand der Mensch für Zahlsymbole zusammenfassende Vereinfachungen, die wiederum ebenfalls eine Entwicklung durchliefen: so schrieben die alten Babylonier und die alten Ägypter, Inder, Chinesen (uva.) Zahlen mit entsprechenden Symbolen entsprechend aufwändig auf ihre ganz eigene Art und Weise. Die alten Ägypter und Babylonier ersonnen spezielle, relativ aufwändig zu schreibende bzw. darzustellende Zahlensysteme. Die alten Römer verwendeten schließlich ihr etwas platzaufwändigeres System der römischen Ziffern um Zahlenzusammenhänge aufzuschreiben, das stellenweise noch heute Nutzung findet, während das noch heute weltweit genutzte System der arabischen Ziffern mit den Ziffern 0 bis 9 als pragmatisches Dezimalsystem (mit Stellenwertsystem zur Basis 10) mit weltweit wohl eins der weitverbreitetsten und alltäglich genutztesten ist, das auch aus unserem heutigen Alltag nicht mehr wegzudenken ist.
Der alltägliche Nutzen und die Anwendungsmöglichkeiten der (natürlichen) Zahlen und des Zählens sind so groß und nahezu so gewöhnlich geworden, dass manchmal in Vergessenheit geraten kann, wie elementar die Erfindung der Zahlen und des Zählens für die Entwicklung der Menschheit war (und noch heute ist): Zahlen und Zählen sind gesamtgesellschaftlich stellenweise zu etwas beinahe banal wirkendem alltäglichem generiert. Manche Menschen "lieben" Zahlen über alles, andere hassen sie wohlmöglich abgrundtief (spätestens seit ihrer Schulzeit). Nicht allen Menschen auf der Welt ist noch heute ein Zugang zu umfassender Bildung gewährt (oder wird absichtlich verhindert). So mag sich so mancher Mensch auch heute in unserer "ach so aufgeklärten Zeit" wohlmöglich neben anderem nichts sehnlicher wünschen, als etwas mehr über Zahlen und das Zählen zu erfahren oder Zahlen, das Zählen und die Mathematik insgesamt besser zu begreifen.
Die Menschheit hat bis heute ungeheure Anstrengungen und entsprechenden Eifer aufgewendet, um mathematische Zusammenhänge zu erforschen und feiert bis heute hierin auch so manchen Erfolg: leider hat sich die Mathematik dabei insgesamt auch sehr stark von ihren urtümlichen und alltagstauglichen Wurzeln entfernt und ist im Bereich der Hochschulen für den Durschnittsrezipienten zu einer Art - stellenweise undurchschaubar wirkender - Fachsprache generiert. Dieser Trend hat sich von den Hochschulen wiederum in die Grundlagen bildenden Schulen zurück verlagert: nicht grundlos wird der Mathematikunterricht deshalb heutzutage wohl im Alltagsjargon zu einem der meistgehassten Schulfächer gekürt: Lernende können heute dezidierte Kurvendiskussionen führen, wissen aber möglicherweise häufig wenig über die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen.
Missverständnisse im Bereich Mathematik, als übertriebener Eifer wahrnehmbare Entwicklungen "moderner" Bidlungssysteme in Richtung einer stark wissenschaftlich orientierten Schulmathematik und z.B. an Schulen und im Alltagsleben tatsächlich stattfindende Ausgrenzung und Mobbing wegen angeblichem "Lernversagen" - und Unfähigkeit, Lerninhalte im Schulfach Mathematik (u.a.) "ausreichend" lernend umzusetzen, tragen heute ihre Früchte, pressen jede "Andersartigkeit" durch ein schmal geknüpftes gesellschaftliches noten- und bewertungslastiges Raster - und das trotz aller Bemühungen um Inklusion und individuelle Lernförderung: Akzeptanz kommt nicht von Können sondern von (sich und andere) Kennen. Dabei handelt es sich beim angeblichen Lernversagen im Schulfach Mathematik (erfahrungsgemäß) häufig genug um ein eigentliches Versagen des Bildungs- und Schulsystems selbst und damit stellenweise auch um ein Versagen des (stellenweise - nicht jedoch generell - falsch ausgebildeten, bzw. falsch motivierten) Lehrpersonals.
Mathematische Grundbildung ist somit auch heute ein multisoziokulturelles Phänomen ebenso wie eine große soziokulturelle Problemstellung und gesamtgesellschaftliche Herausforderung.
Dabei war es mir persönlich bis heute - trotz umfangreicher Recherche - nicht möglich, ein Schul- oder Fachbuch im Bereich Mathematik (und tangierenden Bereichen der Verwertung und Verwendung von Mathematik) ausfindig zu machen, dass die elementaren Grundlagen im Hinblick auf die natürlichen Zahlen, die fundamental wichtig für die Entwicklung eines umfassenden ganzheitlichen Mathematikverständnisses sind, annähernd ganzheitlich und ausführlich genug behandelt.
Selbst in einem Fachbuch über die Didaktik der Arithmetik bin ich bei meiner jahre- und jahrzehntelangen Recherche nicht fündig geworden.
Geschuldet sein mag dies einem Phänomen der 1970er Jahre: damals konnte sich die (ursprünglich von Cantor ersonnene) Mengenlehre wohl nicht im größeren Stile an (deutschen) Grundschulen durchsetzen, weil Eltern und Erziehungsberechtigte wohl (laut Bezugnahme auf zitierte Quelle) [Reiss/Schmieder, 2005] damit überfordert waren, gemeinsam mit ihren Kindern Mathematik zu üben und Hausaufgaben zu bewältigen, weil die Eltern und Erziehungsberechtigten selbst mit der Materie überfordert waren.
Nun ist es selbstverständlich stets die Frage, wie mathematische Zusammenhänge grundständig in Unterrichten vermittelt werden (und wie motiviert Lernende sind, bzw. wie Lernende motiviert werden). Erfahrungsgemäß wird aber noch heutzutage möglicherweise tatsächlich durchschnittlich flächendeckend versäumt, die wesentlichen Grundlagen der Eigenschaften von natürlichen Zahlen an Grundschulen und auch in weiterführenden Lehrinstitutionen grundständig und ausreichend zu vermitteln. Dabei mag dieser Fehler im Bildungssystem - der stellenweise den Phänomen Zeitmangel, generelle Überforderung (beider Seiten: Lehrender wie Lernender) oder einer Unterbewertung der Thematik (z.B. im Sinne von angeblich "überflüssigem Kinderkram") geschuldet sein: vielfach ist es aber erfahrungsgemäß tatsächlich so dass sich mancher Lernender aus Angst vor Ausgrenzung und Mobbing noch heute (oder gerade heute) nicht traut - und auch nicht dazu ermutigt wird - sich seinen ganz eigenen Zugang zu Lernmethoden zu suchen, die für ihn geeignet sind (z.B. im Unterricht mit den Fingern Zählen; das Zählen mit den Fingern stellt eine uralte und überlieferungswürdige Kulturtechik mit zahlreichen möglichen Variationen dar, die stellenweise näher an der Vermittlung elementarer Mathematik liegt als es mancher hochmoderner Unterricht mit "Laptop und Co" stellenweise tun mag.
Betrachten wir die grundlegenden Zusammenhänge des Zahlenraums (Zahlbereichs) der natürlichen Zahlen aber ausführlicher und genauer, können wir möglicherweise (je nach individueller Disposition) ungemein viel über die Eigenschaften von natürlichen Zahlen lernen und dieses Wissen (erfahrungsgemäß) ganzheitlicher verinnerlichen. Solcher Lernprozess kann möglicherweise helfen, die Welt der Mathematik, die für manche ein Buch mit Sieben Siegeln darstellt, schließlich insgesamt besser zu begreifen und damit insgesamt besser individuell anwendbar zu machen.

Die grundlegendsten Eigenschaften der natürlichen Zahlen über die ein durchschnittlicher Lernender meiner Ansicht nach Kenntnis besitzen sollte um auf Grundlage dieser Ausgangsbasis schließlich weitgreifendere eigene mathematische Schlussfolgerungen anstellen zu können, die z.B. auch bei der Erforschung der Geschichte der Mathematik insgesamt weiterhelfen können - kristallisieren sich in der (von mir) sog. Summenkaskade der natürlichen Zahlen (Summenkaskade aus N) heraus (mehr dazu später).
Viele der Eigenschaften der natürlichen Zahlen sind bis heute ausführlich erforscht. So verfügten z.B. bereits die alten Griechen über ein umfassenderes Wissen über figurierte Zahlen (also Anzahlen von ganzzahligen "Elementen" die sich zu Figuren wie z.B. Dreiecken, Quadraten, Sechsecken u.v.a.auslegen lassen - z.B. Muschelschalen, Kieselsteine, Getreidekörner etc.). Dieses Wissen spiegelte bereits wesentliche Aspekte der z.B. antiken Vermessungstechnik wieder. Ich kann mich anhand meiner persönlichen Erfahrungen und einer breiteren Recherche zum Thema jedoch bis heute nicht des Eindrucks erwehren, dass es unseren Gesellschaften bis heute nicht gelungen ist, einen einheitlichen und möglichst einfachen Gesamtüberblick über den Zahlenraum der natürlichen Zahlen an Lernende (und interessierte) zu vermitteln (sollte ich mich hierin irren, mag man mich eines besseren Belehren, es würde mich sogar freuen, wenn es so wäre, denn ich kenne natürlich nicht alle Schulen und Lehrinstitute, nicht alle Bücher und Überlieferungen und Kulturen der Welt sowie deren Art und Weise zu unterrichten - logisch).
Ein grundlegender und umfassender Gesamtüberblick über die natürlichen Zahlen ist eigentlich ganz simpel zu bewerkstelligen - so simpel, dass ich mich (und unsere Gesellschaften) ernsthaft fragen muss, weshalb z.B. ich persönlich Jahrzehnte benötigt habe, um diese simple Übersicht über den Zahlenraum der natürlichen Zahlen zu entdecken und in ihrer funktionierenden Präsentation selbstständig zu entwickeln zu müssen. Dabei hat das gesamte Thema aber auch rein gar nichts mit "höherer Mathematik" zu tun und kocht mit "ganz normalem Wasser" auf kleiner Flamme. Im Gegenteil: alles kommt so simpel und einfach daher, dass es einem wie Bauklötze von den Augen fallen muss und man sich fragen kann: weshalb sind diese Zusammenhänge nicht in jedem Schul- Lehr und Fachbuch allgegenwärtig(?) - denn da gehören sie unbedingt - und idealerweise ausnahmslos - hin, weil wir sie; ganz egal dabei in welchen Lebensbereichen; eigentlich alltäglich verwenden und nutzen können.

Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen:
Natürliche Zahlen werden heutzutage weltweit in ggf. leicht abweichenden Schreibweisen) bezeichnet mit:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

oder wahlweise mit:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Ob die Zahl 0 (Null) dabei Bestandteil der natürlichen Zahlen sei, ist üblicherweise vorherige Einigungs- und damit Definitionssache. Ursächlich für solche notwendigen Vorab-Definitionen in der Mathematik ist hier am Beispiel der natürlichen Zahlen dass sich mache mathematische Zusammenhänge besser auf die eine, manche besser auf die andere Art und Weise mathematisch darstellen lassen und manche mathematische Zusammenhänge erst dann plausibel darstellbar werden, wenn die Zahl 0 (Null) Bestandteil der natürlichen Zahlen ist: gemeint ist hierbei wohlgemerkt nicht generell die Ziffer 0 (Null), die z.B. im dezimalen System etwa an die Ziffer 1 angehängt wird um den Zahlenwert 10 auszudrücken. Die Zahl 0 (Null) meint hier den "eigenständigen" Zahlenwert 0 (Null), der also eine Anzahl von 0 (Null) Elementen zum Ausdruck bringt.

In der Summenkaskade der natürlichen Zahlen werden die Ziffern des Dezimalsystems auf spezifische Art und Weise zueinander arrangiert und bringen somit die summenbildenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen in sämtlichen überhaupt möglichen Kombinationen zum Ausdruck (diese Aussage ist Definitionssache und wird im Folgenden noch exakter definiert, weil es Ausnahmen gibt, die an dieser Stelle jedoch nicht unnötig verwirren sollen). Damit stellt die Summenkaskade der natürlichen Zahlen eine Art entsprechend komplexer kombinatorischer Grundmatrix für die Eigenschaften natürlicher Zahlen dar. Aus dieser Grundkombinatorik oder auch Basiskombinatorik der natürlichen Zahlen zueinander heraus lassen sich die elementaren Eigenschaften der natürlichen Zahlen übersichtlich und strukturiert darstellen. Aus solcher struktureller Darstellungsart der natürlichen zahlen als eigentlich multidimensionalem Matrixsystem bzw. Eigenschaftsraum lassen sich unzählige Sätze als Theoreme oder Vermutungen ableiten (die vielfach bereits weitreichend bekannt sind).
Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen kann deshalb (theoretisch) nicht nur als unterstützende potenzielle "Rechenhilfe" oder Lernhilfe z.B. für das Kopfrechnen ihren Einsatz finden, sondern insgesamt tiefere Einblicke in das generelle Verhalten von natürlichen Zahlen vermitteln (kann aber nicht muss: je nach Art der Vermittlung, je nach Art des Lernens, je nach persönlicher Disposition von Lehrendem, Lernendem und je nach Präsentationsart: es gibt keine Garantien hierfür, aber zumindestens von meiner Seite aus viel wohlwollendes Hoffen das dem so sei).
Dieser Zugang zum Zahlbereich der natürlichen Zahlen beinhaltet deshalb auch das Potenzial für weiterführende Fragestellungen der Mathematik, die auch die höhere Mathematik z.B. der Zahlentheorie ansprechen.
Übertragbar ist das hier gewählte Prinzip der Darstellung der Summenkaskade der natürlichen Zahlen nach meiner aktuellen Einschätzung stellenweise auch auf andere Zahlbereiche (was noch ausführlicher zu beforschen wäre).
Ausgeführt werden kann das hier beispielhaft demonstrierte Prinzip der Summenkaskade der natürlichen Zahlen auf einfache Art und Weise: hierfür genügt entsprechend dimensioniertes Rechenpapier oder einfaches Papier nebst Lineal und Stift, genügen z.B. eine herkömmliche Tafel, oder eine heutzutage alltägliche herkömmliche Tabellenkalkulations-Software auf einem für die EDV entsprechend geeigneten Gerät.
Um die Summenkaskade der natürlichen Zahlen hier im Beispiel als Tabellendokument zu demonstrieren wähle ich der Vollständigkeit und besseren Übersicht halber die Beschreibung der natürlichen Zahlen mit N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...}.

Beschrieben wird in der tabellarischen Übersicht der Summenkaskade der natürlichen Zahlen von mir auf folgende Art und Weise:

- horizontal = summenbildende Prinzipien (betrifft jeweilige Spalten)
- vertikal = Ergebnisse der Summenbildungen (betrifft jeweilige Zeilen)

Aus Platzgründen und aufgrund der besseren Übersichtlichkeit bei Formatierungsvorgaben durch die Forensoftware* ist die Darstellung des Prinzips der hier geschilderten Summenkaskade der natürlichen Zahlen nur in sehr begrenztem Umfang möglich. Das einfach zu bewerkstelligende Grundprinzip lässt sich jedoch problemlos auch auf größere Formate und Dokumentengrößen übertragen - bitte hierzu den Disclaimer (Haftungsausschluss) im Hinblick auf potenziell hierbei mögliche Gefahren, die z.B. mit dem handschriftlichen Anfertigen umfangreicher Dokumente verbunden sind u.a., unbedingt beachten. Der Disclaimer findet sich als Anhang an den ersten Beitrag des Verfassers ihn diesem Thema.
(Siehe Anhang 1)
*(max. 600 x 600 Pixel für hochgeladene Bilddateien; dem ist auch die schlechte Darstellung der Präsentation geschuldet, die in diesem Sinne nachzusehen sei.)

Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen liefert gut strukturierbar und damit sehr übersichtlich eine Grundlage für die analytische Betrachtung des Zahlenraums der natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften. So lassen sich aus der summenkaskadischen Übersicht von N zahlreiche Formelstellungen über die Eigenschaften (und damit das "Verhalten" von natürlichen Zahlen) ableiten (so z.B. auch eine Produkte-Kaskade der natürlichen Zahlen; bzw. Produkte-Kaskade in N (mehr dazu später im eigenständigen Themenbereich über Primzahlen, der aktuell von mir vorbereitet wird).
Bei Rezipierung der Summenkaskade der natürlichen Zahlen z.B. in Form eines tabellarischen Dokuments kann begriffen werden, dass Zahlenräume bzw. Zahlbereiche stets (logischerweise) systemisch agieren (was aber in puncto Rezipierung von Mathematik und ihren Eigenschaften durchschnittlich als gar nicht so selbstverständlich angenommen wird). So kann neben anderem begriffen werden dass in der "Welt der Zahlen" nichts dem Zufall überlassen ist, nichts "mysteriöses" in der Mathematik stattfindet und "auch die Mathematik nur mit Wasser kocht" (gewusst wie): eine solche Erkenntnis, die vielen Menschen als regelrecht banal-logisch erscheinen mag ist manchen anderen Menschen vielleicht mehr als fremd.
Wenn wir jedoch annähernd nachvollziehen wollen, wieviel Mysteriösität und z.B. "Übermenschlichkeit" unsere Vorfahren in weit zurückliegenden Zeiten in die Mathematik und die Zahlen hineininterpretiert haben (und dies stellenweise möglicherweise noch heute tun) dann ist es sinnvoll und notwendig, sich mit den zwischen (im Speziellen den) natürlichen Zahlen wirkenden Gesetzmäßigkeiten näher auseinander zu setzen.
So kann die Auseinandersetzung mit dem Prinzip der Summenkaskade der natürlichen Zahlen idealerweise auch dazu verhelfen, eventuelle Traumata, Ängste Hemmungen vor dem Fach und naturwissenschaftlichen Bereich Mathematik abzubauen (natürlich gibt es hierfür keinerlei Garantien, siehe Haftungsausschluss zum Thema).
Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen liefert auch in der stärker naturwissenschaftlich geprägten Auseinandersetzung mit den natürlichen Zahlen (und Zahlbereichen im Allgemeinen) - in einer Übertragung des grundlegenden Prinzips - handfeste und verwertbare Auskünfte über die Eigenschaften der natürlichen Zahlen: So gibt die Summenkaskade der natürlichen Zahlen als Überblick über den Zahlenraum N z.B. Auskunft über die summarischen Entstehungsfolgen der Fibonacci-Zahlen und die Ableitung der primen Faktoren zusammengesetzter Zahlen in N - um nur zwei von zahlreichen Beispielen zu nennen (die Primzahlen werden noch explizit in einem Folgebeitrag erörtert wobei das Prinzip der Generierung der primen Faktoren für zusammengesetzte Zahlen in N aus der Summenkaskade von N heraus erörtert wird).

Beispiele:
Bei Vergegenwärtigung des Prinzips der Summenkaskade in N und der daraus resultierenden Ergebnisse wird ein fundamentaler - jedoch häufig im Unterricht nicht thematisierter (oder sogar gänzlich ausgeklammerter) Aspekt der Summenbildung in N deutlich: für jede Summe in N existieren - in einer grundsätzlichen basalen und mathegogischen Anschauung - (je nach Definition von N mit Null oder ohne Null; auch der Zahlenwert Null kann als Summe, resp. als "Nullsumme" bezeichnet und begriffen werden) für jede Summe >0 und >1mindestens eine Schreibweise, bei größer werdenden Zahlen existieren für jede Summe (als Zahlenwert) entsprechend proportional viele Schreibweisen für ein und dieselbe Summe. Diese elementaren Verständnisschritt für den Zahlenraum der natürlichen Zahlen wirkt zwar logisch nacheliegend, ist jedoch bei näherer Betrachtung von Lehr- und Lernmethoden und von Lernerfolgen für Lernende gar nicht so selbstverständlich rezipierbar: der Zusammenhang aber, dass Zahlen nach festgefügten Schemata zueinander agieren und sich nicht "irgendwie" - sondern eben auf ganz spezielle Art und Weise - verhalten, ist jedoch notwendige Voraussetzung für einen tiefgreifenderen Lernerfolg im Schulfach Mathematik; so zumindestens meine ganz persönliche Meinung.
Bereits die alten Griechen befassten sich ausführlich mit Quadratzahlen und deren Eigenschaften. Carl Friedrich Gauß schließlich veröffentlichte viele Jahrhunderte später eine entsprechende Summenformel für die Bildung von Dreieckszahlen und nahm damit direkten Bezug auf die statisch-proportionale (linear-proportionale) Bildung von Quadratzahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen. Das folgende kleine Beispiel zeigt auf, wie unterschiedlich z.B. Quadratzahlen in Anlehnung an die Summenkaskade in N betrachtet und summentechnisch veranschaulicht werden können:
1+1+1+1 = 4
1+1+2 = 4
2,2 = 4
0+4 = 4

Dabei ist es sinnvoll, die Summenbetrachtung zum jeweils (individuell) geeigneten Zeitpunkt mit einer Produkte-Betrachtrung zu kombinieren wie etwa:
2*2 = 4
2² = 4

Schließlich sollte der Brückenschlag zwischen Summenbetrachtung und Produktebetrachtung vollzogen werden, denn:
1 + 3 = 2²
oder auch; z.B:
(0+1) + (1+2) = 2²

Dieser "kleine aber feine" Unterschied in der Gesamtanschauung von N und den in N enthaltenen Elementen ist damit auch von fundamentaler Bedeutung für die vollständige und korrekte Beschreibung von N aus mengentheoretischer Sichtweise - und damit für die Mathematik insgesamt und somit auch für die Erforschung der historischen Mathematik (mehr dazu später und an anderer Stelle).

Die Summenkaskade in N aus mengentheoretischer Sichtweise
Die Summenkaskade aus N gibt aus mengentheoretischer Sichtweise einen eindeutigen Überblick über die im Zahlenraum der Natürlichen Zahlen enthaltenen Elemente und ihre Eigenschaften. Eine solche Sichtweise kann helfen, (hier explizit natürliche) Zahlen und ihre Eigenschaften insgesamt wesentlich besser zu verstehen, vor allem aber deren Eigenschaften lückenlos vollständig abzubilden: so lässt sich aus der (hier im Beispiel verwendeten Art und Weise der) Matrixdarstellung der Summenkaskade in N z.B. übersichtlich ableiten, wie viele Schreibweisen für jeweils spezifische Summen in N existieren und wie sich die Übersicht über die Schreibweisen strukturiert (bzw. strukturieren lässt). So wird etwa deutlich, dass die ermittelbare und darstellbare Anzahl der Schreibweisen für spezifische Summen in N (im Sinne von "aus Summen zusammengesetzten Zahlenwerten) von den Bedingungen für N abhängig ist (genauer: ob N = {0, 1, 2, 3 ...} oder N = {1, ,2, 3 ...} gilt).

Weitere Vorteile der Darstellungsweise der Eigenschaften von natürlichen Zahlen mit der Summenkaskade aus N liegen darin, dass sich die Prinzipien der summarischen Bildung von Primzahlen (siehe z.B. starke binäre und schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung) sehr anschaulich und logisch lückenlos vollständig abbilden lassen. Damit wird die Summenkaskade aus N auch für die basale Primzahlforschung und die übersichtliche Vermittlung der Eigenschaften von Primzahlen zu einem - eigentlich - unentbehrlichen Hilfswerkzeug das dazu verhelfen kann, Primzahlen (von Beginn an) wesentlich besser und ganzheitlicher zu begreifen: zum Thema Primzahlen ist im Folgenden ein eigenständiger Beitrag in dieser Themenreihe geplant, in dem ich diese Aspekte ausführlicher erläutern werde).

Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

[deutsschprachige Wikipedia]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Dezimalzahl“
Seitentitel: Dezimalzahl
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[gWiki2]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
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[gWiki3]:
Bibliografische Angaben für „Primzahl“
Seitentitel: Primzahl
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[gWiki4]:
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Beispiel Summenkaskade der natürlichen Zahlen (1).jpg
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Beispiel Summenkaskade der natürlichen Zahlen (1)
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Sculpteur
 
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Besondere Zahlen: die Primzahlen

Beitragvon Sculpteur » 11.01.2024 19:20

Besondere Zahlen: die Primzahlen - ganz besondere, oder einfach nur überbewertete Zahlen?
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Die sog. Primzahlen stellen eine ganz besondere Art von Zahlen dar, die sich im Zahlenraum der natürlichen Zahlen ausfindig machen lassen: Primzahlen zeichnen sich durch einzigartige Eigenschaften aus, die es ermöglichen, sie von allen anderen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen enthaltenen Zahlenarten abgrenzen. Die wesentlichste Eigenschaft über die Primzahlen von der Begrifflichkeit her definiert werden gibt dabei gleichzeitig direkte Auskunft darüber, wie wir nichtprime Zahlen in ℕ (sog. zusammengesetzte Zahlen) erkennen können:

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die sich ausschließlich durch 1 und durch sich selbst teilen lassen.

[ZITAT]:
Eine Primzahl (von lateinisch numerus primus ‚erste Zahl‘) ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (und somit größer als 1 ist). Diese zwei Teiler sind 1 und die Zahl selber. Dabei bedeutet primus speziell „Anfang, das Erste (der Dinge)“, sodass eine „Anfangszahl“ gemeint ist, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ konstruiert werden kann.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

Dabei gilt jedoch im Hinblick auf die Eigenschaften der Primzahlen vorweg zu betonen, dass diese Festlegung von Eigenschaften der Primzahlen eben eine Festlegung bzw. Definition ist: jemand hat sich einmal Gedanken darüber gemacht, wie eine ganz bestimmte Zahlenart in ℕ - aufgrund ihrer Eigenschaften - zu beschreiben sei und diese Beschreibung damit quasi festgelegt: im Bereich der Primzahlen gibt es durchaus noch heute stellenweise diskutierte "Streitfälle" (die der oben genannten Definition der Primzahlen auf den ersten Blick standhalten, jedoch einer näheren Erörterung - bzw. sich allgemein einigenden Festlegung - aus mathematischer Sichtweise bedürfen. Daraus resultieren dann z.B. bisher Fragen wie:

"Ist die Zahl 1 wirklich keine Primzahl? Sie lässt sich doch nur durch sich selbst und 1 teilen."

[ZITAT]:
Seit hunderten von Jahren diskutieren Mathematiker, ob die Zahl 1 als Primzahl anzusehen ist. Bei dieser Frage handelt es sich nicht um eine mathematische Aussage oder Feststellung, sondern um eine Definition. Definitionen werden intuitiv und/oder pragmatisch begründet; sie sind subjektiv, können aber hinsichtlich ihrer Nützlichkeit durchaus objektiv bewertet werden.
(...)
Die Frage, ob 1 eine Primzahl ist, hängt also davon ab, was wir unter dem Begriff Primzahl intuitiv verstehen wollen und wie nützlich die Definition des Begriffs dann für die Formulierung von Theoremen ist.
(...)
Der bedeutende Mathematiker Godfrey Harold Hardy bezeichnete zum Beispiel noch im Jahr 1908 die Zahl 1 als Primzahl, aber spätestens im Jahr 1929 nicht mehr. Generell gilt seit dem 20. Jahrhundert unter den allermeisten Mathematikern die Übereinkunft, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu zählen.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

"Ist die Zahl 2 wirklich eine Primzahl? Sie ist doch die einzige gerade Primzahl als Erste in der Reihe der Primzahlen."

Nun, der gerade Zahlenwert 2 als einzige gerade sowie als erste der Primzahlen ist tatsächlich ein Phänomen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen >1. Der Reigen des phänomenalen in der Primzahlforschung geht jedoch noch (ein wneig) so weiter: auch die natürliche Zahl mit dem Zahlenwert 5 ist als gleichzeitige Primzahle eine besondere Zahl, denn die Zahl 5 stellt die einzige Primzahl dar, die auf der Ziffer 5 endet, ganz gleich, von welchen Zahlengrößen bzw. Zahlenraumausschnitten wir sprechen.

Die oben gestellten Fragen scheinen also durchaus ihre Berechtigung zu haben, jedoch muss das vielzitierte Rad nicht permanent neu erfunden werden: die oben gestellten Fragen sind iun der Welt der Mathematik bereits hinlänglich erörtert worden und man hat sich weltweit bereits seit längerem geeinigt: solche allgemeinen Einigungsprozesse in der Mathematik sind nicht nur notwendig, damit mathematische Fragestellungen überhaupt und möglichst allgemeinverständlich bearbeitet werden können; sie machen darüber hinaus sogar einen gewissen Teil dessen aus, was Mathematik heute betreibt.
Bei allen Fragen die es zur Mathematik zu stellen gilt, bzw. die gestellt werden können gibt es deshalb keineswegs ferstgefügte Gegenargumente, die zu akzeptieren wären: über Mathematik und ihre modernen Herangegehnsweisen darf (und stellenweise muss) diskutiert werden um EInigungen als allgemeinverbindliche Grundlagen zu erhalten bzw. neue zu erzeugen - und in manchen möglicherweise seltenen Fällen vielleicht auch wieder über Bord zu werfen. Hierfür ist es jedoch notwendig, sich zunächst einmal über den allgemeinen Stand der Dinge zu informieren, damit dieselben Fragen nicht immer wieder von neuem gestellt werden und gleichartige Diskussionen - die in manchen Fällen sinnlos sein könnten - immer wieder von neuem zu beginnen.

Die Arbeitsfähigkeit der modernen Mathematik gründet sich also summa summarum darauf, wie man sich einigt und wie - z.B. bei neuartigen oder abweichenden Herangehensweisen - vorab definiert wird: so ist niemand gezwungen, eine einzige allgemeingültige Art der Darstellungsweise von Mathematik zu verwenden, denn die existiert eigentlich gar nicht. Dieses Gedankenspiel wiederum macht einen der Kernaspekte dfer Mathematik aus: welche sind die ursprünglichsten, die verbindlichsten - und valide nachweisbaren - Zusammenhänge in der Mathematik, die sich in z.B. in allgemeinverbindliche und der Allgemeinheit nutzende Formeln fassen lassen, damit möglichst viele Menschen Mathematik alltagstauglich anwenden können? Zu dieser Fragestellung darf gernen noch weitergeforscht werden und die Forschung zu dieser methodisch-didaktischen Fragestellung wird vielleicht auch niemals enden. Deutlich wird die Notwendigkeit dieses Diskutierens in der Mathematik, wenn wir uns z.B. die Ergebnisse von sog. PISA-Studien anschauen oder uns z.B. folgende fiktive Frage stellen:

"Wie würden wir einem Außerirdischen erklären, was natürliche Zahlen sind und wie würden wir ihm insbesondere das Phänomen der Primzahlen erklären?"

Viele gehen bei stellen dieser fiktiven Frage, die auf die eine oder andere Art und Weise gestellt werden kann möglicherweise automatisch davon aus, dass der Außerirdische ohnehin wissen muss, was natürliche Zahlen und Primzahlen als Phänomene sind, weil der Außerirdische es ja sonst wohl niemals geschafft hätte unseren Planeten, die Erde, zu besuchen, besser gesagt interstellar zu erreichen. Aber stimmt das? Muss ein Außerirdischer der die Erde besucht automatisch wissen was natürliche Zahlen und Primzahlen sind: nun, ich persönlich würde antworten, das ist gar nicht die Frage um die es geht. Die Frage um die es dabei geht ist ob und wie wir allgemeinverbindlich - zum Beispiel im Bereich der Mathematik - miteinander kommunizieren können, so dass möglichst viele - unabhängig von ihrer Herkunft und ihrer soziokulturellen Entwicklung nachvollziehen und idealerweise verstehen können - wovon wir überhaupt reden.
Auch wenn das fiktive Beispiel mit dem Außerirdischen abgedroschen sein mag: es zeigt immer wieder kristallklar auf, wobei es in der Vermittlung von Mathematik aus methodisch-didaktischer Sichtweise gehen sollte, damit die Mathematik möglichst gut nutzbar wird für möglichst alle Bereiche des alltäglichen Miteinanders; so auch z.B. für die Experimentalarchäologie.
Um es vorwegzunehmen: ich habe eine eigene Lösung dafür, wie ich einem Außerirdischen natürliche Zahlen und Primzahlen als Phänomene erklären würde um herauszufinden, ob der Außerirdische diese Phänomene kennt und wir darüber miteinander kommunizieren können (siehe Anhang 3 mit der zweidimensionalen Produkte-Entwicklungsmatrix der natürlichen Zahlen).
Mein - ganz persönlicher - Vorschlag gibt dabei nur einen von schier unzählig vielen möglichen Lösungswegen wieder. Mein Vorschlag weicht dabei ab von dem, was unter Mitwirkung von Carl Sagan im Zeitgeist der 70er auf den Plaketten der Voyager-Raumsonden (Voyager Golden Record) verweigt wurde in dem damals brennenden Bestreben danach, den Klärungsversuch der Frage da "ob wir allein im Universum sind" oder ob noch anderes Leben "irgendwo da draußen" existiert - in Angriff zu nehmen. Der Vorschlag und ist auch nicht direkt mit den Bestrebungen von SETI zu vergleichen, komplexe Zusammenhänge der Menschlichen Zivilisation in - z.B. mittels Radioteleskopen - kommunizierbare Bilder zu fassen [gWiki10/11/12/13]. Allerdings wäre auch mein Vorschlag durchaus vertonbar und in Chiffre´s [gWiki14] umsetzbar.
Ob dieser Vorschlag jedoch jemals auf teure goldenen Schallplatten gedruckt werden würde, steht natürlich in den Sternen - und das ist auch ganz gut so.

Ist die Behauptung dass Primzahlen die "Atome" der natürlichen Zahlen seien berechtigt?
Primzahlen werden gerne als die "Atome" der natürlichen Zahlen bezeichnet. Um es ohne Umschweife auf den Punkt zu bringen: ja, das kann man aus guten zahlentheoretischen Gründen tatsächlich so formulieren, wie noch aufgezeigt werden wird. Allerdings darf (und muss) dabei vorweg betont werden, dass Primzahlen aufgrund ihrer Eigenschaften zwar als "elementare" Zahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen verstanden werden können und sich (gerade deshalb) - je nach Größe - sehr schwierig bis überhaupt nicht gut (oder auch gar nicht berechnen lassen), weil wir bis heute nicht über geeignete formale Lösungen und entsprechend erforderliche technische Möglichkeiten verfügen. Dies wiederum macht Primzahlen so interessant und wichtig u.a. für die heutige Kryptologie (siehe z.B. [gWiki14]).
Dabei wurden etwa solche Einsatzmöglichkeiten der Primzahlen bei deren Entdeckung und ausführlicherer Erforschung vor vielen Jahrhunderten und Jahrtausenden noch gar nicht so viel - oder auch gar keine - Aufmerksamkeit geschenkt, weil auch die Kryptologie in ihrer heutigen Form sich erst entwickeln musste: es gab für Primzahlen seit Anbeginn ihrer Entdeckung schlichtweg nicht die Einsatzmöglichkeiten, die Primzahlen heute ganz besonders auszeichnen. Besondere Primzahlen unter den Primzahlen erfahren dabei heute eine regelrecht sportlich umkämpfte gesellschaftliche Bewertung und Aufwertung: sog. Mersenne-Primzahlen und das Finden der jeweils nächstgrößeren (noch unbekannten) Mersenne-Primzahl animieren viele Menschen in der Welt, sich z.B. über das sog, verteilte Rechnen mit Mersenne-Primzahlen auseinander zu setzen (siehe [gWiki8]).
Einer der Gründe für die groß angelegte Suche nach Mersenne-Primzahlen mag die Aussicht auf Preisgelder sein (was jedoch statistisch gesehen mit Glücksfällen gleichzusetzen wäre). Von den Primzahlen und Mersenne-Primzahlen im Speziellen kann jedoch ein solcher mathematischer Reiz ausgehen, dass es Menschen gibt, die sich mit solchen Zahlenarten rein des Interesses und der Fasszination halber auseinandersetzen und es mag recht viele Menschen geben, die Mathematik lieben.
Mersenne-Primzahlen sind Primzahlen mit ganz bestimmten Eigenschaften. Eine existierende Mersenne-Primzahl liegt dann vor, von der Gleichung 2^n (also einer Potenz der Basis 2, siehe auch sog. Mersenne-Zahlen [gWiki2]) der Zahlenwert 1 abgezogen werden kann und dabei am Ende eine Primzahl herauskommt, z.B.:
(2^2) - 1 = (2*2) - 1 = 4 - 1 = 3

Deshalb lautet die Reihe der ersten Mersenne-Primzahlen in ℕ:
(hier) M(p) = Mersenne-Primzahl

mp ∈ ℕ = {3, 7, 31, 127, ...}

weil:
(2^2) - 1 = 3
(2^3) - 1 = 7
(2^5) - 1 = 31
(2^7) - 1 = 127

Dabei existieren bis heute nicht sehr viele bekannte Mersenne-Primzahlen, es kann aber bereits viel über die Eigenschaften dieser besonderen Zahlen ausgesagt werden (siehe gWiki2 u. 8]).
Primzahlen mit ihrer "atomaren" Sonderstellung im Zahlenraum der natürlichen Zahlen können für besonders interessierte zu einer tiefgreifenderen Auseinandersetzung mit der Zahlentheorie (also komplexerer höherer Mathematik) führen. Dabei können die Eigenschaften und "Verhaltensweisen" der natürlichen Zahlen und z.B. der Primzahlen auf den Ersten Blick regelrecht "simpel" auf den Betrachter wirken, verzweigen sich aber stellenweise in ungemein komplizierter werdende Details und Betrachtungen, je nachdem mit welchen Fragen zu den natürlichen Zahlen wir uns auseinandersetzen. Tatsächlich kristallisieren sich dabei manche besondere Fragestellungen, die natürlichen Zahlen (und damit auch andere Zahlbereiche betreffend) heraus, die so komplex sind dass sie bis heute - trotz größter Bemühungen - nicht beantwortet werden konnten. Geschuldet ist dies neben anderem der Tatsache dass bestimmte Zusammenhänge in der Welt der Mathematik anbetrachts der uns heute zur Verfügung stehenden mathematischen Instrumentarien (bzw. mathematischen "Werkzeuge und Methoden") als gegeben vorausgesetzt werden müssen, um überhaupt mathematische Aussagen treffen zu können. Solche unverrückbaren Grundlagen der Mathematik, die aufgrund ihrer Merkmale nicht bewiesen müssen, bzw. stellenweise auch gar nicht (bzw. noch nicht) bewiesen werden können, werden in der Mathematik als Axiome bezeichnet: für die Bearbeitung mancher mathematischer Fragestellungen müssen Axiome als Grundlage vorausgesetzt werden, damit überhaupt mathematisch zu den spezifischen Fragestellungen gearbeitet werden kann. Manche mathematische Fragestellungen - und deren seit längerem angestrebte Beantwortung - wurden dabei bereits vor etwa einem Jahrhundert als so bedeutend eingestuft, dass sie auf eine "Liste" der bedeutendsten mathematischen Fragestellungen unserer Zeit gesetzt wurden. Eine dieser Listen erstellte der Mathematiker David Hilbert (1862 - 1943), der für Albert Einstein (dessen Relativitätstheorie [Suatoy, 2013] [gWiki15] mathematisch formulierte; siehe Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen [gWiki3]:
Hilbert lenkte mit der Auflistung von - Hilberts Ansicht nach - 23 besonders wichtigen mathematischen Fragestellungen einen Aspekt in der Betrachtung der modernen Mathematik auf die "Bewertung" der gesellschaftlichen Bedeutung der Mathematik: da solche Bewertung stets auch anwendungsorientiert ist (bzw. war), kann also durchaus weiterhin darüber gestritten und diskutiert werden, ob etwa Hilberts Liste überhaupt vollständig ist und die stimmigen mathematischen Herausforderungen unserer Zeit in richtiger Reihenfolge auflistet. Hilberts Grundintention aber war - ob seine Liste nun insgesamt stimmig war oder nicht - eine wesentliche für die gesellschaftliche Bedeutung und gesellschaftliche Wahrnehmung der Mathematik und spiegelte einen bestimmten Zeitgeist. Seit Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen hat sich die Mathematik stellenweise rasant weiterentwickelt. Stellenweise tritt sie jedoch immer noch auf der Stelle und kommt nicht voran: dies mag der Art und Weise geschuldet sein, wie unsere Gesellschaften heutzutage - in Rückbesinnung auf die Vergangenheit - Mathematik unterrichten, vermitteln und praktizieren. Es besteht jedoch eine nicht unerhebliche gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bestimmte mathematische Fragestellungen vielleicht niemals (vollständig) lösen lassen. Einen Vorteil hat diese Unvollständigkeit dabei - wenn man das so sehen mag: es gibt weiterhin einiges im Bereich der Mathematik zu beforschen und es bleibt nach wie vor spannend in der Mathematik. In mathematischen Bereichen, in denen vermutlich noch sehr lage Zeit großerer VErbesserungsbedarf bestehen wird, ist die sog. Didaktik der Mathematik, also die Auseinandersetzung mit der Frage, wie sich mathematische Fragstellungen gut methodisch und didaktisch vermitteln lassen. Dieses Forschungsfeld scheint trotz intensiver gesellschaftlicher Bemühungen noch in den Kinderschuhen zu stecken, dies nicht zuletzt, weil die Frage nach einer gut rezipierbaren und individuell fördernden Vermittlung der Mathematik stets auch - und insbesondere - mit demjenigen steht und fällt, der mathematische Inhalte vermittelt. Ich persönlich kann dabei zu mindestens aus meiner eigenen Schul- und Ausbildungszeit darüber berichten, dass der Mathematik als Unterrichtsfach und damit der gut rezipierbaren und individuellen Vermittlung von mathematischen Inhalten zu wenig Freiraum für Ganzheitlichkeit, Innovationen und Kreativität ermöglicht wurde: die Frage, wie wir Mathematik gut begreifen können, hängt nicht zuletzt vor allem auch von uns selbst und unserer individuellen Disposition ab und dieser Punkt darf bei methodisch-didaktischen Fragestellungen im Bereich der Mathematik keinesfalls vernachlässigt werden.
Es muss im Bereich der Mathematik also auch zukünftig noch viel - und beharrlich - weitergefragt werden.
Dabei ist es - so kann man es wohl formulieren - für manche mathematische Fragestellungen (das betrifft auch z.B. methodisch-didaktische Fragestellungen) alles andere als "einfach" diese zu beantworten (sofern sich manche Fragestellungen überhaupt jemals beantworten lassen) und so mancher mathematikaffiner Mensch hat sich an solchen Fragestellunegn bereits die sprichwörtlichen "Zähne ausgebissen". Ab und zu kommt es jedoch - allerdings wohl äußerst selten - tatsächlich vor, dass auch einmal eine solcher mathematischen Fragestellungen tatsächlich beantwortet wird: darauf folgt dann i.d.R. eine ausführliche Begutachtung der Beantwortung solcher Fragestellungen und manchmal kommt es auch hierbei wiederum vor, dass Menschen, die Lösungen zu spezifischen Fragestellungen vorgelegt haben, schließlich widerlegt werden.
Zu solchen wesentlichen mathematischen Fragestellungen mit denen sich die moderne Mathematik noch heute intensivst auseinandersetzt und bisher keine wirkliche Lösung gefunden hat, gehören z.B. bestimmte grundlegende Aspekte der Eigenschaften von Primzahlen. Zum Ausdruck kommt dieses noch heute andauernde Ringen mit den Grundlagen der Mathematik (bzw. hier im speziellen mit zahlentheorischen Grundlagen) etwa bei Betrachtung der sog. Goldbach´schen Vermutungen (gemeint sind hiermit die Primzahlen und ihre grundlegenden Eigenschaften betreffende sog. schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung und die sog. starke binäre Goldbach´sche Vermutung). Aus den weiteren Erläuterungen wird dabei noch deutlich hervorgehen, dass beide Vermutungen Goldbach´s eigentlich zusammengehören.

Die schwache (ternäre) und die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung
In einem Briefwechsel mit dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 11783) formulierte der ebenfalls der gebürtige Schweizer, der Mathematiker Christian Goldbach (1690 - 1764) im Jahre 1742 seine heute berühmte sog. Goldbach´sche Vermutung. Die spezifizierter sog. starke binäre Goldbach´sche Vermutung besagt (formuliert als Vermutung Goldbach´s) dass jede gerade natürliche Zahl >2 sich auf mindestens eine Art und Weise als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann. Die stasrke binäre Goldbach´sche Vermutung ist leicht zu formulieren, wurde jedoch bis heute nicht bewiesen. [Reiss / Schmieder, 2007,33] [Sautoy, 2013,61]. Obwohl das (starke binäre) sog. Goldbach´sche Problem in der Grundannahme so simpel erscheint, ist es möglicherweise überhaupt nicht möglich, dieses mathematische Grundlagenproblem jemals zu lösen, weil uns - möglicherweise - auch heute die dafür erforderlichen mathematischen Instrumentarien fehlen. Möglicherweise lässt sich diese mathematische Frage aber auch niemals beantworten, weil sie potenziell unbeantwortbar ist.
Dahingegen ist es heute bereits (mutmaßlich; siehe folgendes Zitat) gelungen, die sog.- schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung (nach meinem aktuellen Verständnis zumindestens ansatzweise) zu beweisen:

[ZITAT]:
Die schwächere Vermutung (gemeint ist hiermit die schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung, Anm, des Verf.)
"Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist Summe dreier Primzahlen".
ist als ternäre oder schwache Goldbachsche Vermutung bekannt. Sie ist teilweise gelöst: Denn einerseits gilt sie, wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist, und andererseits ist gezeigt, dass sie für alle genügend großen Zahlen gilt (Satz von Winogradow, siehe Verwandte Resultate).
[ZITAT ENDE] [gWiki19]

(Hinweis des Verf.: Anführungszeichen für wörtliche Rede bzw. Hervorhebung wie bei Wikipedia mit blau eingefärbtem Font (spezifisch verwendeter Schriftsatz der deutschsprachigen Wikipedia) üblich wurde hier durch Anführungszeichen vom Verfasser ersetzt).

Die schwache (ternäre) Goldbach´sche Vermutung formulierte demnach im Hinblick auf die grundlegenden Eigenschaften von Primzahlen entsprechend die Frage, ob sich jede natürliche Zahl >5 als Summe dreier Primzahlen schreiben lässt (deshalb der Begriff "ternär"; siehe [gWiki20] zum Thema lateinische Zahlwörter) .

Durch den Beweis der schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung wurde die Vermutung schließlich zum (anerkannten) Theorem. Der Vorteil der Anerkennung von Theoremen in der Mathematik liegt darin, dass sie für mathematische Beweisführungen verbindlicher verwendet werden können als Vermutungen, weil Mathematiker damit nicht immer wieder bei sprichwörtlich "Null anfangen und das Rad neu erfinden müssen". Die gesamte moderne Mathematik baut auf sog. Beweisen und daraus ableitbaren Theoremen auf, weil sie ansonsten gar keine wirklich verwertbaren Resultate liefern würde: mit Intuition und "Bauchgefühl" kann man zwar auch im Bereich der Mathematik das eine oder andere Ergebnis erzeugen, das am Ende sogar stimmen mag, aber das wäre z.B. vergleichbar mit einer Prüfung bei der nach Intuition und Bauchgefühl Fragen als richtig oder falsch angekreuzt werden würden. Statistisch gesehen bestünde dabei sogar die Chance, auch in einer sog. Multiple Choice Prüfung durch kathegorisches Ankreuzen (z.B. stetiges Ankreuzen der Antwort B ohne dahinterstehende Überlegung ob die Antwort B überhaupt richtig ist) zu positiven Bewertungsergebnjssen zu gelangen. Das wäre jedoch reine Glückssache, ist keinesfalls zur Nachahmung zu empfehlen und liegt auch nicht im ursprünglichen Sinn von Prüfungen: genau so hält es die Mathematik seit der Entstehung mathematischen Denkens und der Fortentwicklung zur modernen Mathematik: die Mathematik will sich nicht auf Vermutungen berufen, sie sucht Beweise. Um so fataler für die noch heute stellenweise auf der Stelle tretende Mathematik, wenn solche Beweise seit Jahrhunderten ausbleiben - wie etwa im Falle der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung: die moderne Mathematik kommt im Bereich der modernen Primzahlforschung also stellenweise nicht weiter - und das bereits seit langem.
Wie sich die Systematik der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung übersichtlich strukturiert gut darstellen und vermitteln lässt, zeigt das von mir ersonnene Beispiel der von mir sog. Bolle´schen Matrix: die Bolle´sche Matrix erläutert die summenbildenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen auf anschauliche Art und Weise und kombiniert diese mit einem gespiegelt gedoppelten Siebungsverfahren nach dem adaptierten Vorbild des Siebs des Eratosthenes (mehr dazu später, siehe Anhänge 4 u. 5).
Die Bolle'sche Matrix (oder auch Bolle'sche Matrix nach Hoppe, 2023) ist keinesfalls zu verwechseln mit der Booleschen Algebra [gWiki18].
Wie sich die aus der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung resultierende Fragestellung z.B. in Form eines tabellarischen Dokuments - bei entsprechendem Aufwand - übersichtlich und gut strukturiert darstellen lässt, wird im Abbildungs-Anhang dieses Themenbeitrags erläutert (siehe Anhang 6, folgt baldmöglich).

Tricks für das annähernde Bestimmen von Primzahlen
In der komplexen Welt der modernen Primzahlforschung haben sich einige grundlegende Vorgehensweise zur Eingrenzung der Frage ob es sich bei einer natürlichen Zahl um eine Primzahl handelt, herauskristallisiert. Vielfach werden diese für eine erste Eingrenzung der Fragestellung (insbesondere bei größeren Zahlen) verwendet, ob es sich um eine Primzahl handeln könnte oder nicht. Im Anschluss an die ersten Tricks, die grobe Eingrenzungsergebnisse liefern, erfolgen dann häufig komplexer werdende sog. Primzahltests. Einige grundlegende dieser Tricks sind dabei auch ohne komplexere Kenntnisse über die Materie für den "alltäglichen Hausgebrauch" geeignet, denn nicht jeder Mensch kennt z.B. die ersten Primzahlen zwischen dem Zahlenwert 1 und 100 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} auswendig. Einer dieser (hier nur beispielhaft angeführten Tricks ist die (hier) sog. "Quersummenmethode":

Aus jeder natürlichen Zahl >9 lässt sich eine Quersumme bilden: hierfür wird ein Zahlenwert "in einzelne Glieder zerlegt", die anschließend summiert (addiert) werden. Dieser Vorgang wird bei entsprechend größeren Zahlen solange wiederholt bis am Ende ein einzige Ziffer als Zahlenwert dabei herauskommt. Der Zahlenwert der am Ende einer solchen Rechenoperation herauskommt wird üblicherweise Quersumme genannt.

Beispiele für die Quersummenbildung:
(QS = Quersumme; die folgenden Betrachtungen gelten für das Dezimalsystem)
10; 1+0 = 1; QS = 1
11; 1+1 = 2; QS = 2
15; 1+5 = 6; QS = 6
17; 1+7 = 8; QS = 8
97; 9+7 = 16; 1+6 = 7; QS = 7
123; 1+2+3 = 6; QS = 6

Entsprechende (hinlänglich bekannte) Eingrenzungen (durch Vorab-Feststellungen) helfen nun, die Quersummenmethode auf die Suche und ungefähre (aber ggf. noch nicht ohne weitere Beweisschritte) eingrenzbare Zahlenwerte anzuwenden, die eventuell eine Primzahl sein können, diese sind:

Eingrenzung A: Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl unter den Primzahlen. Mit dieser Eingrenzung kommt bereits ein sehr großer Teil der natürlichen Zahlen nicht als Primzahlen in Betracht. Je nachdem wie groß der Zahlenraum ist, den wir analysieren, lässt sich exakt berechnen wie groß der Anteil der natürlichen Zahlen ist die anhand dieser Eingrenzung verlässlich keine Primzahlen sein können:
ug = ungerade Zahl
g = gerade Zahl

UG in N = {1, 3, 5, 7, 9 ...}; g in N = {2, 4, 6, 8, 10 ...}

beispielhaft betrachteter Zahlenraum ug,g in N(1 ... 12):
N(1 ... 12) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
ug in N(1 ... 12) = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
g in N(1 ... 12) = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Der hier resultierende "Ausschuss" in N(1 ... 12), also die Zahlenwerte in N(1 ... 12) die keine Primzahlen sein können beträgt demnach (bei Abzählen der Zahlen):
(12 : 2) - 1

Weil die Zahl 2 gemeinhin als (einzige gerade) Primzahl im Zahlenraum der natürlichen Zahlen definiert wird, enthält der betrachtete Zahlenraum N(1 ... 12) exakt eine Anzahl weniger als die Hälfte aller im betrachteten Zahlenraum enthaltenen Zahlen in Form, von geraden Zahlen. Somit kann die Eingrenzung ders betrachteten Zahlenraums bei der Suche nach Primzahlen über die Quersumme auf (50 - 1/12)% festgelegt werden, weil:
50% = Anzahl der geraden Zahlen sowie die Hälfte aller Zahlen in N(1 ... 12)
2 in N(1 ... 12) = 1/12 aller Zahlen in N(1 ... 12)

Es können also für die Anwendung der Quersummenmethode (mit Ausnahme des Zahlenwerts 2 als erste Primzahl in N(1 ... ∞) sämtliche geraden Zahlenwerte in N(1 ... ∞) die also auf einer geraden Ziffer enden eliminiert werden.

Eingrenzung B:
Der Zahlenwert 5 ist eine Primzahl. Die 5 ist (logischerweise) die einzige Zahl in der Vervielfachungsreihe des Grundwerts 5, die eine Primzahl darstellt. Daraus resultiert, dass sämtliche anderen Zahlenwerte im Zahlenraum N(1 ... ∞) die auf der Ziffer 0 oder 5 enden, eliminiert werden können, weil in der Auseinandersetzung mit natürlichen Zahlen zu entdecken ist, dass jede beliebige Vervielfachung des Zahlenwerts 5 im Ergebnis einen Zahlenwert produziert der auf der Ziffer 0 oder der Ziffer 5 endet, z.B. Bei diesem Zusammenhang handelt es sich um ein bekanntes Axiom, dass hier deshalb nicht der Anführung eines weiteren Grundlagenbeweises bedarf:
2 * 5 = 10; 3 * 5 = 15; 4 * 5 = 20; 5 * 5 = 25; 6 * 5 = 30; 7 * 5 = 35 usw. usf.
Aufgrund dieses geschilderten Zusammenhangs können (je nach Größe eines zu betrachteten Zahlenraums also sämtliche Zahlenwerte in N die auf der Ziffer 0 oder der Ziffer 5 enden, eliminiert werden. Würden wir Beispielsweise den Zahlenraum N(1 ... 15) dahingehend analysieren, würden von 15 Zahlenwerten aufgrund ihrer Eigenschaft dass sie auf der Ziffer 5 oder der Ziffer 0 enden, mit Ausnahme des Zahlenwerts 5 sämtliche anderen Zahlenwerte dieser Art nicht als Primzahl in Frage kommen, in diesem Fall sind das die Zahlenwerte 10 und 15:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

und schließlich:

Eingrenzung C:
Primzahlen stellen per Definition - mit einziger Ausnahme des Zahlenwerts 2 als Primzahl - ungerade natürliche Zahlenwerte dar. Dabei gilt dass jede Vervielfachung des Ursprungszzahlenwerts 3 der eine Primzahl darstellt, in einer Quersummen-Konstellation auf den Ziffern 3, 6, oder 9 endet. Durch Analyse der Vervielfachungsreihe des Zahlenwerts 3 wird also deutlich, dass ungerade natürliche Zahlen, die eine Quersumme ergeben, die auf den Ziffern 3, 6 oder 9 enden und >3 sind, keine Primzahlen sein können, z.B.:
1 = 1QS, 2 = 2QS, 3 = 3QS, 4 = 4QS, 5 = 5QS, (6 = 6QS), 7 = 7QS, 8 = 8QS, (9 = 9QS), 10 = 1QS, 11 = 2QS, (12 = 3QS), 13 = 4QS, 14 = 5QS, (15 = 6QS), 16 = 7QS, 17 = 8QS, (18 = 9QS), usw. usf.

weil (Vervielfachungsreigen des natürlichen Zahlenwerts 3):

1 * 3 = 3; 3QS
2 * 3 = 6; 6QS
3 * 3 = 9 = 9QS
- (Quersummen-Wiederholungsfolge) -
4 * 3 = 12 = 3QS
5 * 3 = 15 = 6QS
6 * 3 = 18 = 9QS
- (Quersummen-Wiederholungsfolge) -
7 * 3 = 21 = 3 QS
8 * 3 = 24 = 6QS

Im Hinblick auf die vorgenannten Argumente erhalten wir so bereits eine erste (grobe) Möglichkeit, Zahlenwerte in N zu eliminieren, die keine Primzahlen sein können, wenn wir die jeweilige Quersumme betrachten, die sich aus einem Zahlenwert bilden lässt. Diese Systematik funktioniert, weil der (hier sog.) Quersummenreigen ein ganz bestimmtes, systemisch-strukturiertes Abbild von Zahlenwerten als schließlich am Ende von Quersummenoperationen ausgegebenen Quersummen erzeugt. Von entscheidender Bedetung und besonderem Interersse hierbei sind auch die entsprechend charakteristischen Wiederholungsfolgen im Quersummenreigen in N:.

Wiederholungsfolgen im Quersummenreigen in N:
bei N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
0 = 0 QS, 1 = 1 QS, 2 = 2 QS, 3 =3 QS, 4 = 4 QS, 5 = 5QS, 6 = 6 QS, 7 = 7QS, 8 = 8 QS, 9 = 9 QS, 10 = 1 QS, 11 = 2 QS, 12 = 3 QS, 13 = 4 QS, 14 = 5 QS, 15 = 6 QS, 16 = 7 QS, 17 = 8 QS, 18 = 9 QS, 19 = 1 QS, 20 = 2 QS usw. usf.

In der beispielhaften Betrachtung des Zahlenraumausschnitts aus N(1 ... ∞) bei N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} mit N = {1 ... 20) resultiert daraus, dass die Zahlenwerte {, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} in N(1 ... 20) keine Primzahlen sein können. Aus den geschilderten Zusammenhängen zur Anwendung der Quersummenmethode läst sich bereits ein (lückenhaftes und grobes) Aussiebungsprinzip für den Zahlenraum der natürlichen Zahlen z.B. handschriftlich auf Tafel oder Papier oder etwa mit einer gängigen Tabellenkalkulationssoftware bewerkstelligen. Hierfür lassen sich die spezifischen Quersummenregelungen wiederum zusammenfassen: so löschen die sämtlichen Vielfachen des Grundzahlenwerts 2 automatisch sämtliche geraden Zahlenwerte aus und damit auch die im Hinblick auf die Quersummenmethode relevanten Zahlenwerte die als Quersumme die Ziffern 0 und 6 ausgeben. So genügt es für Anwendung dieser speziellen Methode, lediglich 3 Spalten mit entsprechenden Vervielfachungen anzuwenden (siehe Beispiel im Anhang 1).

Sind Primzahlen wirklich "die Atome" der natürlichen Zahlen? Und wenn ja, weshalb?
Weshalb sollten ausgerechnet Primzahlen als Zahlenart, mit der sich die mathematische Auseinandersetzung (je nach Fragestellung und Anspruch) als äußerst komplex und schwierig erweisen kann, als "Atome" der natürlichen Zahlen angesehen werden? Gibt es nicht Zahlenarten, mit denen sich natürliche Zahlen, ihre Ursprünge und Zusammensetzungen wesentlich besser (im Sinne von "einfacher") ausdrücken lassen? Ja, solche Zahlen existieren tatsächlich (z.B. Fibonacci-Zahlen, Dreickszahlen, Quadratzahlen uva.). Mit solchen zahlenarten lässt sich ebenfalls - und dabei sehr übersichtlich und strukturiert eine systemisch-ganzehitliche Bezugnahme jedes Zahlenwerts in N auf andere Zahlenwerte ermöglichen.
Bei Anwendung einer spezifischen Methode, die strukturellen Eigenschaften des Zahlenraums der natürlichen zahlen zu erläutern ist also stets auch die Frage entscheiden, werlcher Ansatz für eine Erläuterung gewählt wird und welchen Zweck dieser Ansatz - auch in methodisch-didaktischer Hinsicht - erfüllen soll: Im zahlenraum der natürlichen zahlen existiert eigentlich gar kein universelles Strukturierungsprinzip des zahlenraums, dass sämtliche Aspekte "am besten" zum Ausdruck bringen und erläutern kann: es kommt bei solcher Absicht immer darauf an, welche analystischen Ziele verfolgt werden.
Primzahlen eigenen sich alles andere als "gut und simpel" um die strukturellen Eigenschaften und Phänomene des Zahlenraums der natürlichen Zahlen zum Ausdruck zu bringen. Andere Zahlenarten in N eigenn sich dafür (eigentlich) wesentlich besser, z.B. Dreieckszahlen und Quadratzahlen. Der große Vorteil der Primzahlen mit ihrem produktbildungsorientierten Alleinstellungsmerkmal im Zahlenraum der natürlichen Zahlen liegt jedoch darin, dass es sich bei Primzahlen aufgrund ihrer Eigenschaften offensichtlich um die einzige Zahlenart in N handelt, die am Ende von Rechenoperationen ausgeschüttet wird und übrigbleibt, wenn sämtliche überhaupt möglichen ganzzahligen Zerlegungseigenschaften von natürlichen Zahlen angewendet und berücksichtigt werden.
Primzahlen stehen aufgrund ihrer Eigenschaften stets in direktem und unmittelbarem Zusammenhang der ganzzahligen Zerlegung von Zahlenwerten. Damit bringen Primzahlen den mit Primzahlen möglichen Ausdruck der strukturellen Eigenschaften des Zahlenraums der natürlichen Zahlen stets und automatisch in zwangsläugfige Verbindung mit dem Begriff der Produktbildung. Daraus resultiert, dass Primzahlen, Produktbildungseigenschaften und die Zerlegungsmöglichkeiten von natürlichen Zahlenwerten in Faktoren in einem Zusammenhang genannt und betrachtet werden müssen (bzw. sollten): Primzahlen und ihre definierten Eigenschaften nehmen Bezug auf die Zusammensetzungseigenschaften von natürlichen Zahlen und die definierte Existenz von Primzahlen definiert damit den Unterschied zwischen sog. zusammengesetzten Zahlen und eben Primzahlen (als Zahlenart in N, die als "nicht zusammengesetzt" bezeichnet werden kann. Schauen wir uns noch einmal eine kleine Auswahl beispielhaft ausgewählter natürlicher Zahlen an, wird dies deutlicher:

Die natürlichen Zahlen 4, 6, 8, 9, 10, 12 >1 in N(1 ... 12) können als "zusammengesetzt" bezeichnet werden, weil sie sich durch mehr als zwei Teiler teilen lassen: die genannten zahlen lassen sich also durch mehr Teiler als durch 1 und sich selbst teilen, weil (hier mit Darstellung auch der "spiegelverkehrten" Teilerumkehrung:
4 : 4 = 1; 4 : 2 = 2, 4 : 1 = 4
6 : 6 = 1; 6 : 3 = 2; 6 : 2 = 3; 6 : 1 = 6
8 : 8 = 1; 8 : 4 = 2; 8 : 2 = 4; 8 : 1 = 8
9 : 9 = 1; 9 : 3 = 3; 9 : 1 = 9
10 : 10 = 1; 10 : 5 = 2; 10 : 2 = 5; 10 : 1 = 10
12 : 12 = 1; 12 : 6 = 2; 12 : 4 = 3; 12 : 3 = 4; 12 : 2 = 6; 12 : 1 = 12

zum Vergleich die Teilereigenschaften der Primzahlen in N(1 ... 12):
2 : 2 = 1; 2 : 1 = 2
3 : 3 = 1; 3 : 1 = 3
5 : 5 = 1; 5 : 1 = 5
7 : 7 = 1; 7 : 1 = 7
11 : 11 = 1; 11 : 1 = 11

Mit anderen Zahlenarten in N als Primzahlen lassen sich strukturelle Aspekte des Zahlenraums der natürlichen Zahlen übersichtlich beschreiben. Solche Zahlenarten in N sind mit den Primzahlen und ihrem Alleinstellungsmerkmal in puncto Hervorhebung der produktbildenden Eigenschaften sowie der Teilbarkeitseigenschaften von natürlichen Zahlen jedoch nicht zu vergleichen.
Bei der Frage nach den Primzahlen geht es insgesamt nicht nur um "möglichst einfache Wege in der Anwendung von spezifischer Mathematik, sondern eben um das Herauskristallisieren von ursächlichen Prinzipien, die im analysierten Zahlenraum der natürlichen Zahlen zwischen den Zahlen wirken und über die sich die natürlichen Zahlen damit definieren lassen. Aus solcher Anwendung kann dabei nicht nur ein z.B. philosophischer, sondern auch ein alltagspragmatischer Nutzen resultieren: etwa so - oder zumindestens so ähnlich dürfte sich der Antrieb der alten Griechen vor über 2000 Jahren gestaltet haben, als sie sich erstmals mit dem Phänomen der auf ein "maximales Minimum" eingegrenzten Teilbarkeit von Zahlen fokussierten: die alten Griechen versuchten damit wohl herauszufinden, welche unmittelbarsten Wirkweisen (natürliche) Zahlen beherrschen und zu dem machen, was sie sind.
Primzahlen definieren sich über ihre Teilbarkeitseigenschaften sowie ihre daraus resultierenden Eigenschaften als Faktoren zur Bildung von Produkten, das war bereits Eratosthenes (von Kyrene, 3. Jhd. vor unserer Zeitrechnung) bewusst als er sein Sieb des Eratosthenes ersonn, um Primzahlen aus den natürlichen Zahlen heraus zu generieren, indem er quasi alle anderen Zahlenarten im mathematischen Sinne durch spezielle "Siebungsvorgänge" entfernte.

Die Funktionsweise des Siebs des Eratosthenes
Wie das Sieb des Eratosthenes funktioniert, ist rasch erklärt: Wird jede Zahl (also jeder Zahlenwert) - dabei ausgehend vom ursprünglichsten Zahlenwert 1 (bzw. "Null" - je nach Definition der natürlichen Zahlen) - vervielfacht, entstehen daraus sog. zusammengesetzte Zahlen, die in der Mathematik als zusammengesetzt bezeichnet werden, weil sie sich eben durch mehr Teiler als die Teiler 1 und durch die jeweilige Zahl selbst teilen lassen, die ursprünglich vervielfacht wurde. So lässt sich etwa die Zahl 7 ausschließlich durch sich selbst und 1 teilen weshalb sie eine Primzahl ist, während etwa die Zahl 8 als zusammengesetzte natürliche Zahl betrachtet werden kann, weil sich 8 durch die Teiler 8, 4, 2, und 1 teilen lässt.
Der dem Sieb des Eratosthenes zugrundeliegende Algorhitmus erzeugt ein vollständig-lückenloses Abbild eines analysierten Zahlenraums im N im Hinblick auf die Frage, wieviele Primzahlen darin enthalten sind. Das Problem bei Anwendung des Siebverfahrens nach Eratosthenes ist, dass es sich um ein maximal-aufwändiges Verfahren handelt: der Algorhitmus funktioniert nur dann mit Ausgabe eines lückenlosen Ergebnisses für einen spezifisch analysierten Zahlenraum, wenn jedes tatsächlich in diesem Zahlenraum vorkommende Analyseglied erfasst wird. Im Klartext bedeutet dies, dass jede einzelne im analysierten Zahlenraum vorkommender Zahlenwert im Hinblick auf seine Teilbarkeitseigenschaften bzw. Zerlegungsmöglichkeitne hin untersucht werden muss. Damit ist das Sieb des Eratostenes z.B. in Ausführung als "Formular" - je nach angewendeter Methode - sehr zeitaufwändig und arbeitsintensiv. Außerdem lassen sich mit dem Sieb des Eratosthenes - aufgrund des damit einhergehenden Aufwands - nur sehr kleine Zahlenräume in N im Hinblick auf die darin enthaltenen Primzahlen untersuchen: die Suche nach den Primzahlen muss dabei stets an der Basis (mit dem Zahlenwert 1) beginnen und von dort lückenlos aufgebaut werden. deutlich wird dieser Zusammenhang in der adaptierten Anwendung des Siebverfahrens des Eratosthenes wie im hier verwendeten Beispiel (siehe Anhang 2, folgt baldmöglich); für mehr Informationen zum Sieb des Eratosthenes siehe [gWiki5].
Die Suche nach Primzahlen kann sich also insgesdamt - je nach verwendeter Methode, je nach Stand des Wissens einer jeweiligen Zeit) als sehr aufwendig und auch mühevoll gestalteten. Da wundert es nicht, dass Menschen die sich mit den Primzahlen auseinandersetzen, rasch nach vereinfachenden Methoden suchten und diese stellenweise - auch in Verbindung mit dem Fortschritt udn der Weiterentwicklung von z.B. EDV - auch fanden. Dennoch biss sich bis heute mancher Forschender an den Primzahlen regelrecht die Zähen aus und mag auch an diesen verzweifelt sein: so gelang es etwa auch Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920) - trotz intensivster Bemühungen nicht, eine vereinfachte und leicht anwendbare Methode zur Berechnung von Primzahlen zu finden [Sautoy,2013]. Trotz intensivster Bemühungen und daraus resultierender Erfolge - so wie etwa bei den alten Griechen, Gauß, Hardy und Littlewood, um nur einen ganz kleinen (und äußerst groben) "Querüberschlag" durch die Geschichte der Primzahlforschung vorzunehmen, gelang es der Menschheit bis heute nicht, das "Mysterium" der Primzahlen und vor allem gut rezipierbar in Gänze zu lösen. Dabei fällt mir außerdem auf, dass schwerpunktmäßig von den Erfolgen (und Misserfolgen) männlicher Mathematiker auf diesem Gebiet berichtet wird und die Rolle von Frauen und diversen Menschen in diesem Bereich irgendwie nicht so richtig existiert, oder möglicherweise einfach zu wenig Beachtung findet.

Alternative Definition für Primzahlen
Primzahlen lassen sich alternativ (wahlweise) auch auf ganz andere Art und Weise definieren: eine mögliche Definition der Primzahlen kann z.B. über die Summendefinition von natürlichen Zahlen erfolgen. Primzahlen können in der Summendefinition als Zahlen definiert und bezeichnet werden, auf die folgende Eigenschaft zutrifft:

In der Summendefinition (mit Affinität zur bereits erläuterten hier sog. Summenkaskade in N) lassen sich Primzahlen als Zahlen definieren, die sich als Summe aus zwei direkt aufeinanderfolgenden Zahlen (und damit in der spezifischen Summe insgesamt aus einer spezifischen ungeraden und geraden natürlichen Zahl zusammensetzen wobei folgende Ausnahmen zwingend - je nach Definition - gelten:

1te Ausnahme: die Primzahl 2 (als erste Primzahl in N) ist die einzige Primzahl, die sich aus der Summierung zweier ungerader Zahlen (in diesem Fall aus der Summierung von 1 + 1) summarisch zusammensetzt.

2te Ausnahme: jede Summierung zweier direkt aufeinanderfolgender natürlichen Zahlen (bei der Bedingung dass eine der Zahlen ungerade und die andere gerade ist), die sich durch weitere Teiler als die Teiler 1 und die Zahl selbst als Teiler teilen lässt, ist keine Primzahl - logisch (siehe die allgemeingültige Definition der Primzahlen).

3te Ausnahme: Gerade Zahlenwerte die sich aus der Summierung ein und derselben geraden Zahl als Verdopplung ergeben, können keine Primzahl sein (logisch): weil gerade Zahlen mit Ausnahme der Zahl 2 als erste Primzahl in N (per Definition) keine Primzahl sein können.

Aus diesen Bedingungen resultiert also außerdem, dass jede Primzahl >2 eine ungerade natürliche Zahl ist (bzw. sein muss).

So setzt sich z.B. die Zahl 7 als Primzahl als Summe aus den direkt aufeinanderfolgenden Zahlenwerten 3 + 4 zusammen, während die Zahl 8 als Summe des verdoppelten Zahlenwerts 4 durch die Teiler 8, 4, 2 und 1 teilbar ist.

Weshalb die erweiternde Betrachtung der Primzahlen in der Unterscheidung zwischen einer Zahlenbwertbvvildung als Produkt und der Zahlenwertbildung als Summe für die Gesamtbetrachtrung der Primzahlen und die Abgrenzung der Primzahlen zu anderen zahlenarten in N so wichtig ist, wird im folgenden erörtert.

Für eine möglichst ganzheitliche Betrachtung der Primzahlen und ihrer Eigenschaften ist es sehr sinnvoll, einer Betrachtung der Produktbildenden Eigenschaften eine Betrachtung der Summenbildenden Eigenschaften von Primzahlen vorzuschalten, bzw. beides gleichberechtigt miteinander zu kombinieren. Begründbar ist dies damit, dass sich aus den summenbildenden Eigenschaften von natürlichen Zahlen sehr gut übersichtlich und strukturiert die produktbildenden Eigenschaften von natürlichen Zahlen ableiten lassen. Umgekehrt ist dies nur unter Schwierigkeiten in der gut übersichtlichen Darstellung möglich. Deshalb sollte in Bezug auf natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften - meiner Erfahrung nach - stets folgender Leitsatz gelten: Summenbegriff idealerweise vor Produktbegriff. Spätestens aber wenn wir Produkte und Produktbildungen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen betrachten sollten Summenbegriff und Summenbildungseigenschaften ausführlicher thematisiert werden.
Die Summenkaskade in N gibt ausführlich und lückenlos Auskunft über die Summenbildungseigenschaften der natürlichen Zahlen, aus denen sich die Produktbildungseigenschaften natürlicher Zahlen ableiten lassen. In der vermittelnden Kombination der beiden unterschiedlichen Prinzipien fällt es wesentlich leichter all die verschiedenen Eigenschaften von natürlichen Zahlen (zu denen die Primzahlen ja in der Abgrenzung gehören) übersichtlich und strukturiert darzustellen. Das kleine folgende Beispiel soll das oben behauptete belegen:

Der Zahlenwert 7 lässt sich summarisch zerlegen in (mindestens; je nach Definition) 7 grundständige Schreibweisen. Diese sind bei N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} inklusiver umgekehrter Schreibweisen:
0+7 = 7, 1+6 = 7, 2+5 = 7, 3+4 = 7, 4+3 = 7, 5+2 = 7, 6+1 = 7, 7+0 = 7

oder auch der besseren Übersichtlichkeit halber:
0+7 = 7
1+6 = 7
2+5 = 7
3+4 = 7
4+3 = 7
5+2 = 7
6+1 = 7
7+0 = 7

Betrachten wir die aus der Summenkaskade in N ableitbaren Schreibweisen für den Zahlenwert 7 können wir den Zahlenwert bei N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ebenfalls auf 7 verschiedene Arten und Weisen summarisch darstellen und zwar mit:
(hier ohne Additionszeichen bzw. "Pluszeichen", in Klammern zusammengefasste und mit Komma getrennte Elemente werden summiert)
{(7), (3,4), (2,2,3), (1,2,2,2), (1,1,1,2,2) (1,1,1,1,1,2), (1,1,1,1,1,1,1)}

also gleichbedeutend mit:
{(0+7), (3+4), (2+2+3), (1+2+2+2), (1+1+1+2+2) (1+1+1+1+1+2), (1+1+1+1+1+1+1)}
in der Auflösung der Klammern können die spezifischen Schreibweisen für den Zahlenwert 7 inklusive der umgekehrten Schreibweisen in korrekter Reihenfolge abgeleitet werden:
{(0+7), (3+4), (2+2+3), (1+2+2+2), (1+1+1+2+2) (1+1+1+1+1+2), (1+1+1+1+1+1+1)} =

Resümee
Über Primzahlen ließe sich hier noch sehr viel interessantes Erläutern. Dieser Themenbeitrag soll jedoch nur einen ersten kleinen Überblick über die Materie geben um damit eine Grundlage für den Aufbau eines Instrumentatirums fachpraktisch orientierter Methoden und Vorgehensweisen zu liefern, die auch für die z.B. experimentalarchäologische Beforschung der Mathematik und ihrer inzwischen Jahrtausende währenden Entwicklung geeignet sind. Bei weiterführendem Interesse an der thematik sind als erster Einstieg und für die Literaturrecherche seien die in der spezifischen an diesen Themenbeitrag angehängten Bibliographiea aufgelisteten genutzten Quellen empfohlen.

Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

[deutsschprachige Wikipedia]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Primzahl“
Seitentitel: Primzahl
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Bibliografische Angaben für „Leonhard Euler“
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Bibliografische Angaben für „Christian Goldbach“
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Bibliografische Angaben für „Boolesche Algebra“
Seitentitel: Boolesche Algebra
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[gWiki19]:
Bibliografische Angaben für „Goldbachsche Vermutung“
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[gWiki20]:
Bibliografische Angaben für „Lateinische Zahlwörter“
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Dateianhänge
Tabellarische Übersicht Bildung Goldbach´scher Paare (1).jpg
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Tabellarische Übersicht Bildung Goldbach´scher Paare (1)
Bolle´sche Matrix (2).jpg
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Bolle´sche Matrix (2)

- mit beispielhafter martkierter Summandenachse zur Ausgabe der binären primen Summanden zur Bildung binärer (von mir) sog. "Goldbach´scher Paare": 2 prime Summanden bilden auf der "Gamma-Achse" der Bolle´schen Matrix jeweils ein Goldbach´sches Paar, was bedeutet dass die beiden Primzahlen als Summanden addiert zur (binären) Summe jeweils einen geraden Zahlenwert ergeben. Der in der Bolle´schen Matrix auf diese Art und Weise zerlegte Zahlenwert ist hier in der Abbildung schwarz hinterlegt markiert (mit weißer Schrift). In der Bolle´schen Matrix lassen sich sämtliche Zahlenwerte (auch ungerade Zahlen) im Hinblick auf ihre Zerlegunbgsmöglichkeiten in Goldbach´sche Paare überprüfen. Goldbach´sche Summandenpaare die dabei durch jeweilige Verdopplung einer Primzahl einen geraden Zahlenwert ergeben, liegen in der Bolle´schen Matrix stets auf der "Spiegelachse der Bolle´schen Matrix" und werden damit in der Matrix stets ausschließlich als "solitärer" Summand ausgegeben. Auf der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix befinden sich damit per Definition auch sämtliche Quadratzahlen in N.
Die Summanden für Zahlenwerte die als resultierende Goldbach´sche Paare, binär in ungleiche Summanden zerlegt werden können (dies gilt generell für die Zerlegung ungerader Zahlen in N) werden als Summanden stets im "Alpha-Sektor" oder "Beta-Sektor" der Bollesch´en Matrix (also je nach Betrachtungsstandpunkt und Definition jeweils links und rechts der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix gelegen auf einer Summandenachse der Bolle´schen Matrix ("Delta-Achsen" in der Bolle´schen Matrix) ausgegeben: dabei werden die Summandenpaare stets stringent sortiert (aufsteigend nach Zahlenwert) sortiert ausgegeben, womit auch gleichzeitig die Spiegelungseigenschaften der Summanden dargestellt werden.
Die Bolle´sche Matrix eignet sich insgesamt hervorragend, die binären Zerlegungsmöglichkeiten von natürlichen Zahlen lückenlos gut strukturiert und übersichtlich zu veranschualichen und erläutert auch anschaulich das adaptierte Prinzip des Siebs des Eratosthenes.
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Bolle´sche Matrix (1)
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Produktematrix der natürlichen Zahlen

"Wie man versuchen könnte, einem Außerirdischen natürliche Zahlen und im speziellen Primzahlen zu erklären."
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Besondere Zahlen: Ganzzahlige Proportionen natürlicher Zahle

Beitragvon Sculpteur » 15.01.2024 18:20

Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen: Ganzzahlige Proportionen natürlicher Zahlen
- WICHTIG: Bitte beachten, dass der Haftungsausschluss des Verfassers für sämtliche vom Verfasser in diesem Thema veröffentlichten Inhalte gilt! Der Artikel wird derzeit bearbeitet und kann noch Fehler enthalten. Der Haftungsausschluss ist an das Ende dieses ersten Themenbeitrags des Verfassers angehängt. -

Ganzzahlige Proportionen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Erkenntnisse über die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen gewann der Mensch bis heute durch die vergleichende strukturierte Zergliederung des Zahlenraums der natürlichen Zahlen. Noch heute werden auf diese Art und Weise weitere mathematische Erkenntnisse z.B. bei Analyse der Eigenschaften der natürlichen Zahlen gewonnen. Dieser Prozess ist mitnichten abgeschlossen, denn grundlegende Fragestellungen zu den natürlichen Zahlen sind noch heute nicht geklärt. Wann und ob solche mathematischen Fragen dabei jemals geklärt werden können, ist völlig ungewiss. So können wir z.B. heute trotz der großen Fortschritte die in der Mathematik seit ihrer Entstehung und der Entwicklung der modernen Mathematik bis heute bewältigt hat, grundlegende Fragen zu den Eigenschaften der Primzahlen nicht beantworten: so haben wir zwar heute viele weiterführende Erkenntnisse über Primzahlen gewonnen, wir besitzen jedoch bis heute keinen einfachen Algorhitmus mit dem wir exakt Primzahlen in beliebig großen Zahlenräumen bestimmen könnne: hierfür müssen wir uns - je nach analysiertem Zahlenraum - weiterhin auf entsprechend aufwändige Primzahltests verlassen, die entsprechende EDV-Rechenkapazitäten erfordern. Es ist bis heute beispielsweise auch nicht möglich, verlässlich auszusagen, ob sich jeder gerade natürliche Zahlenwert >2 mindestens als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt.
Manche dieser Fragen ziehen Mathematiker - und damit die Mathematik - dermaßen in ihren Bann, dass die ursprünglichen Fragen auf erdenklichste Suchmuster ausgeweitet werden, die im Rahmen der heutigen Mathematik überhaupt möglich sind: so wird die Suche nach neuen Erkenntnissen in der modernen Primzahlforschung längst auch auf ganz andere Zahlenräume als die natürlichen Zahlen ausgeweitet. Begründet ist dies darin, dass sich "archetypische" Relationen auf nahezu die gesamte Mathematik bzw. viele ihrer verzweigten Bereiche übertragen lässt. So findet etwa die Kreiszahl Pi mathematische Anwendungen in Formeln fernab der herkömmlichen Kreisberechnung, der die Kreiszahl von ihrer ersten Entdeckung her ursprünglich entstammt: entdeckt wurde die KReiszahl Pi (unseres heutigen Wissens) vermutlich in der direkten Auseinandersetzung mit der Kriesfigur, die sich z.B. unter Verwendunbg einfachster Zirkelwerkzeuge (z.B. mit einem Stück Schnur) bewerkstelligen lässt. Durch den Vergleich von daraus resultierendem Kreisumfang und dem Kreisdurchmesser wurde die Kreiszahl als Annäherungslösung vom Menschen bereits früh bestimmt.
In der modernen Mathematik finden wir Pi neben den Anbwendungen in der Geometrie jedoch z.B. auch in Formeln der Analysis, der Zahlentheorie, der Physik u.a. (siehe [gWiki1], Punkt 9. Formeln und Anwendungen)

Mathematik erzeugte (und erzeugt noch heute) einen Großteil ihrer Erkenntnisse durch das Prinzip des in Relation Setzens von mathematischen Elementen in Formelstellungen. So ist z.B. die vergleichende formeltechnische Gegenüberstellung des Umfangs und des Durchmessers der Kreisfigur im Grunde genommen nichts anderes als das mathematische analysierend vergleichende Herstellen einer Proportion (bzw.- Relation). Diese Gegenüberstellung ermöglicht die Ableitung weiterer mathematischer Erkenntnisse, indem aus einer Proportion bzw. Relation z.B. ein "Proportions-" bzw. "Relationswert": abgeleitet wird, z.B.:

1 : 3,1415... =
3,1415... : 1 =

Ein Sinn der in z.B. solcher mathematischer Vorgehensweise liegen kann ist etwa z.B. mit dem Finden einfacher und gut funktionierender - also pragmatischer - Näherungslösungen für die Konstruktion von kreisfigurbasierten Figuren begründbar.

fiktives Beispiel:
Ein Steinmetz der Antike soll für die Anwendung einer neuen innovativen Methode im Bereich des Vermessungswesen einen möglichst exakten trommelförmigen Säulenschaft herstellen, an dessen Umfang exakte Seillängen für die Herstellung von Vermessungseilen exakt abgenommen werden können. Hergestellt werden sollen unter Verwendung des trommelförmigen Säulenschaftes dünne Vermessungsseile nach dem Prinzip der sog. "12-Knoten-Schnur". Um dieses Ziel zu erreichen, sollen geeignete Vermessungsseile exakt zwölf mal um den Säulenschaft herumgewickelt werden, damit am Säulenschaft angebrachte Markierungen auf die Vermessungsseile übertragen werden können.
Um den trommelförmigen Säulenschaft herstellen zu können benötigt der Steinmetz zuvor also grundlegende Informationen, die er zueinander in Relation bzw. "Proportion" setzen muss. So muss der Steinmetz also vorab wissen:

- welches Grundmaß soll verwendet werden (Grundmaßeinheit und dessen tatsächliche Länge)?
- welche Einteilung des Grundmaßes soll auf den trommelförmigen Säulenschaft übertragen werden (ganze, halbe, Dreiviertel oder eine andere Länge wie z.B. 1/4, 1/3, 1/6 oder 1/12 o.a.)?
- welcher auf den zu bearbeitenden Stienblock als Rohling zu übertragender Kreisdurchmesser muss für die Einstellung des Reißzirkels für den Anriss der trommelform angesetzt werden?

Um all diese verschiedenen Informationen unter einen Hut zu bekomnmen und erfolgreich einem funktiionierenden Endprodukt aus Stein zuzuführen, benötigt der Steinmetz ein wenig grundlegende Mathematik und eine daraus resultierende Gegenüberstellung der ihm zur Verfügung stehenden mathematischen Informationen. Die aus der Gegenüberstellung dieser Informationen resultierenden Relationen bzw. auch "Proportionen" kann der fiktive antike Steinmetz schließlich auf seinen zu bearbeitenden Steinblock übertragen.

Proportionen und Relationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Indem wir natürliche Zahlen in Relation zueinander setzen und damit Proportionen natürlicher Zahlen erzeugen, können wir einiges interessantes über die Eigenschaften natürlicher Zahlen erfahren und verschiedene mathematische Zusammenhänge (und in eher seltenen Fällen möglicherweise auch neuartige bzw. gänzlich neue) Erkenntnisse daraus ableiten.

Interessante aus natürlichen Zahlen gebildete Relationen bzw. Proportionen sind z.B. duale Kombinationen von Fibonacci-Zahlen hier sog. reine Fibonacci-Paare (hier gemeint sind Paare aus direkt aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen; insgesamt wissenswertes zum Thema Fibonacci-Zahlen habe ich im ersten Beitrag in diesem Thema zusammengefasst). Fibonacci-Paare direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen erzeugen als Proportion stets (mit wenigen Ausnahmen) eine große rechnerische Nähe zum Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts und sind damit z.B. für den gestalterischen, handwerklichen und kunsthandwerklichen Bereich und insgesamt im hinblick auf Forschung im Bereich der historischen Entstehung z.B. der Gestaltungslehre und der historischen Auseinandersetzung mit Proportionen interessant:

Beispielhafte duale Kombinationen von Fibonacci-Zahlen als Proportionen (reine Fibonacci-Paare):
34 : 21 = 1,61904762 : 1 und 21 : 34 = 0,617647059 : 1
21 : 13 = 1,61538462 : 1 und 13 : 21 = 0,619047619 : 1
13 : 8 = 1,625 : 1 und 8 : 13 = 0,615384615 : 1
8 : 5 = 1,6 : 1 und 5 : 8 = 0,625 : 1
5 : 3 = 1,66(periode)* : 1 und 3 : 5 = 0,6 : 1

Hier sog. multiple Kombinationen von Fibonacci-Zahlen sind hingegen interessant, wenn wir uns verstärkt mit den "systemischen" Eigenschaften der natürlicher Zahlen auseinandersetzen: Kombinieren wir direkt aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen zu dualen Summandenfolgen wobei die Anzahl der Summanden in der dualen Kombination von Summandengruppen ebenfalls direkt aufeinanderfolgenden FIbonacci-Zahlen entspricht, erhalten wir wiederum (proportional-spezifisch größere) Fibonacci-Zahlen (siehe Folgeglieder bei Fibonacci-Zahlen, Punkt 2.2 Beziehungen zwischen den Folgegliedern [gWiki6]). Dieses Grundprinzip lässt sich zur Veranschaulichung z.B. sehr gut an Teilstrecken demonstrieren, die auf Mess- bzw. Rechenseile
durch jeweilige Abknotung erzeugt werden, z.B.:

Beispielhafte multiple Fibonacci-Reigen dualer Fibonacci-Kombinationen:
z.B. (a+a) + (b+b+b) = (2+2) + (3+3+3) = 2*2 + 3*3 = 4 + 9 = 13
z.B. (a+a+a) + (b+b+b+b+b) = (3+3+3) + (5+5+5+5+5) = 3*3 + 5*5 = 9+25 = 34
z.B. (a+a+a+a+a) + (b+b+b+b+b+b+b+b) = 5*5 + 8*8 = 25 + 64 = 89
uva.

[ZITATE Wikipedia]:
In der Mathematik und in den Naturwissenschaften bezeichnet der Quotient ein Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. Der Quotient von zwei ganzen Zahlen (Dividend und Divisor) ist immer eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden...
(...)
Verhältnisgleichungen oder Proportionen sind Gleichungen, die zwei Verhältnisse gleichsetzen...
[ZITATE ENDE] [gWiki3]

Andersartig findet der Begriff Proportion Anwendung in der Gestaltungslehre (mehr dazu später)

Ein interessantes und aufschlussreiches Beispiel dafür, wie sich durch Relationen bzw. Proportionen komplexere mathematische Zusammenhänge ausdrücken lassen ist z.B. die geometrische Veranschaulichung der binomischen Formeln (siehe [gWiki2] Punkt 2. Geometrische Veranschaulichung)
Natürliche Zahlen lassen sich auf verschiedenste Arten und Weisen in Relationen und in Proportionen zueinander setzen. Hier im Folgenden ein kleiner Überblick über wesentliche grundlegende Relationsarten, die sich mit natürlichen Zahlen herstellen lassen und Beispiele für deren alltägliche (und nützliche) Anwendung:

Duale bzw. binäre Relationen mit natürlichen Zahlen
Ein Beispiel für duale Relationen in der Mathematik (genauer: in der Geometrie) mit dem Menschen alltäglich konfrontiert sind findet sich in der Auseinandersetzung mit regelmäßigen Vielecken (z.B. Quadrat, Rechteck). Bei der Anwendung dualer Relationen auf z.B. Quadrat- und Rechteckfiguren wird der Nutzen deutlich der in der Anwendung dualer Relationen liegt: indem wir duale Relationen verwenden, wird üblicherweise das Seitenverhältnis (oder auch die duale Proportion) zwischen den Seitenlängen a und b einer Rechteckfigur. Auch bei Beschreibung der Seitenlängenverhältnisse der Quadratfigur mit ihren per Definition gleichlangen Seitenlängen kommt üblicherweise eine duale Relation bzw. Proportion zum Einsatz: mit a : a beschreiben wir das proportionale Verhältnis zwischen den Seitenlängen der Quadratfigur wobei dieses Proportionsverhältnis per Definition stets 1 : 1 (Breite zu Höhe bzw. Grundseite zu Höhe) beträgt.

Bestimmte duale Relationen bzw. Proportionen sind dabei besonders interessant weil diese z.B. im Bereich der Geometrie Rechteckfiguren erzeugen, auf die sich spezielle und im Zahlenraum der natürlichen Zahlen sich hervorhebende ternäre Relationen (bzw. hier auch abweichend von üblichen Beschreibungsweisen in der Mathematik ternäre Proportionen) ableiten lassen.
Eine sehr weit verbreitet genutzte ternäre Proportion ist die Proportin 3 : 4 : 5. Mit dieser bekannten Proportion, die ein sog. primitives pythagoreisches Tripel darstellt, lässt sich messtechnisch auf praktikable Art und Weise ein sog. Rechter Winkel, also eine Winkelung von 90° erzeugen. Rechte Winkel sind z.B. auch interessant im Hinblick auf die histrorischen Triangulationsmethoden z.B. der Steinmetzen (und z.B. Zimmerleute u.v.a.) der vergangenen Epochen: Verschiedenartige Einmessmethoden zur Erzeugung Rechter Winkel fanden unseres heutigen Wissens bereits weit vor der Antike Anwendung. Über die Kenntnis und Verwendung der Proportion 3 : 4 : 5 durch z.B. die alten Ägypter wird noch heute ausführlicher diskutiert [FIL1, folgt].

Ternäre Relationen mit natürlichen Zahlen
Ganzzahlige Relationen bzw. hier auch "Proportionen" natürlicher Zahlen lassen sich etwa auch in der Auseinandersetzung mit sog. Mischungsverhältnissen (bzw. vereinfacht "Mischungen") anwenden: soll z.B. die historische Rezeptur einer Schießpulvermischung im Hinblick auf die Frage untersucht werden, wieviele verschiedenen Mischungsverhältnisse mit einer bestimmten Anzahl von Grundkomponenten möglich ist (hier am Beispiel von 3 Grundkomponenten; siehe [FIL3], folgt) dann spielen Fragen zur Kombinatorik im Hinblick auf natürliche Zahlen (siehe [FIL4])und zum (hier) sog. Proportionsreigen der natürlichen Zahlen (mehr dazu später und an anderer Stelle) hierfür eine wichtige Rolle.
TErnäre Relationen / Proportionen sind insgesamt z.B. auch im Hinblick auf rechtwinklige Dreiecke und deren Proportionen sowie den daraus ableitbaren hier sog. Proportionsreigen ternärer ganzzahliger Proportionen interessant. Der Proportionsreigen ternärer ganzzahliger Proportionen als mathematisches Instrument (z.B. in Anwendungsform eines tabellarischen Dokuments) ist z.B. sehr hilfreich in der Beforschung historischer Bauwerke im Hinblick auf z.B. deren Zergliederung und Proportionen (siehe z.B. den Anwendungsbereich der Beforschung der Proportionen altägyptischer Pyramiden oder historischer Vermessungstechniken - um nur eins von zahlreichen möglichen Beispielen zu nennen; siehe [FIL5], folgt).

Höhere als duale (binäre) und ternäre Relationen mit natürlichen Zahlen
Höhere Relationen bzw. Proportionen als duale und ternäre lassen sich kombinatorisch im Hinblick auf ihre Variabilität, also im Hinblick auf die Frage wieviele verschiedene Kombinationsmöglichieiten sich kombinatorisch ergeben wenn etwa sämtliche Kombinationsmöglichkeiten ermittelt werden sollen, hier in diesem Themenkomplex nur schwierig ausführlich beschreiben, Deshalb beschränke ich den hier vorgestellten Einblick (zunächst und evtl. bis auf weiteres) ausschließlich auf duale (binäre) und ternäre Relationen / Proportionen.

Die Summenkaskade als Proportioinsreigen der natürlichen Zahlen
Als (lückenloser) Proportionsreigen der natürlichen Zahlen lässt sich die hgier bereits in einem anderen Themenabschnitt vorgestellte Summenkaskade der natürlichen Zahlen bzw. Summenkaskade aus N verstehen: mit der Summenkaskade aus N werden lückenlos - je nach analysiertem Zahlenraum und gewählter Darstellungsmethode - sämtliche überhaupt möglichen (also existierenden) ganzzahligen Zerlegungsmöglichkeiten für natürliche Zahlen generiert.
Um natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften (idealerweise; siehe den an meinen allerersten Beitrag in diesem Themenkomplex angehängten und zu beachtenden Haftungsausschluss) besser nachvollziehen zu können, ist es sinnvoll sich zu vergegenwärtigen, dass die generierte Darstellung ganzzahliger Zerlegungsmöglichkeiten für natürliche Zahlenwerte streng genommen als Proportionen verstanden und auch bezeichnet werden können: stellen wir uns vor, wir wollen die Ergebnisse der in der Summenkaskade aus N für einen betsimmten Zahlenwert ausgegebenen summarischen Konstellationen im Ergebniss in Form von Teilstrecken auf ein Mess- bzw. Rechenseil übertragen, dann wird deutlich, dass sich summarische Zusammenhänge ebenfalls als Proportionen darstellen lassen (je nach Betrachtungswinkel und Anwendungszweck).
So ist es z.B. möglich, die sämtlichen summarischen Zerlegungsmöglichkeiten des Zahlenwerts 7 entlehnt aus der Summenkaskade aus N auf daraus resultierend sieben verschiedene Mess- bzw. Rechenseile zu übertragen. Die Übertragung kann dabei z.B. erfolgen indem jeweils entsprechend lange Teilstrecken auf dem verwendeten Seilmaterial durch Abknotung erzeugt werden:

(hier dargestellt in gewählter Reihenfolge entlehnt dem hier bereits an anderer Stelle vorgestellten Aufbau der Summenkaskade aus N; quasi "von Vorne nach Hinten"):
[Seil 1; Teilstrecken:] 7 (keine Teilstreckenabknotung, streng genommen resultierende Proportion 7 : 0)
[Seil 2; Teilstrecken:] 3 : 4
[Seil 3; Teilstrecken:] 2 : 2 : 3
[Seil 4; Teilstrecken:] 1 : 2 : 2 : 2
[Seil 5; Teilstrecken:] 1 : 1 : 1 : 2 : 2
[Seil 6; Teilstrecken:] 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 2
[Seil 7; Teilstrecken:]1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1

Der Proportionsreigen natürlicher Zahlen
Von besonderem Interesse für die Erforschung von Proportionen - auch im historischen Kontext z.B. der Entstehung der Kunst und der Gestaltungslehre im Allgemeinen sind Vervielfachungen von Proportionen besonders interessant (siehe Proportionsreigen: indem wir Proportionen natürlicher Zahlen (hier z.B. duale und ternäre Proportionen) vervielfachen, wird deutlich, dass sich spezifische Proportionen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen spezifisch-proportional wiederholen, woraus sich die grundlegenhde Struktur bzw. strukturelle systemische Organisation des Zahlenraums der natürlichen Zahlen ableiten lässt, z.B.:

Proportionsreigen 3 : 4 : 5 (pythagoreisches Tripel):
Ursprungsproportion = 3 : 4 : 5

resultierender Proportionsreigen, z.B.:
3 : 4 : 5
6 : 8 : 10
9 : 12 : 15
12 : 16 : 20
15 : 20 : 25
18 : 24 : 30
21 : 28 : 35
24 : 32 : 40
27 : 36 : 45
30 : 40 : 50

Proportionsreigen natürlicher Zahlen sind in Kombination mit resultierenden Proportionsreigen von Bruchzahlen besonders interesant z.B. im Hinblick auf die Erforschung der altägyptischen Vermessungslehre über die wir aufgrund stark lückenhafter Quellenlage nur sehr wenige konkrete Erkenntnisse besitzen (siehe z.B. [gWiki7;8;9] und [FIL1].

Der duale Proportionsreigen der natürlichen Zahlen:
In der Auseinandersetzung mit dem dualen Proportionsreigen der natürlichen Zahlen (dualer Proportionsreigen aus N) werden die Zerlegungseigenschaften natürlicher Zahlen deutlich: jede natürliche Zahl lässt sich in eine spezifisch-proportionale Anzahl von Schreibweisen zerlegen, z.B. - je nach Betrachtungswinkel und resultierender Präsentation:

Duale (binäre) ganzzahlige Zerlegung der natürlichen Zahl 11:
als Summenreigen:
(mit Spiegelungen)
{(1+10), (2+9), (3+8), (4+7), (5+6), (6+5), (7+4), (8+3), (9+2), (10+1)}
1+10 = 11; 2+9 =11; 3+8 = 11; 4+7 = 11; 5+6 =11; 6+5 = 11; 7+4 = 11; 8+3 = 11; 9+2 = 11; 10+1 = 11

Wenn wir die Eigenschaften natürlicher Zahlen im Hinblick auf duale (binäre) und ternäre Zerlegungen analysieren, können wir daraus grundlegendes über die summenbildenden Eigenschaften von Primzahlen ableiten. Solches Wissen ist für die Betrachtung mathematischer Fragestellungen wie etwa der starken (binären) sowie der schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung von großer Bedeutung (siehe hierzu meinen vorherigen Beitrag in diesem Thememkomplex Ausführungen zum Thema Primzahlen in diesem Themenkomplex, z.B.:

Duale (binäre) Zerlegungsmöglichkeiten der natürlichen Zahl 10 mit Primzahlen:
3+7 = 10
5+5 = 10

Ternäre Zerlegungsmöglichkeiten der natürlichen Zahl 10 mit Primzahlen:
2+3+5 = 10

als Proportionsreigen:
{(1:10), (2:9), (3:8), (4:7), (5:6), (6:5), (7:4), (8:3), (9:2), (10:1)}
(direkte Anwendung finden kann das oben beispielhaft aufgezeigte Prinzip eines Proportionsreigen für die duale Zerlegung natürlicher Zahlen z.B. bei der Analyse von Viereckflächen und rechtwinkligen Dreiecken und damit einhergehend etwa in der Auseinandersetzung mit der historischen Schnur-und Seilvermessung (siehe z.B. gWiki7; 8; 9] u. [FIL1]).
Aus einem Proportionsreigen z.B. natürlicher Zahlen mit z.B. ganzzahligen dualen (binären) lässt sich wiederum - entsprechend komplexer - ein Produktereigen natürlicher Zahlen ableiten. Je nach gewählter Präsentation und je nach Betrachtungswinkel lassen sich so die komplex-systemischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen wahlweise zum Ausdruck bringen, z.B.:

als Produktereigen (Übertragung):
(mit Spiegelungen)
{(1*10), (2*9), (3*8), (4*7), (5*6), (6*5), (7*4), (8*3), (9*2), (10*1)}
1*10 = 10; 2*9 = 18; 3*8 = 24; 4*7 = 28; 5*6 = 30; 6*5 = 30; 7*4 = 28; 8*3 = 24; 9*2 = 18; 10*1 = 1

als Produktereigen (Übertragung):
{(1*10), (2*9), (3*8), (4*7), (5*6), (6*5), (7*4), (8*3), (9*2), (10*1)}

z.B. in dezimaler Auflösung (z.B. im Einsatz zwecks Erzeugung von gestalterischen Proportionen:
{(1:10), (2:9), (3:8), (4:7), (5:6), (6:5), (7:4), (8:3), (9:2), (10:1)}
(mit Spiegelungen)
{1:10}; {2:9}; {3:8}; {4:7}; {5:6}; {6:5}; {7:4}; {8:3}; {9:2}; {10:1}

Die Auflösung z.B. dezimal aufgelöster Proportionsreigen natürlicher Zahlen ist interessant z.B. für die (auch historische und forschende) Auseinandersetzung mit Kunst, Baugeschichte u. Baumeistertum, Architektur, Innenarchitektur, Design, Produktdesign, Kunsthandwerk uva.; z.B. Bauwerksgestaltung, Druckerzeugnisgestaltung, Bildwerksgestaltung, Schriftgestaltung uvm. Insgesamt ist solche Auseinandersetzung auch naturwissenschaftlich interessant und spricht dabei z.B. Aspekte der Musik, Musiktheorie und Musikwissenschaft, der musikalischen Erziehung, der Akkustik und etwa der Astronomie, Chemie, Physik an: so ist z.B. die Tonaufteilung auf der Klaviatur eines Klaviers mathematisch betrachtet als nichts anderes zu verstehen als zueinander in proportionale Beziehung gesetzte Tonhöhen. Gleiches gilt in der Physik etwa für das Spektrum des Lichts und Wellenlängen oder in der Chemie für die Zusammensetzung molekularer oder atomarer Strukturen: viele naturwissenschaftliche Zusammenhänge lassen sich in Form von Proportionen bzw. Relationen ausdrücken und darstellen. Selbst wenn wir eine Farbe mischen, um eine Wandflächengestaltung vorzunehmen, kommen gannzzahlige proporetionen zum Einsatz, etwa wenn wir mittels einer ternären Mischung von Pigmenten versuchen, einen historischen Farbton nachzuempfinden.

Diese Wissenszusammenhänge über die systemisch-strukturbildenden Eigenschaften des Zahlenraums der natürlichen Zahlen, die z.B. in Form der Summenkaskade aus N spezifisch dargestellt werden können, sind von großer Bedeutung für tiefere Einblicke in die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, die z.B. für die Auseinandersetzung mit der Zahlentheorie wiederum von Bedeutung sind. Die Eigenschaften und Eigenschaftsverkettungen der natürlichen Zahlen untereinander lassen sich auf verschiedenste Arten und Weisen darstellen. Die grundlegendsten Arten und Weisen, die Eigenschaften von natürlichen Zahlen darzustellen, sind z.B. durch Darstellungen von Summenreigen und daraus resultierenden Produktereigen der natürlichen Zahlen möglich (und m.E. sinnvoll). Bei der weiterführenden Auseinandersetzung mit Summen- und Produktereigen natürlicher Zahlen wird deutlich, dass der Zahlenraum der natürlichen Zahlen sich als proportionales Gefüge betrachten und veranschaulichen lässt, in dem sich jedes einzelne Element (also jeder Zahlenwert in N) in Bezugnahme zu jedem anderen Element in N setzen und z.B. als ganzzahlige Proportion ausdrücken lässt (der entsprechend komplexer werdende Aufwand hierfür hängt dabei natürlich jeweils von Betrachtungswinkel und gewählter Methode ab).

Bibliographie

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Bibliografische Angaben für „Kreiszahl“
Seitentitel: Kreiszahl
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Bibliografische Angaben für „Binomische Formeln“
Seitentitel: Binomische Formeln
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[gWiki3]:
Bibliografische Angaben für „Quotient“
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Bibliografische Angaben für „Pythagoreisches Tripel“
Seitentitel: Pythagoreisches Tripel
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Bibliografische Angaben für „Rechter Winkel“
Seitentitel: Rechter Winkel
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[gWiki6]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
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[gWiki7]:
Bibliografische Angaben für „Mathematik im Alten Ägypten“
Seitentitel: Mathematik im Alten Ägypten
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[gWiki8]:
Bibliografische Angaben für „Rechenseil“
Seitentitel: Rechenseil
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
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[gWiki9]:
Bibliografische Angaben für „Harpedonapten“
Seitentitel: Harpedonapten
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 26. Juli 2023, 07:06 UTC
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Foreninterne Links:
[FIL1]:
viewtopic.php?f=22&t=6674&p=60019#p60019
Titel des Beitrags: "Die Proportionen altägyptischer Pyramiden"
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Re: Die historische Erforschung der Zahlen

Beitragvon Sculpteur » 18.01.2024 04:54

Die historische Erforschung der Zahlen: Besondere Strukturen und Systeme mit natürlichen Zahlen
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Um Mathematik individuell besser begreifen zu können - und damit für die eigenen Betrachtungsweisen und Vorgehensweisen in der z.B. naturwissenschaftlichen oder etwa handwerklichen und kunsthandwerklichen Auseinandersetzung besser für sich nutzbar machen zu können (so also auch etwa im Bereich der Hochschulen und der Experimentalarchäologie), kann es sich manchmal als sinnvoll erweisen, stark ausgetretene Pfade zu verlassen und eigene Wege zu beschreiten: auf diese eigentlich eigensinnige Art und Weise sind in der Geschichte der Mathematik vermutlich viele Innovationen entstanden.
Ein gewisser Hang zu eigenwilligen Entwicklung von Innovationen und auch von abweichenden Herangehensweisen durch Forschende hat der Entwicklung der Mathematik bis heute (vermutlich i.d.R.) nicht unbedingt geschadet, sondern diese eher befördert: ein Bisschen Mehr an Kreativität schadet auch der Mathematik und ihrer Entwicklung, vor allem aber dem eigenen Umgang mit Mathematik meiner Ansicht nach auch heute nicht - ganz im Gegenteil.
Die Zeiten, in denen auch ich einen Mathematiklehrer erleben durfte, der pünktlich zu Unterrichtsbeginn die Klassenzimmertür von innen abschloss, damit zu spät kommende Lernende um Einlass bitten mussten und dabei exakt mittels Eintrag ins Klassenbuch erfasst werden konnten sind - zumindestens für mich persönlich - heute zum Glück vorbei (heutzutage würde solches Verhalten eines Lehrers eher als rechtswiedrig und grob fahrlässig, ja vermutlich sogar als freiheitsberaubend eingestuft werden). Auch mein eigenes aus der Not geborenes Fehlverhalten - und damit eigentliches Versagen - als ehemaliger Lehrer das entstand, weil ich als unerfahrener und schlecht bezahlter (und für die Aufgabe intern schlecht geschulter) Seiteneinsteiger zu sehr auf die Ratschläge erfahrener Kollegen hörte, die mir anrieten, Schüler für die noch so kleinste Banalität mit einem Strich im Klassenbuch zu abzustrafen um eine Klasse ruhig zu bekommen sind heute zum Glück längst heute vorbei.
Die genannten Beispiele würden auch wohl am Lernverhalten und der bereitwilligen lernenden Aufnahme von Informationen Lernender nichts grundlegend zum Positiven hin verändern. Auch die Zeiten der Grundschule, in denen ein Rohrstock als stille, unausgesprochene Drohung auf dem Lehrerpult lag, um Lernernde "in Schach" zu halten, sind heutzutage hierzulande zum Glück längst vergangene Geschichte der 1970er Jahre.
Heutzutage hat der Schulunterricht sich im Vergleich zu damals ganz anderen Verantwortungen und Herausforderungen zu stellen die angesichts des rasanten Fortschritts und der Soziokulturellen und interkulturellen Entwicklung unserer Gesellschaften auch immer wieder ein neuartiges hohes Maß an Krreativität und Motivationsgeist von Lehrenden erfordern: die Zeiten sind zum Glück vorbei in denen generalisiert versucht wurde, Lernende - im Zweifelsfall unter Androhung und Anwendung von Gewalt zu "Zucht, Ordnung und Respekt" und zum Lernen zu "animieren" besser gesagt - mit teilweise brachialen Methoden - zu zwingen.
Unterricht mit unterdrückerischen Tendenzen Lehrender (möglicherweise gepaart mit durchaus vorkommendem Mobbing unter Kollegen und dem heute allgegenwärtigen Mobbing unter Lernenden macht ebenso wenig Sinn wie Unterricht mit Lernenden, die Unterricht generalisiert boykottieren und Lehrende damit in der Ausübung ihrer Arbeit behindern und regelrecht mobben.
Natürlich trägt die individuelle soziale Situation eines Lernenden - so auch in der privaten Lebenssituation mit Elternhaus und Erziehungsberechtigten etc. - zur heutigen Gesamtsituation in Schulen und in Lehreinrichtungen bei: das Beziehungsgeflecht zwischen den verschiedenen Lebens- und Alltagshorizonten Lernender und Lehrender sollte im "Schmeltztiegel Schule" niemals außer Acht gelassen werden.
Um Unterricht auch in heutigen Zeiten schulisch erfolgreich zu realisieren, dürfte es heutzutage wohl dennoch zu den für alle relevanten Seiten zu erlangenden Kernkompetenzen Lernender sowie Lehrender (und hier sind Eltern und Erhziehungsberechtigte ebenfalls nicht ausgenommen) - gehören, gerne zu lernen und gerne zu lehren. Damit dies möglich ist, benötigt es für Schulischen Unterricht verlässliche gegenseitige Grundvereinbarungen; vor allem aber Kreativität und immerwährende Bereitschaft zu innovativem Miteinander: all diese Aspekte lassen sich 1 : 1 ebenfalls auf die Hochschulen und damit auch auf die Chancen und Möglichkeiten der Experimentalarchäologie - z.B. in der Auseinandersetzung mit mathematischen Themenstellungen übertragen.

Innovativ-kreative Lösungen in der Mathematik: keine Ausnahmen sondern eher Tugenden
Ein gutes Beispiel für eine innovative Lösung im Hinblick auf die Phänomenik des Zahlenraums der natürlichen Zahlen ist die damalige Idee von Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855), wie sich die Gesamtsumme für die Zahlen von 1 bis 100 effektiv (und im Sinne des Zeitgeistes mit dem Gauß vermutlich konfrontiert war) andersartig ermittlen lässt (meine Annahme zum Zeitgeist dieser Vergangenheit ist jedoch nur Spekulation, entlehnt dem sehenswerten Film Die Vermessung der Welt von Detlev Buck, der im Kern autobiografisch, aber auch fiktiv gefärbt von Gauß Leben (und dem Leben von Alexander von Humboldt sowie vom schließlichen Treffen beider Naturwissenschaftler mit konträren Ansätzen handelt (nach einem Roman von Daniel Kehlmann) [Sautoy, 2013] [gWiki1; 2; 3].

Gauß´Idee der Vereinfachung von Summierungen natürlicher Zahlen:
Folgende Idee verwendete Gauß (die von [Sautoy, 2013] als eine seiner Lieblingsideen bezeichnet wird), um seinen Schülern zu erklären, wie sich die aufwändige Rechenarbeit des Addierens sämtlicher Zahlen von 1 bis 100 umgehen lässt:

Bei der genannten Aufgabenstellung ist es naheliegend, das man als Lehrender und Lernender zu Gauß´Zeiten i.d.R. wohlmöglich einfach das folgende Prozedere vollzog und Lernende das handschriftlichen Addieren der direkt aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen bewerkstelligen ließ:

{1+2+3+4+5+ ... +95+96+97+98+99+100} = 5050

Gauß soll zu diesem zeitaufwändigen und den einen oder anderen Lernenden vermutlich frustrierenden Lernaufwand eine innovative Idee gehabt haben: indem Gauß einfach die Erste und die letzte Zahl der zu addierenden Zahlenreihe miteinander summierte und anschließend das Ergebnis (die erhaltene Summe der Zahl 1 und der Zahl 100 = 101) verfünfzigfachte, erhielt Gauß die für die Bewältigung dieser speziellen Aufgabe heute berühmte Lösung, die quasi gerne als "Paradebeispiel" für das Etablieren logisch-mathematischen Denkens herhält. Gauß soll diese Aufgabe also folgendermaßen gelöst haben und seinen Lernenden diese Methode angeraten haben; in etwa folgendermaßen lässt sich die genannte mathematische Problemstellung darstellen:

Mathematische Vereinfachung für "addiere die direkt aufeinanderfolgenden (natürlichen) Zahlen von 1 bis 100:
{1+2+3+4+5+ ... +95+96+997+98+99+199} = 5050

Prinzip von Gauß´vereinfachender Methode:
es sei:
SUM{1+2+3+4+5+ ... +95+96+997+98+99+199}
ist im Ergebnis dasselbe wie:
50 * (1+100) = 5050
50 * 101 = 5050

resultierende Auflösung:
SUM{1+2+3+4+5+ ... +95+96+997+98+99+199} = 5050
oder auch z.B.:
SUM(100) = 5050

Mit einer modernen gebräuchlichen Tabellen-Kalkulationssoftware lässt sich diese Aufgabe für die Gauß eine für seine Zeit wohl andersartige Lösung fand, relativ einfach nachvollziehen: hierfür wird (je nach verwendeter Tabellenkalkulationssoftware in einem geöffneten Tabellendokument einfach eien Zahlenreihe von 1 bis 100 per Autofill-Funktion erzeugt (den Ersten Zahlenwert; also die Zahl 1 (Eins); in eine Tabellenzelle eintragen und (hier) mit der Maus die Zelle anklicken und an der Ecke bis zum Zahlenwert 100 herunterziehen; anschließend per Funktionsbutton Summe die Summe für die Zahlenreihe in der Zelle direkt unter der letzten Zahl der Zahleneihe erzeugen, indem zuerst die Zelle angeklickt und anschließend die Funktion Summen der Tabellenkalkulationssoftware (mit den entsprechend dafür erforderlichen Schritten) verwendet wird.

Nicht jeder Lerntyp ist gleich: unterschiedlichste Lerntypen erfordern sinnvollerweise unterschiedlichste Lernmethoden und Ansätze in der Lernstoffvermittlung. So ist es m.E. eigentlich nicht nötig, den Unterschied - auch in puncto Lernerfolg und nicht ausschließlich in puncto Lernaufwand - zwischen den beiden aufgezeigten MEthoden die ursprüngliche Problemstellung zu lösen, zu stark herauszustellen: keine der beiden Methoden ist für m ich persönlich als "besser" oder "schlechter" zu bewerten: es ist bei allem eine Frage der Zielsetzung und der individuellen Dispositionen von Lehrenden und Lernenden (bitte hierzu den an den Ersten Beitrag in dieser Themenreihe angehängten Haftungsausschluss beachten: es kann sich möglicherweise - aus verschiedensten, z.B. ergonomischen Gründen und aus Gründen der individuellen Aufmerksamkeitsspanne - als sehr ungesund; und z.B. auch demotivierend; für einen Lernenden erweisen, z.B. die Zahlen von 1 bis 100 handschriftlich addieren zu lassen und ist aus diesen Gründen ggf. eher abzulehnen).
Beide Methoden haben jedoch ihre Berechtigung, beide Methoden sind interessant; insbesondere im direkten Vergleich, weshalb eine Eröterung dieser abweichenden Methoden lohnen kann: bei Anwendung der einen Methode können wir etwas über Summenbildung im Zahlenraum der natürlichen Zahlen erfahren - Einblicke, die uns bei ausschließlicher Betrachtung der anderen Methode evtl. verwehrt bleiben: durch die intensivere Auseinandersetzung mit summenbildenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen können wir - idealerweise - ein insgesamt besseres "Gefühl" für (hier natürliche) Zahlen und deren Eigenschaften entwickeln. Bei Anwendung der anderen Methode ist es uns - idealerweise - möglich, Einblicke in analysierende und schließlich vereinfachende Logikschritte zu gewinnen, die mit Hilfe von Durchdenken einer Problemstellung zu einem alltagstauglichen und gut anwendbaren Resultat führen können.
Damit wäre z.B. das Kennenlernen der zweiten Methode etwa eine gute Grundlage für das allmähliche Entwickeln eines gehobeneren Mathematikverständnisses (diese Begrifflichkeit ist nicht bewertend gemeint sondern bezieht sich auf den Fachausdruck "höhere Mathematik"). Ob jedoch z.B. die "Analysis" (in der - lerntypenabhängig - zu frühen Anwendung) der Weisheit letzter Schluss ist, wenn es um die Etablierung eines individuell insgesamt besseren Mathematikverständnis geht, sei dahin gestellt. Ich persönlich bin erfahrungsgemäß vom genauen Gegenteil überzeugt: ohne eine ausreichende Grundlagenbildung in der Mathematik die sich auch ausgiebig mit grundlegenden mathematischen Strukturen und deren (lückenloser) Bildung bzw. Entstehung auseinandersetzt, nützt einem die beste Analysis nichts - so jedenfalls meine ganz persönliche Meinung.

Die Entwicklung der Logik-Komponente und Kreativer Lösunjgswege in der Geschichte der Mathematik
Die Mathematik war nicht seit Anbeginn ihrer Entstehung so sehr streng orientiert an Logik und z.B. Analysis: all diese Aspekte, von denen die heutige moderne Mathematik stark durchprägt ist, fanden ihren Ursprung irgendwann einmal als innovative Idee und entwickelten sich dann allmählich, vielfach geprägt durhc entsprechende Impulsgeber, die sich in der Geschichte der Mathematik vermutlich mit viel Fleiß gepaart mit einergehörigen Portion Glück -sowie ausgestattet mit den notwendigen Ressourcen (zu denen z.B. auch Zeit und individuelle Disposition gehören) - hervorgetan haben. Wesentliche Grundsteine für diese Aspekte der heutigen Mathematik wurden z.B. von den alten Griechen, aber in der Vorentwicklung auch von anderen alten Kulturen gelegt (so z.B. den Babnyloniern, den alten Ägyptern, den alten Chinesen) gelegt. du Sautoy schreibt über den Einfluss der alten Griechen auf die Entwicklung der Mathematik:

[ZITAT:]
Die Geschichte der Primzahlen besteht nicht nur im Auffinden zeitloser Wahrheiten, sondern sie ist auch ein Spiegel der Gesellschaft. Die frisch erwachte Freude an Maschinen im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert zeigt sich in einem sehr praktischen, experimentellen Zugang zu den Primzahlen. Im Gegensatz dazu bewirkte die Atmosphäre im Europa der Revolutionen, dass man die Primzahlen mit neuen abstrakten und gewagten Ideen zu untersuchen begann. Jede Kultur hat eine ihr eigene und besondere Art, die mathematische Welt zu durchreisen.
(...)
Die Ersten, die sich Geschichten dieser Art erzählten, waren die Griechen. Sie erkannten die Kraft der Beweise, mit denen sich feste und unabänderliche Wege zu den Bergen der mathematischen Welten bahnen ließen.
[ZITAT ENDE] [Sautoy, 2013,50 u.51]

Die ursprüngliche Mathematik entstand wohl zunächst auf eine ganz bodenständige, weil alltagstaugliche, Art und Weise: Menschen erfanden bzw. entwickelten in Kombination mit Naturbeobchatungen und daraus abgeleiteten Schlussfolgerungen früh das Zählen und Zählsysteme sowie mit der allmählichen Entwicklung von Vermessungssystemen und des Bauwesens sowie der handwerklichen und kunsthandwerklichen Auseinandersetzung u.a. z.B. stark geometrische Aspekte der Mathematik.
Innovative Ideen nahmen in solchen allmählichen Entwicklungsprozessen der Mathematik vermutlich hier und dort einen großen Stellenwert ein und manchmal war es vielleicht auch einfach nur der Zufall, der in der Auseinandersetzung mit der allmählichen Entwicklung der Mathematik der Menschheit gewaltig auf die Sprünge half. Was sich jedoch aus der Menschheitsgeschichte und ihren Überlieferungen wohl mit relativ großer Gewissheit ablesen lässt und als quasi roter Faden durch die Entwicklung der Menschheit und ihre - überlieferte - Geschichte zieht, ist der große und dem Menschen vermutlich angeborene Drang Neues zu entdecken.

Innovative Ideen und ihr Nutzen für die Entwicklung der Mathematik und eines Mathematikverständnisses
- zu diesem äußerst komplexen Themanbereich wähle ich aufgrund des dafür erfordelrichen Umfangs im Folgenden nur ausgewählte Beispiele, die sich unmittelbar auf die hauptsächlich in diesem Themenkomplex behandelte Thematik der natürlichen Zahlen anwenden lässt. -

Das Pascal´sche Dreieck:
Mit einer speziellen und kreativ-innovativen strukturellen Übersicht über den Zahlenraum natürlicher Zahlen, dem heute sog. Pascal´schen Dreieck hat der französische Mathematiker, Physiker, Literat und christliche Philosoph Blaise Pascal (1623 - 1662) [gWiki6] einen wesentlichen Grundstein für ein fundierteres und ganzheitlicheres Mathematikverständis (hier z.B. im Hinblick auf natürliche Zahlen und deren Eigenschaften gelegt):

[ZITAT]:
Das Pascalsche (oder Pascal’sche) Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomialkoeffizienten (...) die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist.
[ZITAT ENDE] [gWiki5]

- für weiterführendere informationen zum PAscal´schen Dreieck sei auf die Bibliographie verwiesen (siehe z.B. [gWiki5;6]) -

Das Bertrand´sche Postulat:
Direkt aufbauend auf den innovativen Lösungsansatz des Pascal´schen Dreiecks hat der französische Mathematiker Bertrand einen innovativen mathematischen Lösungsansatz entwickelt mit dem es ihm möglich war, eine fundamentale Aussage über die Eigenschaften von Primzahlen zu treffen: Bertrand fand heraus, dass sich
in jeder Verdopplung eines spezifischen Zahlenraums in n (aufeinander aufbauend) mindestens eine Primzahl befindet: Bertrand´s Beweisführungals damalige Veröffentlichung zum Thema ist heute allgemein mathematisch anerkannt, was für den Einsatz der Bertrand´schen Innovation sehr wichtig ist im Vergleich zu einer sog. Vermutung, weshalb die Bertrand´sche Innovation heute auch Theorem genannt wird.

(Weil diese fundamentalmathematische Aussage so wichtig für weitere Rückschlüsse über die Verteilung und Eigenschaften der Primzahlen ist und auch für folgende Darlegungen eine wichtige Rolle spielen, weise ich an dieser Stelle unbedingt nochmals darauf hin, dass ich für von mir in diesem Themenkomplex veröffentlichte mathematische Aussagen und deren Formulierung keinerlei Garantien gebe und keinerlei Haftung übernehme. Es gilt für diesen gesamten Themenkomplex aus gutem Grunde der von mir an den Ersten Themenbeitrag in dieser Themenreihe angehängte Haftungsausschluss (Disclaimer), denn ich bin kein ausgebildeter Mathematiker und die von mir hier erstellten Beiträge sind weder fremdlektoriert noch peer-reviewed; es kann mir deshalb also selbstverständlich geschehen, dass mir hier Fehler unterlaufen, so etwa auch generelle mathematische Verständnisfehler sowie Fehler in Darstellung und Formulierung. Im Zweifelsfall sind alle hier im Thema von mir getätigten Aussagen nochmals zu überprüfen und eine Verwendung sämtlicher Inhalte in diesem Thema erfolgt ausschließlich auf eigenes Risiko).

[ZITAT]:
Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl n 1 mindestens eine Primzahl p mit n < p < 2n existiert.
Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies. Den ersten vollständigen Beweis für alle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später. Einen weiteren, einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S. Ramanujan an, der dabei auch Ramanujan-Primzahlen einführte. 1932 lieferte auch Paul Erdős einen einfachen Beweis.
[ZITAT ENDE] [gWiki7]

Alltagstaugliche Anwendungsbeispiele für das Bertrand´sche Theorem
Die Funktionsweise des Bertrand´schen Theorems lässt sich in der zweidimensionale Matrix (z.B. in Form einer tabellarischen Übersicht anschaulich darstellen (siehe Anhang 2).

BIBLIOGRAPHIE:
Bücher:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

deutschsprachige Wikipedia [{gWiki]:
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HINWEIS: Irrtümer des Verfassers vorbehalten. Es gilt der dem Thema zugehörige Haftungsausschluss: für etwaige mathematische Fehlinterpretationen und Darstellungsfehler des Verfassers wird keinerlei Haftung übernommen. Jede Nutzung der hier präsentierten Zusammenhänge auf eigenes Risiko.
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Beweisversuch der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung

Beitragvon Sculpteur » 16.02.2024 11:54

deutschsprachige Voraberläuterung:
Für diesen Themenbeitrag gilt mein Autoren-Haftungsausschluss. Der Haftunsgausschluss befindet sich ganz am Ende dieses Themenbeitrags (nach der Bibliographie, dort zu finden in deutschsprachiger und englischsprachiger Fassung) und gilt auch für Abbildungen und Abbildungserläuterungen.
- - -
Nomenclature (only english language version
My author disclaimer also applies to this topic article. The disclaimer can be found at the very end of this topic post (after the bibliography) and also applies to the images and illustration explanations I uploaded in this topic post.
- - -
Nomenclature /Nomenclature:
(For reasons of simplicity, the nomenclature is written in German and English and also explains the author's own terms used in this treatise, which sometimes deviate from international agreements / For reasons of simplicity, the nomenclature is written in German and English and also explains the author's own terms used in this paper, which sometimes deviate from international agreements).


natural numbers


Integers (including negative ones, e.g. -1, -2, -3 etc. etc. Because the regulations are inconsistent, ℤ is primarily used in this paper as a synonym for negative numbers (in contrast to ℕ, i.e. positive integers Numbers used). Overall, in the author's opinion - also with regard to the results presented in this paper - a more comprehensive definition of positive and negative integers is missing, so that, for example, it could be written more simply: -ℕ (for "negative ℕ" or " antipodales ℕ" ∈ ℤ). / Integers (including negative ones, e.g. -1, -2, -3 etc. etc. Because the regulations are inconsistent, ℤ is primarily used in this paper as a synonym for negative numbers[ /i] (in contrast to ℕ, i.e. positive integers numbers used). Overall, in the author's opinion - also with regard to the results presented in this paper - there is a lack of a more comprehensive definition of positive and negative integers, so that, for example, it could be written more simply: -ℕ (for "negative ℕ" or "antipodal ℕ" ∈ ℤ).

-ℕ
In the context of this treatise, negative integers ∈ ℤ

P
Prime numbers ∈ ℕ / prime numbers ∈ ℕ


"element in" or, element of

n(ευ)
even number size ∈ ℕ (from Greek [i]efhtỳs
for "even") / even number size ∈ ℕ (from Greek efhtỳs for "even")

n(πε)
odd number size ∈ ℕ (from Greek perittós for "odd") / even number size ∈ ℕ (from Greek perittós for "odd")

BM(p) or BMp / BM(p) or BMp
Bolle matrix (for prime numbers). The Bolle matrix is named by the author after a dog with the nickname "Bolle" and represents a two-axis coordinate system with a mirror axis centered at an angle of 45° in the original 0 (zero). The system of the Bolle matrix can also be shown in tables or, for example, apply it to triangular diagrams based on the principle of Gibb's triangle diagram. For more detailed explanations of the structure and functionality of the BMp, see the following figure with explanations - please be patient. / Bolle matrix (for prime numbers). The Bolle matrix is named by the author after a dog with the nickname "Bolle" and represents a two-axis coordinate system with a mirror axis centered at an angle of 45° in the original 0 (zero). The system of the Bolle matrix can also be shown in tables or, for example, apply it to triangular diagrams based on the principle of Gibb's triangle diagram. For more detailed explanations of the structure and functionality of the BMp, see the following figure with explanations - please be patient.

∑ = sum sign / sum sign

p,p´or p(a),p(b) = antipodal pair of prime numbers


Der Beweisversuch der starken (binären) sowie der schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung

I. Der Beweis der schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung
Der Beweis(versuch) der schwachen (ternären) sowie der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung:
Die sog. schwache (weil ternäre) Goldbach´sche Vermutung wurde bekannterweise vom Preussischen Mathematiker Christian Goldbach (1690 - 1764) im 18. Jahrhundert formuliert, sie besagt das Folgende:

[ZITAT WIKIPEDIA:]
Die schwächere Vermutung
[i]Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist Summe dreier Primzahlen.

ist als ternäre oder schwache Goldbachsche Vermutung bekannt. Sie ist teilweise gelöst: Denn einerseits gilt sie, wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist, und andererseits ist gezeigt, dass sie für alle genügend großen Zahlen gilt (Satz von Winogradow, siehe Verwandte Resultate).
[ZITAT ENDE]

Die sog. schwache (ternäre) Goldbach´sche Vermutung ist als automatisch mitbewiesen anzusehen, wenn die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung bewiesen ist, weil jede gerade Zahlengröße ∈ ℕ >2 mit dem Summanden Zahlengröße 3 (Drei) summiert werden kann und die Zahlengröße 3 eine Primzahl ist. Weil der Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung aufzeigen würde, dass jede gerade Zahlengröße >2 ∈ ℕ sich aus zwei Primzahlen zusammensetzen lässt, wäre die Bedingung für die schwache (ternäre) Goldbach´sche Vermutung für ℕ automatisch erfüllt wenn der Summand Zahlengröße 3 (Drei) als Primzahl (2te Primzahl ∈ ℕ) mit einer beliebigen geraden Zahlengröße ∈ ℕ >2 summiert (zu dieser hinzuaddiert) wird:
(+/-)2k + 1 für beliebiges k ∈ ℕ(0) (Parität) (siehe auch [gWiki6]. Dieser Zusammenhang ist allgemein bekannt, weshalb für diesen (vorerst) auch kein aufwändiger Nachweis geführt wird, z.B.:
ℕ = {1,2,3,4,5,6,7, ...}
3 = p(πα) ∈ ℕ
3 + [p(a)>2] + [p(b)>2] = n(ευ)
z.B. für:
{p(2); p(3);p(4); p ∈ P ∈ ℕ | p(2) = 3; p(3) = 5, p(4) = 7}; p(2) + p(3) + p(4) p ∈ P ∈ ℕ = 3 + 5 + 7 = 15
{p(2); p(4);p(5); p ∈ P ∈ ℕ | p(2) = 3; p(4) = 7, p(5) = 11}; p(2) + p(4) + p(5) p ∈ P ∈ ℕ = 3 + 7 + 11 = 21
usw. usf.

Die Auflösung ist auch ohne Beweis der Aussage offensichtlich, weil die grundlegenden Zusammenhänge der natürlichen Zahlen im Hinblick auf Paritäten längst und hinlänglich divers bewiesen sind, womit diese Zusammenhänge Teil des Allgemeinwissens darstellen: wird eine ungerade natürliche Zahlengröße einer (beliebigen) geraden Zahlengröße hinzuaddiert, entsteht im Ergebnis stets eine ungerade Zahlengröße. Wird dieser Vorgang stringent multipel ausgehend vom kleinstmöglichen Ursprung (in diesem Fall auf die Zahlengröße 2 (Zwei) angewendet, entsteht eine theoretisch lückenlose Aussagemöglichkeit für ℕ, durch jeweilige spezifische Kombination der Zahlengröße 3 (drei) mit geraden Zahlengrößen jeweils prime Dreierkonstellationen von Primzahlen zu erzeugen, die im Ergebnis eine ungerade Zahlengröße bilden. Weil der Beweis der starken Goldbach´schen Vermutung aufzeigen würde dass sich jede beliebige Zahlengröße >2 ∈ ℕ in zwei Primzahlen zerlegen lässt, wären damit bei Hinzufügung des Summanden Zahlengröße 3 (Drei) die Bedingungen für die schwache (ternäre) Goldbach´sche Vermutung lückenlos für ℕ bewiesen, weil sich durch Summand Zahlengröße 3 (drei) eine entsprechend equivalente Versatzstruktur in ∈ ℕ ergeben würde.


II. Der Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung
Das Bertrand´sche Theorem* besagt n < p < 2n. [Reiss,32-33];[ gWiki2]

(*= Bertrand äußerte die ursprüngliche Vermutung, Tschebyschow fand schließlich den Beweis für Berteand´s Vermutung)

Wird an die Ecken der Unterseite eines dreieckigen gleichseitigen Rastergitternetzes (hier im Beispiel mit Seitenlänge 7x7x7 Rasterzellen) ein gegenläufiges Zahlenstrahlpaar angelegt bei N = {0,…,n}mit A zu B 0 bis n und b zu A mit -0 bis -n, so kann das Bertrand´sche Theorem auf das Rastergitternetz angewendet werden. So kann nachgewiesen werden, dass sich jede Grundseite des Rastergitternetzes nach dem Betrand´schen Theorem in zwei Sektoren aufteilen lässt, hier: Sektor Alpha = {n,…,0} und Sektor Beta = 2n. So entsteht ein sich gegenseitig spiegelndes Rekursionssystem, wobei die Mittenachse des gleichseitig-dreieckigen Rastergitternetzes die Spiegelungsachse (linearer Sektor Gamma) als Trennlinie zwischen den Sektoren Alpha und Beta des sich ergebenden Rekursionssystems darstellt.
Nach dem Bertrand´schen Theorem ist nun nachweisbar, dass sich bei jeweils gespiegeltem Vorzeichen mindestens eine Primzahl in Sektor Alpha und Beta befinden muss wobei die Primzahlpositionen über die Spiegelungsachse des Rekursionssystems als Pode und Antipode jeweils achsgespiegelt werden. Diesen Aufbau von Rekursionssystem nennt der Verfasser Bolle´sche Matrix (für Primzahlen) im Dreiecksdiagramm, kurz: BM(p) ^.
Die Bolle´sche Matrix eignet sich als Rekursionssystem nun um nachzuweisen, dass sich die in der Matrix definierten Zusammenhänge direkt auf die Entwicklungscharakteristik von N, also dem System der natürlichen Zahlen übertragen lässt. Das Rekursionsprinzip der BM(n) bzw. BM(p) erzeugt dabei für gerade Zahlengrößen – jeweils mittenzentriert – eine Rekursion für die Entwicklung eines spezifischen Zahlenstrahls aus N, der stets mit dem Ursprung 0 bzw. 1 beginnt (je nach vorheriger Definition von N). Nun kann behauptet werden, dass sich das Rekursionssystem der BM(p) bzw. in N mittenzentriert universell an jede beliebige Position (spezifische Zahlengröße) in N anlegen lässt: wird die BM(p) nun in lückenloser Aufeinanderfolge – beginnend bei Zahlengrößen >2 an eine jeweilige Position mit gerader Zahlengröße in N angelegt und wird diese Prozedur theoretisch für jede beliebige gerade Zahlengröße durchgespielt, resultiert daraus folgender beweisbarer Satz, der ohne die Zuordnung zu konkreten Zahlengrößen auskommt:

Sektor Alpha der BM(p) spiegelt sich in Sektor Beta der BM(p) (und umgekehrt): jeder Eintrag auf einen beliebigen Schnittpunkt in eines der beiden Sektorensysteme, erzeugt eine spezifische antipodale Spiegelung in den an der Spiegelungsachse des Systems jeweils gegenüberliegenden Sektor. Wenn dabei nach dem Bertrand´schen Theorem ausgesagt werden kann, dass n < p < 2n für N gilt, resultiert daraus eine jeweils spezifische antipodale Spiegelung für jede beliebige gerade Zahlengröße in N, wobei auf jede beliebige Zahlengröße in N das Bertrand´sche Theorem angewendet werden kann (Bertrand´sches Theorem in multipler Anwendung). Für jede beliebige gerade Zahlengröße in N kann also demnach ausgesagt werden, dass sich hierfür ein antipodal gespiegeltes Paar von Primzahlpositionen in Sektor Alpha und Beta der BM(p) erzeugt werden kann. Beide Primzahlpositionen verfügen dabei über die exakt gleichen Eigenschaften bei jeweils gespiegeltem Vorzeichen. Die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung wäre also beweisbar wenn nachgewiesen werden kann dass sich in der BM(p) achsgespiegelt gegenüberliegende Primzahlpositionen als Pode-Antipode-Paar gegenüber liegen (mehr zu dieser Annahme die einen Irrtum über die Beweisbarkeite der Goldbach´schen Vermutung auf diesem Wege begründen kann später).
Liegen sich in der BM(p) zwei zueinander gespiegelte Pode-Antipode-Primzahlpositionen gegenüber, ergeben sie in der Summierung nach Übertragung in das Zahlenstrahlsystem N automatisch eine gerade Zahl weil die Summierung von p(a) + p(b) bei p>2 stets eine gerade Zahlengröße ergeben. Der einzige Nachweis der dafür erbracht werden muss ist die Übertragung des Rekursionssystems in die Entwicklung des Zahlenstrahls von N (Ursprung bis unendlich).

(unterhalb wird aktuell noch bearbeitet)
Nachweis des Lückenversatzes bei stringent aufeinanderfolgenden geraden Zahlen
Für diesen Zusammenhang wird kein aufwändiger Nachweis geführt weil dieser Zusammenhang allgemein bekannt und länsgtt bewiesen ist: auf jede ungerade Zahl in n folgt eine gerade Zahl in n, woraus sich ein Versatz von ungeraden zahlen zu geraden Zahlen im Abstand von jeweils n = 1 ergibt (siehe hierzu z.B. [Reiss,25-67; Kapitel 2:Natürliche Zahlen] und z.B. auch zum Thema Paritäten etwa [gWiki6]):

{ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
z.B. {n(1), ..., n(7)] ∈ ℕ | n(1) = 1; n(2) = 2, n(3) = 3; n(4) = 4; n(5) = 5; n(6) = 6; n(7) = 7 | n(1) = ; n(2) = 2, n(3) = 3; n(4) = 4; n(5) = 5; n(6) = 6; n(7) = 7 | | n(1) = πε ; n(2) = ευ, n(3) = πε; n(4) = ευ; n(5) = πε; n(6) = ευ; n(7) = πε}

daraus resultiert, dass sich jede gerade Zahlengröße in ℕ in stringent aufeinanderfolgender Reihenfolge; dabei ausgehend vom Ursprung 0 (Null) oder wahlweise 1 (Eins) - je nach vorheriger Definition von ℕ bei n>1 stets zwischen zwei ungeraden Zahlengrößen liegend befindet. Für die Verteilung der geraden Zahlengrößen in ℕ bedeutet dies, dass eine beliebige gerade Zahlengröße in ℕ stets nach der Formel {n(πε) + [n(πε) + 1]} : 2 = n(ευ) bei n(ευ) > n(πε) und n(ευ) < [n(πε) + 1] berechnet werden kann, weshalb schließlich für gerade Zahlengrößen >2 in stets ℕ stets formuliert werden kann:{n(πε) < n(ευ) < [n(πε) + 1]} ∈ ℕ}. Umgekehrt kann daraus natürlich geschlussfolgert werden dass ebenfalls gelten muss: {n(ευ) < n(πε) < n(ευ) ∈ ℕ} woraus folgt: n(πε) ∈ ℕ = {n(ευ) + [n(ευ) + 1] : 2 = n(πε) ∈ ℕ}. Außerdem kann des weiteren daraus resultierend bei (hier z.B.) ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} natürlich z.B. abgeleitet werden:
n(1;πε) + 1 = n(1;ευ); n(1;ευ) + 1 = n(2;πε) usw. usf.
oder auch:
{[1(πε),2(ευ),3(πε),4(ευ) ∈ ℕ | 1(πε) + 1(πε) = 2(ευ); 2(ευ) + 1(πε) = 3(πε); 3(πε) + 1(πε) = 4(ευ)} usw. usf.
oder auch:
{[1(πε),2(ευ),3(πε),4(ευ) ∈ ℕ | πε(1) + πε(1) = ευ(1); πε(1) + ευ(1) = πε(2); πε(1) + πε(2) = ευ(2) = ευ(1) + ευ(1) = 2ευ(1)}

Versatz des TCL-Moduls in ℕ mit jeweiliger spezifischer Zentrierung auf (beliebig) n:
Das spezifische TCL-Modul (Ternäre-Kohärenz-Logik-Modul) kann in ℕ ausgehend vom für ℕ definierten Ursprung 0 (Null) oder 1 (Eins); je nach vorheriger Definition von ℕ an stringent aufeinanderfolgenden Positionen angesetzt werden.
Aus der jeweils (spezifisch-theoretischen) ungeraden Anzahl der Rastergitternetzzellen ergeben sich damit die jeweils spezifischen Anzahlen von Knotenpunkten (Kreuzungspunkten von Rastergitternetzlinien) im jeweils spezifischen TCL-Modul.
Weil nun für jede stringent aufeinanderfolgende Zahlengröße in ℕ durch das Bertrand-Tschebyschow-Theorem nachgewiesen ist, dass sich in jeder spezifischen Konstellation zwischen n und 2n in ℕ mindestens eine Primzahl im jeweils spezifischen 2n befinden muss, ist der extra anzuführende Nachweis, dass sich das Bertrand-Tschebyschow-Theorem ebenfalls 1 : 1 auf das TCL-Modul und damit insgesamt auf die stringent beim spezifischen Ursprung (siehe vorherige Definition von ℕ ) beginnende Analyse des Zahlenraums ℕ unter Verwendung der BM(p) anwenden lässt, überflüssig. Weil die BM(p) ein zweiachsig gespiegeltes dimensionalisiertes Abbild des Zahlenraums ℕ ist und ℕ hinlänglich definiert ist, genügt zum Nachweis der Funktionsweise des TCL-Moduls eine einfache Übersichtsgrafik aus der das Kaskadenprinzip der Anwendung des TCL-Moduls auf die BM(p) ersichtlich wird (siehe noch folgende Abbildung). Damit kann insgesamt gesichert nachgewiesen werden (was offensichtlich ist, im Sinne verlässlicher Argumente jedoch nach Ansicht des Verfassers beweisenswert ist, dass die BM(p) verlässlich den Aufbau des Zahlensystems ℕ wiedergibt in dem natürliche Zahlen in stringenter Aufeinanderfolge paarweise miteinander kombiniert werden, siehe hierzu eine beispielhafte andere Darstellungsweise bei ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}:

0,1
- - -
1,2
2,1
- - -
1,3
2,2
3, 1
- - -
1,4
2,3
3,2
4,1

usw.usf.

- - -
Beweisschritte für verschiedene Fragestellungen im Zusammenhang mit der BM(p) und dem TCL-Modul:
Bewiesen werden soll, dass die Reflektion auf die Gegendiagonale in der BM(p) (Reflexionsachse) stets ein podales / antipodales Beziehungsgefüge zwischen a und b herstellt, d.H. wenn a größer wird, muss sich b entsprechend proportional verkleinern und umgekehrt. Dabei gelten als oberer sowie unterer Grenzwert stets a + b = c weil a + b zusammen nicht größer sein können als c weil es sich ansonsten um keine Spiegelung der Werte handeln würde. Was für n gilt muss dabei für n + 1 gelten, um die vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen nachzuweisen um die Verallgemeinerung zu ermöglichen:

(Hinweis: die übliche formale Darstellung ist in diesem Beitrag nicht möglich, deshalb werden die Therem die üblicherweise oberhalb und unterhalb des Summenzeichens positioniert werden, hier jeweils links und rechts vom Summenzeichen positioniert und jeweils in eckige Klammern gesetzt.)

(1) [n]∑[i=1] = 2i = a + b = c ∈ BM(p)

für alle natürlichen Zahlen n

(1) Für n = 1 ist die Behauptung richtig, denn

[n]∑[i=1] = 2i = 1 + 3 = 4 ∈ BM(p)

(2) Schluss von n auf n + 1

Annahme:
(zuerst Y-Achse, dann X-Achse)
[n]∑[i=1] = 2i = = 2i = [1 + 3 = 4; 4 – 1 = 3; 4 – 3 = 1] ∈ BM(p)

[n+1]∑[i=1] = [1 + 5 = 6; 2 + 4 = 6; 3 + 3 = 6; 4 + 2 = 6; 5 + 1 = 6] ∈ BM(p)

Erweiternder Proportionaler Vergleich zwischen n + 1 und n:
a(2) + b(2) = 4 ∈ BM(p)
a(3) + b(3) = 6 ∈ BM(p)
a(3) – a(2) ∈ BM(p) = 2

Vollständige Induktion für Spiegelsatz in der Bolle´schen Matrix mittels Ternärer Kohärenzlogik:
Die Ternäre Kohärenzlogik (TCL) drückt das Beziehungsgefüge zwischen 3 Argumenten in einem holistisch-geschlossenen System aus, das z.B. mit einer ternären Mischung verglichen werden kann. Deshalb lässt sich die TCL sehr gut in einem, Gibb´schen Dreiecksdiagramm visualisieren: verändert sich ein Wert (z.B. Zahlengröße aus ℕ) in der Geschlossenheit eines Systems, müssen sämtliche anderen analysierten Werte (z.B. korrespondierende Zahlengrößen aus ℕ) nach festgefügtem Proportionalitätsschema verändern. Damit ersetzt die TCL (nach Ansicht des Verfassers) aufwändig und umständlich zu schriebende vollständige Induktionen durch eine wesentlich vereinfachte Schreibweise und liefert auch insgesamt stärkere Argumente für den Nachweis der Richtigkeit von Annahmen, weil sämtliche Parameter eines dreidimensionalen Gleichungssystems gleichzeitig beobachtet werden können.


Grundprinzip der Vorgehensweise:

ausgeführt wird die TCL hier in Form einer tabellarischen Übersicht (siehe Anhang 5 dieses Beitrags. In der Anhangsbeschreibung finden sich dann auch die entsprechenden weiteren Erläuterungen zur Vorgehensweise.

Einfacher Logiksatz zur Untermauerung des Spiegelungsprinzips in der Bolle´schen Matrix:
Argument (1):
Primzahlpositionen auf einer spezifischen Summandenachse in Sektor Beta der BM(p) können keine Vervielfachungen von Primzahlen sein weil Primzahlen keine zusammengesetzten Zahlengrößen sind. Daraus resultiert dass Primzahlpositionen auf einer spezifischen Summandenachse in Sektor Alpha der BM(p) keine Vorgänger von Primzahlen auf einer spezifischen Summandenachse in Sektor Beta der BM(p) sein können. Dementsprechend equivalent folgt daraus dass Primzahlen in Sektor Beta der BM(p) keine Nachfolger (als Vielfache) von Primzahlpositionen in Sektor Alpha der BM(p) sein können. Aus dem Gesamtzusammenhang resultiert das folgende Argument (2).

Argument (2):
Primzahlpositionen (und damit Primzahlgrößen) in Sektor Alpha und jeweils equivalent dazu in Sektor Beta der BM(p) können als auf ein und derselben jeweiligen spezifischen Summandenachse in der BM(p) liegende asymetrische Zahlengrößen sein, die sich jeweils equivalent (nach spezifischen Rekursionsaspekten der BM(p) spiegeln. Diese Schlussfolgerung führt zu den folgenden Argumenten 3 und 4:

Argument (3):
Primzahlpositionen (und damit Primzahlgrößen) die in der BM(p) auf einer spezifischen Summandenachse) direkt auf der Spiegelachse der BM(p) liegen,stellen ausschließlich vollsymmetrisch gespiegelte Zahlengrößen der Form p+p = 2p dar. Lässt sich eine natürliche Zahlengröße im Zahlenraum ℕ spezifisch nicht binär in zwei jeweils (exakt) gleich große Primzahlen zerlegen, resultiert daraus, dass solche Primzahlenpositionen auf einer spezifischen Summandenachse in der BM(p) auch nicht auf der Spiegelachse der BM(p) (Sektor Gamma BM(p) liegen können. Primzahlpositionen der Qualität 2p in BM(p) beweisen die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung automatisch und können bei Betrachtung der Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung (theoretisch) generell ausgeklammert werden.

Argument (4):
Lückenpositionen auf einer spezifischen Summandenachse in der BM(p) stellen keine Primzahlgrößen sondern zusammengesetzte Zahlengrößen dar (siehe auch Argument 1). Auf spezifischen Summandenachsen in Sektor Alpha der BM(p) liegende Lückenpositionen werden generell equivalent in Sektor Beta der BM(p) gespiegelt. Lückenpositionen auf spezifischen Summandenachsen in der BM(p) können generell von der Betrachtung der Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung ausgeklammert werden, weil Lückenpositionen auf spezifischen Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix zusammengesetzte Zahlengrößen darstellen und demnach keine Primzahlgrößen darstellen können. Für die Betrachtung der Fragestellungen der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung sind ausschließlich Primzahlpositionen in Sektor Alpha sowie Sektor Beta der BM(p) von Interesse.
- - -
aufgrund der vorstehenden Argumente kann das fünfte Argument als als eines der wesentlichsten Argumente in dieser Logikverkettung formuliert werden:
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Argument (5):
Jede auf einer spezifischen Summandenachse in Sektor Alpha der BM(p) befindliche Primzahlposition (und damit Primzahlgröße) vervielfacht sich auf der jeweils spezifisch zugehörigen Summandenachse in Sektor Beta als Lückenposition (und damit als zusammengesetzte Zahl; siehe auch Argument 2). Daraus folgt dass jede in Sektor Beta der BM(p) auf einer jeweils spezifischen Summandenachse liegende Primzahlposition (und damit Primzahlgröße) ihre jeweils equivalente Primzahlposition (und damit spezifische gespiegelte Primzahlgröße) in Sektor Beta der BM(p) findet. Daraus wiederum folgt, dass auf einer jeweils spezifischen Summandenachse in der BM(p) zueinander antipodal gespiegelt liegendes Paar von Primzahlpositionen (und damit Primzahlgrößen) als (hier) sogenannte prime Goldbach´sche Paare (auch Pode\Antipode-Paar oder auch p\p´die starke binäre Goldbach´sche Vermutung beweisen wenn die in folgendem Argument 6 zusammengefassten Voraussetzungen greifen.
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Argument (6):
Dieses Argument ist eines der wichtigsten Argumente im Zusammenhang mit der Betrachtung der Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung: wie bereits eine einfache Analyse des Zahlenraums ℕ im Hinblick auf die jeweils binäre Kombination von Zahlengrößen aufzeigt, findet sich bereits bei der Zerlegbarkeitsanalyse für die Zahlengröße 20 (Zwanzig) eien Problemstellung die darauf hinweist, dass das Bertrand-Tschebyschow-Theorem nicht ausreicht, umk verlässliche Aussagen darüber zu treffen, ob eine in Sektor Beta der BM(p) nachweislich liegende Primzahl sich antipodal auch tatsächlich mit einer in Sektor Alpha der BM(p) liegenden Primzahl spiegelt: hier wird deutlich, dass bei Definition und Anwendung der BM(p) zwischen Primzahlpositionen im Rasterfeld der BM(p) und tatsächlich vorhandenen Primzahlen im Zahlenraum ℕ unterschieden werden muss: weil wir nicht exakter aussagen können, um welche Primzahl und damit um welche Primzahlposition in der BM(p) es sich handelt, die nachweislich eine Binärspiegelung mit einer Primzahl in Sektor Alpha der BM(p) eingeht, führt das Bertrand-Tschebyschow-Theorem in dieser Hinsicht (zunächst einmal) nicht weiter. Das Bertrand-Tschebyschow-Theorem mit seiner begrenzten Anwendbarkeit auf die Fragestellung nachd er Goldbach´schen Vermutung ermöglicht jedoch gerade aufgrund dieser Nicht-Anwendbarkeit eine fundamentale Aussage (die vom Grunde her von vorne herein logisch wirkt, aber argumentativ bewiesen werden kann): wenn bereits die Zerlegbarkeitsanalyse der Zahlengröße 20 (Zwanzig) im Zahlenraum ℕ aufzeigt, dass sich aufgrund des Betrand-Tschebyschow-Theorems mindestens eine Primzahl auf jeder Summandenachse in Sektor Beta der BM(p) befinden muss, kann daraus geschlussfolgert werden, dass es völlig überflüssig ist, die zusammengestezten Zahlen in ℕ - und damit in der BM(p) - im Hinblick auf die Fragestellung nach der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung in die Analyse mit einzubeziehen (was natürlich noch zu beweisen wäre).
Die binäre Zerlegung der Zahlengröße 20 (Zwanzig) zeigt auf, dass Binärpaar (9,11) bereits bein Ausschlussgrund für die verlässliche Anwendung des Bertrand-Tschebyschow-Theorems ist um die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung beweisen zu wollen:
(Mittenposition hier fett in geschweiften Klammern; antipodal gespiegelte Binärpaare unterstrichen)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, {10}, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Der Zusammenhang dass bereits das antipodal gespiegelte Binärpaar (9,11) ein Ausschlussgrund für die Anwendung des Bertrand-Tschebyschow-Theorems ist führt zu der Erkenntnis, dass sämtliche zusammengestezten Zahlen in ℕ - und damit in der BM(p) - bei dieser Art der Betrachtung der Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung ausgeklammert (also ignoriert) werden können. Dies führt zu dem großen Vorteil im Hinblick auf Überschaubarkeit der Fragestellung, dass die BM(p) für die Analyse der Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung mit einem stark reduzierten Datensatz auskommt: eine ausschließliche Darstellung der Primzahlpositionen in der BM(p) ist ausreichend um die Analyse der Eigenschaften binärer Primzahlpaare und ihre Verteilung zu analysieren.

(die weitere Erörterung des Themas wird in einem Folgebeitrag fortgesetzt.)

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ENGLISH LANGUAGE VERSION
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German-language preliminary explanation:
My author disclaimer applies to this topic article. The disclaimer can be found at the very end of this topic article (after the bibliography, which can be found there in German and English versions) and also applies to illustrations and illustration explanations.
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English language version of advance explanation
My author disclaimer also applies to this topic article. The disclaimer can be found at the very end of this topic post (after the bibliography) and also applies to the images and illustration explanations I uploaded in this topic post.
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Note: this text and its illustrations are protected by copyright through the use of special encryption which is hidden in the text and illustrations.
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Proof steps and general procedure for complete inductions (in this paper; the disclaimer applies):
1. Proof of the correctness of the (respective) claim for n = 1
2. Conclusion for the correctness of the (respective) assertion from n to n + 1
3. formalizing generalization


The attempt to prove the strong (binary) and the weak (ternary) Goldbach conjecture

I. The proof of the weak (ternary) Goldbach conjecture
The proof (attempt) of the weak (ternary) and strong (binary) Goldbach conjecture:
The so-called weak (because ternary) Goldbach conjecture was famously formulated by the Prussian mathematician Christian Goldbach (1690 - 1764) in the 18th century and states the following:

[QUOTE WIKIPEDIA:]
The weaker guess
Every odd number greater than 5 is the sum of three prime numbers.
is known as the ternary or weak Goldbach conjecture. It is partially solved: on the one hand it applies if the generalized Riemann conjecture is correct, and on the other hand is shown to hold for all sufficiently large numbers (Vinogradov's theorem, see Related Results).
[QUOTE END]

The so-called weak (ternary) Goldbach's conjecture is to be regarded as automatically proven when the strong (binary) Goldbach's conjecture is proven, because every even number quantity ∈ ℕ >2 can be summed with the summand number quantity 3 (three) and the number size 3 is a prime number. Because the proof of the strong (binary) Goldbach's conjecture would show that every even number size >2 ∈ ℕ can be composed of two prime numbers, the condition for the weak (ternary) Goldbach's conjecture for ℕ would be automatically fulfilled if the summand Number size 3 (three) as a prime number (2nd prime number ∈ ℕ) is summed with (added to) any even number size ∈ ℕ >2:
(+/-)2k + 1 for any k ∈ ℕ(0) (parity) (see also [gWiki6]. This connection is well known, which is why no elaborate proof has been carried out for it (for now). will, e.g.:
ℕ = {1,2,3,4,5,6,7, ...}
3 = p(πα) ∈ ℕ
3 + [p(a)>2] + [p(b)>2] = n(ευ)
e.g. for:
{p(2); p(3);p(4); p ∈ P ∈ ℕ | p(2) = 3; p(3) = 5, p(4) = 7}; p(2) + p(3) + p(4) p ∈ P ∈ ℕ = 3 + 5 + 7 = 15
{p(2); p(4);p(5); p ∈ P ∈ ℕ | p(2) = 3; p(4) = 7, p(5) = 11}; p(2) + p(4) + p(5) p ∈ P ∈ ℕ = 3 + 7 + 11 = 21
etc. etc.

The solution is obvious even without proof of the statement, because the basic connections between natural numbers with regard to parities have long been proven in a variety of ways, which means that these connections are part of general knowledge: if an odd natural number quantity is added to an (any) even number quantity, the result is The result is always an odd number. If this process is applied stringently multiple times starting from the smallest possible origin (in this case to the number size 2 (two), a theoretically seamless statement is created for ℕ to generate prime triple constellations of prime numbers by each specific combination of the number size 3 (three) with even number sizes , which in the result form an odd number size. Because the proof of Goldbach's strong conjecture would show that any number size >2 ∈ ℕ can be decomposed into two prime numbers, the conditions for the number size 3 (three) would be added when the summand is added The weak (ternary) Goldbach conjecture is completely proven for ℕ, because a summand number size of 3 (three) would result in a correspondingly equivalent offset structure in ∈ ℕ.

II. The proof of the strong (binary) Goldbach conjecture
Bertrand's theorem* says n < p < 2n. [Reiss,32-33];[ gWiki2]

(*= Bertrand expressed the original conjecture, Chebyshev finally found proof of Berteand's conjecture)

If a counter-rotating pair of number lines is placed at the corners of the underside of a triangular equilateral grid (here in the example with a side length of 7x7x7 grid cells) at N = {0,…,n}with A to B 0 to n and b to A with -0 to -n , then Bertrand's theorem can be applied to the grid. In this way it can be proven that each base side of the grid can be divided into two sectors according to Betrand's theorem, here: sector

4.081 / 5.000
Übersetzungsergebnisse
Übersetzung
Alpha = {n,…,0} and sector Beta = 2n. This creates a mutually mirroring recursion system, with the center axis of the equilateral triangular grid representing the reflection axis (linear sector gamma) as the dividing line between the sectors alpha and beta of the resulting recursion system.
According to Bertrand's theorem, it can now be proven that for each sign that is mirrored, there must be at least one prime number in sectors alpha and beta, whereby the prime number positions are axis-mirrored via the reflection axis of the recursion system as pods and antipodes. The author calls this structure of recursion system Bolle's matrix (for prime numbers) in the triangular diagram, for short: BM(p) ^.
Bolle's matrix is now suitable as a recursion system to prove that the relationships defined in the matrix can be directly transferred to the development characteristics of N, i.e. the system of natural numbers. The recursion principle of BM(n) or BM(p) generates a recursion for even number sizes - center-centered in each case - for the development of a specific number line from N, which always begins with the origin 0 or 1 (depending on the previous definition of N ). Now it can be claimed that the recursion system of the BM(p) or center-centered in N can be applied universally to any position (specific number size) in N: the BM(p) is now in a seamless sequence - starting with number sizes >2 a respective position with an even number size is created in N and if this procedure is theoretically carried out for any even number size, the following provable theorem results, which does not require assignment to specific number sizes:

Sector alpha of the BM(p) is reflected in sector beta of the BM(p) (and vice versa): every entry at any intersection point in one of the two sector systems creates a specific antipodal reflection in the sector opposite on the reflection axis of the system. If it can be stated according to Bertrand's theorem that n < p < 2n applies to N, this results in a specific antipodal reflection for any even number size in N, with Bertrand's theorem being applied to any number size in N can be (Bertrand's theorem in multiple applications). For any even number size in N, it can therefore be stated that an antipodally mirrored pair of prime number positions can be generated in sector alpha and beta of the BM(p). Both prime number positions have exactly the same properties with a mirrored sign. The strong (binary) Goldbach's conjecture would be provable if it could be proven that in the BM(p) axis-mirrored prime number positions lie opposite each other as a pode-antipode pair (more on this assumption, which leads to a mistake about the provability of Goldbach's This assumption can be substantiated later).
If two pode-antipode prime number positions are opposite each other in the BM(p), they automatically result in an even number in the summation after transfer to the number line system N because the summation of p(a) + p(b) at p>2 always result in an even number size. The only proof that needs to be provided for this is the transfer of the recursion system into the development of the number line from N (origin to infinity).

(currently still being edited below)
Proof of the gap offset for stringently consecutive even numbers
No complex proof is provided for this connection because this connection is generally known and has long been proven: every odd number in n is followed by an even number in n, which results in an offset from odd numbers to even numbers at a distance of n = 1 each ( see e.g. [Reiss, 25-67; Chapter 2:Natural Numbers] and e.g. also on the topic of Parities for example [gWiki6]):

{ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
e.g. {n(1), ..., n(7)] ∈ ℕ | n(1) = 1; n(2) = 2, n(3) = 3; n(4) = 4; n(5) = 5; n(6) = 6; n(7) = 7 | n(1) = ; n(2) = 2, n(3) = 3; n(4) = 4; n(5) = 5; n(6) = 6; n(7) = 7 | | n(1) = πε ; n(2) = ευ, n(3) = πε; n(4) = ευ; n(5) = πε; n(6) = ευ; n(7) = πε}

the result is that every even number quantity in ℕ is in strictly sequential order; starting from the origin 0 (zero) or optionally 1 (one) - depending on the previous definition of ℕ at n>1 it is always between two odd number sizes. For the distribution of even number quantities in ℕ, this means that any even number quantity in ℕ is always calculated according to the formula {n(πε) + [n(πε) + 1]} : 2 = n(ευ) at n(ευ) > n(πε) and n(ευ) < [n(πε) + 1] can be calculated, which is why finally for even numbers >2 in ℕ it can always be formulated: {n(πε) < n(ευ) < [n (πε) + 1]} ∈ ℕ}. Conversely, it can of course be concluded that the following must also apply: {n(ευ) < n(πε) < n(ευ) ∈ ℕ} from which it follows: n(πε) ∈ ℕ = {n(ευ) + [n(ευ) + 1] : 2 = n(πε) ∈ ℕ}. Furthermore, as a result of (here e.g.) ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, it can of course be derived, for example:
n(1;πε) + 1 = n(1;ευ); n(1;ευ) + 1 = n(2;πε) etc. etc.
or:
{[1(πε),2(ευ),3(πε),4(ευ) ∈ ℕ | 1(πε) + 1(πε) = 2(ευ); 2(ευ) + 1(πε) = 3(πε); 3(πε) + 1(πε) = 4(ευ)} etc. etc.
or:
{[1(πε),2(ευ),3(πε),4(ευ) ∈ ℕ | πε(1) + πε(1) = ευ(1); πε(1) + ευ(1) = πε(2); πε(1) + πε(2) = ευ(2) = ευ(1) + ευ(1) = 2ευ(1)}

Offset of the TCL module in ℕ with respective specific centering on (arbitrary) n:
The specific TCL module (Ternary Coherence Logic Module) can be in ℕ starting from the origin defined for ℕ 0 (zero) or 1 (one); Depending on the previous definition of ℕ, they can be set at stringently consecutive positions.
The specific number of node points (crossing points of grid lines) in each specific TCL module results from the (specific-theoretical) odd number of grid cells.
Because for every stringently consecutive number size in ℕ it is proven by the Bertrand-Tchebyschov theorem that in every specific constellation between n and 2n in ℕ there is at least one prime number in each specific 2n, the extra proof that needs to be provided is that the Bertrand-Tchebyshev theorem also applies 1:1 to the TCL module and thus overall to the stringent at the specific origin (see previous definition of ℕ ) beginning analysis of the number space ℕ using the BM(p) is superfluous. Because the BM(p) is a two-axis mirrored dimensional image of the number space ℕ and ℕ is sufficiently defined, a simple overview graphic showing the cascade principle of the application of the TCL module is sufficient to demonstrate the functionality of the TCL module on which BM(p) can be seen (see the following figure). This means that it can be proven with certainty (which is obvious, but in the author's opinion is worth proving in the sense of reliable arguments) that the BM(p) reliably reflects the structure of the number system ℕ in which natural numbers are combined in pairs in a stringent sequence, see here an exemplary different representation at ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}:

0.1
- - -
1.2
2.1
- - -
1.3
2.2
3, 1
- - -
1.4
2.3
3.2
4.1

etc. etc.

- - -
Proof steps for various questions related to the BM(p) and the TCL module:
The aim is to prove that the reflection on the counter-diagonal in the BM(p) (reflection axis) always creates a podal/antipodal relationship structure between a and b, i.e. If a increases, b must decrease proportionately and vice versa. The upper and lower limit values are always a + b = c because a + b together cannot be greater than c because otherwise the values would not be mirrored. What applies to n must apply to n + 1 in order to prove complete induction for all natural numbers and to enable generalization:

(Note: the usual formal representation is not possible in this article, so the therems that are usually positioned above and below the sum sign are positioned here to the left and right of the sum sign and are placed in square brackets.)

(1) [n]∑[i=1] = 2i = a + b = c ∈ BM(p)

for all natural numbers n

(1) For n = 1 the assertion is correct because

[n]∑[i=1] = 2i = 1 + 3 = 4 ∈ BM(p)

(2) Conclusion from n to n + 1

Assumption:
(first Y-axis, then X-axis)
[n]∑[i=1] = 2i = = 2i = [1 + 3 = 4; 4 – 1 = 3; 4 – 3 = 1] ∈ BM(p)

[n+1]∑[i=1] = [1 + 5 = 6; 2 + 4 = 6; 3 + 3 = 6; 4 + 2 = 6; 5 + 1 = 6] ∈ BM(p)

Extended proportional comparison between n + 1 and n:
a(2) + b(2) = 4 ∈ BM(p)
a(3) + b(3) = 6 ∈ BM(p)
a(3) – a(2) ∈ BM(p) = 2

Complete induction for the mirror theorem in the Bolle matrix using ternary coherence logic:
The Ternary Coherence Logic (TCL) expresses the relationship between 3 arguments in a holistic, closed system, which can be compared, for example, with a ternary mixture. That's why the TCL can be visualized very well in a Gibb's triangular diagram: if a value (e.g. numerical magnitude from ℕ) changes in the closedness of a system, all other analyzed values (e.g. corresponding numerical magnitudes from ℕ) must change Basic principle of the procedure:[/u]
The TCL is carried out here in the form of a tabular overview (see appendix 5 of this article. The corresponding further explanations of the procedure can also be found in the appendix description.

Simple logic theorem to support the mirroring principle in Bolle's matrix:
Argument (1):
Prime number positions on a specific summand axis in sector beta of the BM(p) cannot be multiplications of prime numbers because prime numbers are not composite numbers. This results in that prime number positions on a specific summand axis in sector alpha of the BM(p) cannot be predecessors of prime numbers on a specific summand axis in sector beta of the BM(p). Accordingly, it follows equivalently that prime numbers in sector beta of the BM(p) cannot be successors (as multiples) of prime number positions in sector alpha of the BM(p). The following argument (2) results from the overall context.

Argument (2):
Prime number positions (and thus prime number sizes) in sector alpha and equivalent to them in sector beta of the BM(p) can be asymmetric number sizes lying on one and the same specific summand axis in the BM(p), which are each equivalent (according to specific recursion aspects of the BM(p) This conclusion leads to the following arguments 3 and 4:

Argument (3):
Prime number positions (and thus prime number sizes) that lie in the BM(p) on a specific summand axis) directly on the mirror axis of the BM(p) only represent fully symmetrically mirrored number sizes of the form p+p = 2p. If a natural number quantity in the number space ℕ cannot be specifically broken down in a binary manner into two (exactly) equal prime numbers, the result is that such prime number positions on a specific summand axis in the BM(p) are also not on the mirror axis of the BM(p) (sector Gamma BM(p). Prime number positions of quality 2p in BM(p) prove the strong (binary) Goldbach conjecture automatically and can generally be (theoretically) excluded when considering the question of the strong (binary) Goldbach conjecture.

Argument (4):
Gap positions on a specific summand axis in the BM(p) do not represent prime number quantities but rather composite number quantities (see also argument 1). Gap positions lying on specific addend axes in sector alpha of the BM(p) are generally mirrored equivalent in sector beta of the BM(p). Gap positions on specific summand axes in the BM(p) can generally be excluded from the consideration of the question of the strong (binary) Goldbach conjecture, because gap positions on specific summand axes in Bolle's matrix represent composite numerical quantities and therefore cannot represent prime number quantities. When considering the questions of the strong (binary) Goldbach conjecture, only prime number positions in sector alpha and sector beta of the BM(p) are of interest.
- - -
Based on the above arguments, the fifth argument can be formulated as one of the most essential arguments in this logic chain:
- - -
Argument (5):
Each prime number position (and thus prime number size) located on a specific summand axis in sector alpha of the BM(p) multiplies on the specifically associated summand axis in sector beta as a gap position (and thus as a composite number; see also argument 2). It follows that every prime number position (and thus prime number size) lying on a specific addend axis in sector beta of the BM(p) finds its equivalent prime number position (and thus specific mirrored prime number size) in sector beta of the BM(p). From this in turn it follows that on a specific addend axis in the BM(p) a pair of prime number positions (and thus prime number sizes) lying antipodal to one another are (here) so-called prime Goldbach pairs (also pod\antipode pair or also p\p Prove the strong binary Goldbach conjecture if the assumptions summarized in the following argument 6 apply.
- - -
Argument (6):
This argument is one of the most important arguments in connection with the consideration of the question of the strong (binary) Goldbach conjecture: as a simple analysis of the number space ℕ shows with regard to the respective binary combination of numerical quantities, can already be found in the decomposability analysis for the number size 20 (twenty) is a problem that indicates that the Bertrand-Tchebyshev theorem is not sufficient to make reliable statements about whether a prime number that is demonstrably located in sector beta of the BM(p) actually corresponds antipodally to one in sector Alpha of the prime number lying in BM(p) reflects: here it becomes clear that when defining and applying the BM(p) a distinction must be made between prime number positions in the grid field of the BM(p) and actually existing prime numbers in the number space ℕ : because we cannot say more precisely which prime number and therefore which prime number position in the BM(p) is involved, which demonstrably enters into a binary reflection with a prime number in sector alpha of the BM(p), the Bertrand-Tchebyshev theorem leads in this regard (initially) nothing further. The Bertrand-Tchebyshev theorem, with its limited applicability to the question of Goldbach's conjecture, allows, however, precisely because of this non-applicability, a fundamental statement (which seems logical from the start, but can be proven argumentatively): if already the decomposability analysis of the number size 20 (twenty) in the number space ℕ shows that due to the Betrand-Chebyshev theorem there must be at least one prime number on each summand axis in sector beta of the BM(p), it can be concluded that it is completely superfluous, to include the assembled numbers in ℕ - and thus in the BM(p) - in the analysis with regard to the question of the strong (binary) Goldbach conjecture (which of course still needs to be proven).
The binary decomposition of the number 20 (twenty) shows that the binary pair (9,11) is already a reason for exclusion from the reliable application of the Bertrand-Tchebyschov theorem in order to prove the strong (binary) Goldbach conjecture:
(Middle position here bold in curly brackets; antipodal mirrored binary pairs underlined)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, {10}, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
The connection that the antipodal mirrored binary pair (9,11) is already a reason for exclusion from the application of the Bertrand-Chebyshev theorem leads to the realization that all assembled numbers in ℕ - and thus in the BM(p) - with this type of Considering the question of the strong (binary) Goldbach conjecture can be excluded (i.e. ignored). This leads to the great advantage in terms of manageability Question that the BM(p) makes do with a greatly reduced data set for the analysis of the question of the strong (binary) Goldbach conjecture: an exclusive representation of the prime number positions in the BM(p) is sufficient to analyze the properties of binary prime number pairs and to analyze their distribution.

(Further discussion of the topic will be continued in a follow-up post.)

QUELLEN / SOURCES

BIBLIOGRAPHY:
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Books:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematics primary level and secondary level I + II: Didactics of arithmetic. 5. revised Edition: Springer Spektrum publishing house, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematics for teachers – basic knowledge of number theory. 2nd edition. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005.

du Sautoy, M.: The music of prime numbers - On the trail of the greatest mystery in mathematics. unknown Edition 2006; 7th edition, publishing house dtv Wissen, Munich, 2013.

Schmidt / Trenkler: Modern matrix algebra - with applications in statistics. (Series: Springer textbook), Springer publishing house; Berlin, Heidelberg, New York, 1998

PDFs:
Fackeldey, Konstantin: Goldbach's conjecture and its previous attempts at a solution. Free University of Berlin, 2002
Link to the publication: https://page.math.tu-berlin.de/~fackeld ... keldey.pdf
Date and time of access: February 17.02.2024; 04:27 CET

German-language Wikipedia [gWiki]:
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Bibliografische Angaben für „Goldbachsche Vermutung“
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Kaskadenprinzip Anwendung TCL Modul in BMp

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Beweisführung starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung TCL in BM(p) (1)

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Ternäre Kohärenzlogik im Gibbschen Diagramm (2).jpg
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Ternäre Kohärenzlogik im Gibbschen Diagramm (2)

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- - -

Nomenklatur:
irr. in der Abbildung = irrational

Der Beweisansatz des Verfassers für den Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung
Der Beweisansatz des Verfassers für die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung erfolgt mittels Ternärer Kohärenzlogik in Kombination mit dem Bertrand´schen Theorem, das auf ein gleichseitiges Dreiecksdiagramm (im Stile eines Gibb´schen Diagramms) angewendet wird.
Das Prinzip der Evaluierung eines Zahlenraums in ℕ kann als Theoriemodell auf unendliche Zahlenräume und unendlich viele direkt aufeinanderfolgende gerade Zahlengrößen in ℕ angewendet werden. In der rekursiven Umkehr und Aufsplittung der natürlichen Zahlengrößen (ℕ) wird anhand des Verfahrens deutlich, wie binäre Primzahlkonstellationen entstehen: Weil das System der natürlichen Zahlen ℕ zweidimensional (zweiachsig) projeziert wird, entsteht eine Gesamt-Spiegelungskonstellation der dimensional zueinander gestellten Zahlenräume: Jede Primzahl im Zweidimensionalen System wird komplex gespiegelt und findet damit in der Zahlenreihe ℕ ihre jeweils antipodale Entsprechung in ℕ. Für den Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung genügt jedoch die Auflösung in ein einziges jeweilig einer geraden Zahlengröße zuordnungsfähiges Primzahlpaar. Deshalb gestaltet sich der eigentliche Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung recht übersichtlich: weil ℕ in einem ternärlogischen Kohärenzsystem (hier gleichseitig-dreieckige Gitternetzmatrix im Stile eines Gibb´schen Diagramms) zweidimensional erhoben und damit zweiachsig achssymmetrisch über eine zentriert verlaufende Spiegelungsachse gespiegelt werden kann, genügt der Nachweis einer einzigen im jeweils spezifischen 2n befindlichen Primzahl in Sektor Beta der Bolle´schen Matrix [(BM(p)]. Der Nachweis gelingt durch Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf den jeweils spezifischen Summandenachsabschnitt in Sektor Beta der BM(p). Bei der Beweisaussage des Verfassers handelt es sich dabei um einen arithmetischen Universalsatz (Spiegelungssatz der BM(p) in Kombination mit Bertrand´schem Theorem) der ohne konkrete Zahlengrößen auskommt und Zahlenräume von 0 bzw. 1 (je nach vorheriger Definbition von ℕ bis unendlich beschreibt. Weil dieses Prinzip auf jede beliebige gerade Zahlengröße in ℕ >2 in stringenter Aufeinanderfolge angewendet werden kann, ist eine Primzahllückenbertrachtung in ℕ zur Beantwortung der Problemstellung der starken Goldbach´schen Vermutugn überflüssig: für jede beliebige gerade Zahlengröße -1 als n existiert in ℕ ein äquivalentes 2n, weshalb auch für jede gerade Zahlengröße in ℕ mittels des Bertrand´schen Theorems eine entsprechende Primzahl in jedem spezifischen 2n per Definition des Bertrand-Tschebyschow-Theorems nachgewiesen ist. Der elementare Beweisschritt für den Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung liegt also lediglich darin aufzuzeigen, dass die Rekursion des Ternärlogischen Systems der BM(p) - hier in beispielhafter Anwendung auf ein gleichseitig-dreieckiges Gitterrasternetz im Stile eines Gibb´schen Diagramms - sich kohärent (absolut deckungsgleich) in den Zahlenraum ℕ überträgt.

Die vollständige Formalisierung der Beweisschritte mit vollständiger Induktiion folgt möglichst zeitnah.

- Bitte etwas Geduld -

- - -
ENGLISH LANGUAGE:

Nomenclature:
err. in the figure = irrational

The author's approach to proving the strong (binary) Goldbach conjecture
The author's approach to proving the strong (binary) Goldbach conjecture is using ternary coherence logic in combination with Bertrand's theorem, which is applied to an equilateral triangle diagram (in the style of a Gibb diagram).
The principle of evaluating a number space in ℕ can be applied as a theoretical model to infinite number spaces and an infinite number of directly consecutive even number sizes in ℕ. In the recursive reversal and splitting of the natural number sizes (ℕ), the process makes it clear how binary prime number constellations arise: Because the system of natural numbers ℕ is projected two-dimensionally (two-axis), an overall mirroring constellation of the number spaces placed dimensionally relative to one another is created: every prime number In the two-dimensional system, complex reflection takes place and thus finds its antipodal equivalent in ℕ in the number series ℕ. However, to prove Goldbach's strong (binary) conjecture, the resolution into a single pair of prime numbers that can be assigned to an even number is sufficient. That's why the actual proof of Goldbach's strong (binary) conjecture is quite clear: because ℕ is raised two-dimensionally in a ternary logical coherence system (here an equilateral triangular grid matrix in the style of a Gibb's diagram) and is therefore reflected two-axis axially symmetrically over a centered reflection axis can be, it is sufficient to prove a single prime number located in the specific 2n in sector beta of the Bolle matrix [(BM(p)]. The proof is achieved by applying Bertrand's theorem to the specific summande axis section in sector beta of the BM (p). The author's statement of evidence is an arithmetic universal theorem (mirroring theorem of BM(p) in combination with Bertrand's theorem) which does not require specific numerical quantities and has numerical ranges of 0 or 1 (depending on the previous definition of ℕ to infinity. Because this principle can be applied to any even number size in ℕ >2 in stringent sequence, a prime number gap analysis in ℕ is superfluous to answer the problem of Goldbach's strong conjecture: for any even number size -1 as n There is an equivalent 2n in ℕ, which is why for every even number size in ℕ a corresponding prime number is proven in every specific 2n by means of Bertrand's theorem by definition of the Bertrand-Tchebyshev theorem. The elementary proof step for proving the strong (binary) Goldbach conjecture is simply to show that the recursion of the ternary logical system of BM(p) - here in an exemplary application to an equilateral triangular grid in the style of a Gibb diagram - is transferred coherently (absolutely congruent) into the number space ℕ.

The complete formalization of the proof steps with complete induction will follow as soon as possible.

- Please be patient -
Ternäre Kohärenzlogik im Gibbschen Diagramm (1).jpg
Bildrechte / Text Copyright: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2024
(hochgeladen am 17.02.2024; 04:54 MEZ)
Ternäre Kohärenzlogik im Gibbschen Diagramm (1)

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(Hinweis: für diese Abbildungsbeschreibung gilt der Haftungsausschluss des Verfassers. Der Autoren-Haftungsausschluss; abgefasst in deutscher und englischer Sprache; befindet sich ganz am Ende des zugehörigen Themenbeitrags, dem diese Abbildung zugehörig ist.)
(NOTE: Description currently only available in German. The authors DISCLAIMER; written in German and English; for content applies. The author's disclaimer can be found at the very end of the topic article to which this figure belongs.)

Ternäre Kohärenzlogik als mathematisches Beweisführungsmittel
about
Dieser Artikel als Ergänzung zur Beweisführung des Verfassers für die starke (binäre) Goldbach´schen
behandelt mit der vom Verfasser sog. Ternärlogik, einer Abwandlung der Anwendung des Gibb´schen Diagramms (siehe auch Vivani´s theorem) mit Logikwerkzeugen eine Möglichkeit, die teils umständliche vollständige induktion in entsprechend angepassten mathematischen Auseinandersetzungen zu ersetzen.

Ternäre Kohärenzlogik als vereinfachte Anwendung zum Ersatz für die vollständige Induktion
Mit der vom Verfasser sog. Ternären Kohärenzlogik lassen sich bestimmte Beweisverfahren in der Anwendung vereinfachen wenn es um das Finden von Verallgemeinerungen geht (graphisch umsetzbare mathematische Gleichungen; siehe auch die übliche Darstellung konstanter Summen mit Dreiecksdiagrammen). Anstatt die Argumente stets in einer vollständigen Induktion einander gegenüber zu stellen und umständlich formulieren zu müssen, müssen bei Anwendung der Ternärlogik ausschließlich die geeigneten Parameter definiert und in ein adäquates äquivalentes Gleichnis (z.B. in Form einer Tabelle) gestellt werden, weil die Grundbedingungen bei der Ternären Kohärenzlogik stets die gleichen bleiben. Auch lassen sich Gleichungszusammenhänge bekannterweise übersichtlich direkt aus solchen Diagrammen ablesen. Begründbar ist dies damit, dass es sich bei der Ternären Kohärenzlogik (so wie bei jeder mathematischen Gleichung) um ein holistisch geschlossenes perfektes System handelt, das stets 100%-tige Veränderungscharakteristik aufweist (jede noch so kleine Veränderung verändert das Gesamtsystem konsequent, was sich direkt aus dem System ablesen lässt und damit verlässlich valide Daten liefert (siehe hierzu auch Satz von Vivani im Hinblick auf die Eigenschaften von gleichseitigen Dreiecken). Der Vergleich mit ternären Mischungen, für die das Gibb´sche Diagram häufig Anwendung findet, ist sinnvoll, weil er den holistisch-perfekten Zusammenhang von Gleichungen grafisch darstellen kann, wie sie z.B. im Bereich der vollständigen Induktion eingesetzt werden: wird ein Bestandteil einer ternären Mischung um nur winzige Bruchteile verändert, verändern sich dadurch die Gesamtanteile und Gewichtungen einer Mischung. Wird bei ternären Mischungsverhältnissen z.B. ein Gesamtvolumenmaß von 100% (also Prozentschritte) als Vordefiniert angelegt, kann diese Vorgehensweise 1 : 1 auf die ternäre Logik (hier unter Verwendung des Gibb´schen Diamgrams) übertragen werden mit dem Unterschied dass die Skala in der Ternären Kohärenzlogik theoretisch auch generalisiert auf Anschauungsräume von 0 bis ∞ bzw. 1 bis ∞ erweitert werden kann, weil Rückschlüsse auf diesen Anschauungsraum in der Ableitung stets möglich sind.
Die vollständige Bedingung ist erfüllt (und ein Satz damit bewiesen) wenn alle drei Argumente bei vordefinierten Bedingungen auf einer Definitionsebene liegen weil sie im ternären Gitternetz deckungsgleich (kohärent) sind, z.B.: Argumente A und B liegen auf eine Linie mit Argument C.
Die ternäre Logik vereinfacht die spezifische Beweismethodik für bestimmte mathematische Fragestellungen stark weil Argumente in das stets gleichbleibende Pattern (Klischee´z.B. in Form einer Tabelle) von Gleichungssystemen eingetragen werden können und Abweichungen der Argumente (Argumentenunstimmigkeit, No-Target-Mentalität der Argumente) sofort und mit Eindeutigkeit als Datenausgabe erfasst werden können. Ein besonderer Vorteil liegt dabei darin, dass sich die Ternäre Kohärenzlogik auf bestimmte tabellarische Anschauungen in Verbindung mit herkömmlichen Tabellen-Kalkulations-Softwares übertragen lässt, weil die ternäre Systematik des Gibb´schen Diagramms auf über die Haupdiagonale geschnittene quadratische Matritzen 1 : 1 übertragen werden kann, was z.B. in puncto Formelaufwand einen großen Vorteil z.B. in der modernen Primzahlforschung bedeutet: damit ist das Prinzip des Gibb´schen Dreiecksdiagramms (im Sinne einer gedrehten Verschiebung) 1 : 1 [auf R(mxn) bei m = n] übertragbar. Dieser Zusammenhang lässt die Ternäre Kohärenzlogik als Beweismittel äußerst attraktiv werden für die Anwendung auf spezifisch geeignete Zahlenarten wie z.B.: ℕ (und andere).
So kann mit der Ternären Kohärenzlogik z.B. ohne aufwändiges notwendiges Umstellen von Formelgleichungen und bei Vermeidung komplizierter und aufwändiger Schreibweisen ermittelt werden, ob z.B. die natütliche Zahl 2 (Zwei) aus ℕ ein direkter Nachfolger der Zahl 1 (Eins) aus ℕist, weshalb mit der Ternären Kohärenzlogik z.B. (alternativ) bewiesen werden kann, dass das System der natürlichen Zahlen ℕ sich mit Tendenz unendlich entwickelt und dabei die Grundregel Vorgänger {n1 + 1} = Nachfolger n2 usw. gilt (siehe in diesem Kontext z.B. auch Euklids Argumente über die Entwicklung natürlicher Zahlen und Primzahlen [Sautoy,53,54, Reiss,105]).
Die Ternäre Kohärenzlogik funktioniert aufgrund ihres Aufbaus nach dem Pinzip des unverrückbaren Zirkelschlusses der Argumente in der Beschreibung holistischer perfekter Systeme. Es genügt dabei der Einsatz einfacher Formelstellungen bei entsprechenden Möglichkeiten der Formelumstellung um beweisführungstechnisch ausreichende Aspekte für mathematische Fragestellungen zu erarbeiten.
Die Anwendungsmöglichkeiten der Ternären Kohärenzlogik sind sehr vielfältig und können z.B. umständlich zu formulierende vollständige Induktionen stellenweise (spezifisch) ersetzen.
Ein besonders großer Vorteil der Art des Beweisens mit der Ternären Kohärenzlogik liegt auch darin, dass sich sehr viele verschiedene gleichartige Fragestellungen mit vielen unterschiedlichen Parametern z.B. in Form eines theoretisch auch extrem umfangreich angelegten Tabellendokuments realisieren lassen: sind die Grundformeln für diese Art zu beweisen erst einmal geschrieben, können sie universell auf diverse mathematische Fragetellungen angewendet werden, indem einfach entsprechende Werte in z.B. mit modernen Tabellen-Kalkulations-Softwares erstellten Tabellen eingetragen werden. Dabei lässt sich das Grundprinzip der Ternären Kohärenzlogik auch auf höhere Logiksysteme wie z.B. die Quartärlogik (4 Argumente die in Deckungsgleichheit zu bringen sind) und Quintärlogik (5 Argumente die in Deckungsgleichheit zu bringen sind) usw. übertragen, womit die Ternäre Kohärenzlogik eine Art von Dimensionslogik darstellt.

Beispiel für die Anwendung ternärer Kohärenzlogik im Gibb´schen Diagramm:
(hier: Ternäre Kohärenzlogik = TCL; hier stets von links nach rechts für A und B und Richtung A für B\C;C\B)

es sei:
Argumente ∈ TCL(7x7x7,origin[A]) = {A\B\C │ a\b = n1, a\c= n2, b\c;c\b = n3} bei
A sei ein Punkt in einem Ternär-Rastergitter von 7x7x7
B sei ein Punkt in demselben Ternär-Rastergitter von 7x7x7
C sei ein Punkt in demselben Ternär-Rastergitter von 7x7x7

ternäre Logikschritte:
{A\B\C (ternärlogik) │ a\b = n1, a\c = n2, b\c;c\b = n3}
A\B = n(a\b); A\C = n(a\c); B\C = n(b\c)

wenn gilt:
n(a\b)) = 0
n(a\c) = 0

dann gilt automatisch:
(hier in dieser spezifischen zuvor definierten Anschauung)
n(b\c) = max. = 7

wenn gilt:
n(a\b) = 1
n(a\c) = 1

dann gilt automatisch:
n(b\c) = 6
oder auch:
n(b\c);n(c\b) = 6\1
Deshalb muss folglich auch gelten bei Versuch des Nachweises für {n(1,2,3) ∈ ℕ}:
{n1,n2,n3 in ℕ │ n1 = 1, n2 = 2, n3 = 3}

Argumente:
n1 = a
n2 = b
n3 = c

wenn gilt:
n(a\b) = 1
n(a\c) = 1

dann gilt automatisch:
n(b\c) = 6;1

oder auch (hier bei Anschauungsrichtung auf A):
(bei max. = 7)
max. - n(b\c) = n(a\b)
n(a\b) = 7 -1
7 – 1 = 6

max. - n(a\b) = n(b\c)
n(b\c) = 7 – 6
7 – 6 =1

wenn gelten soll (ausgehend von A):
Argumente ∈ TCL(7x7x7,origin[A]) = {A\B\C │ a\b = n1 = 1}
n2 = n1 + 1
weil:
n2 – 1 = n1

dann muss demnach auch gelten:
n3 – 1 = n2
weil:
n1 + n2 = n3

sowie:
n7 – n1 = n6
oder auch:
n(b\c) - n6 = n1
bei max. 7, also n7 = 7

und u.a.:
n1 + n2 + n3 = n6 weil 1+2+3 = 6
oder auch:
n(a\b)[1] + n(a\b)[2] + n(a\b)[3] = n(a\b)[6]
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Sculpteur
 
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Jahrhundert- und Jahrtausenfragen der Mathematik

Beitragvon Sculpteur » 18.02.2024 14:52

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deutschsprachige Voraberläuterung:
Bitte habe Verständnis dafür dass sich aufgrund eines zurückliegenden intensiven Forschungsprozesses einige Veränderungen in der Abfassung dieses komplexen Themas ergeben haben. Die zurückliegenden bisherigen Beiträge zum Thema werden von mir nicht wesentlich fortgeführt weil es mir nun gelungen ist das Thema in eine Kurzform zu bringen. Die zurückliegenden Beiträge werden von mir noch editiert im Hinblick auf etwaige Fehler und tatsächlich entstande grobe Fehler, ansonsten aber aus dokumentarischen Gründen so belassen wie sie sind und mit einem entsprechenden hinweis von mir versehen. Die Editierung der zurückliegenden Beiträge kann entsprechende Zeit erfordern. Auch für diesen Themenbeitrag gilt mein Autoren-Haftungsausschluss. Der Haftunsgausschluss befindet sich ganz am Ende dieses Themenbeitrags (nach der Bibliographie, dort zu finden in deutschsprachiger und englischsprachiger Fassung) und gilt auch für die in diesem Themenpost von mir hochgeladenen Abbildungen und Abbildungserläuterungen.

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English language version of advance explanation
The topic article on the proof of the strong (binary) Goldbach conjecture can be found following the German-language version in this topic article; please scroll down):
Please understand that due to an intensive research process in the past, some changes have occurred in the drafting of this complex topic. I will not continue the previous contributions on the topic in any significant way because I have now managed to summarize the topic in a short form. I will edit the previous contributions with a view to any errors and major mistakes that have actually occurred, but otherwise leave them as they are for documentary reasons and provide a corresponding note from me. Editing previous posts may require a certain amount of time. My author disclaimer also applies to this topic article. The disclaimer can be found at the very end of this topic post (after the bibliography) and also applies to the images and illustration explanations I uploaded in this topic post.
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über / about
Manche mathematischen Fragen bewegen die Menschheit bereits über die Jahrhunderte und Jahrtausende ganz besonders. Die Kulturen der Antike verfügten weltweit bereits über umfangreiches mathematisches Wissen, das Alltag und Gesellschaften dieser Kulturen prägte und manchmal auch deren erfolgreiches Fortbestehen. Zu einer der spektakulärsten mathematischen Fragestellungen wird dabei heute die sog. Riemannsche Vermutung erklärt, die im Grunde die Auseinandersetzung mit einer mittlerweile Jahrtausende überdauernden Fragestellung in der Auseinandersetzung mit der Natur der Zahlen thematisiert (gemeint sind hier die zählbaren positiven Zahlen also die heute sog. natürlichen Zahlen).
Weil die streifende Auseinandersetzung mit der Riemann´schen Vermutung auch den von mir im vorherigen Beitrag geposteten Beweis der sog. Goldbach´schen Probleme (sog. starke weil binäre sowie schwache weil ternäre Goldbach´sche Vermutung) betrifft und damit fundamentale Fragestellungen zur Erforschung der Zahlen betrifft, poste ich in diesem Beitrag möglichst zeitnah mein Statement zur Riemann´schen Vermutung. Der zurückliegende Beitrag zu den Goldbach´schen Problemen wird also von mir simultan mit diesem Beitrag weiter bearbeitet: noch hochzuladende Bestandteile dieses Beitrags sind dabei als zusätzliche Beweisuntermauerung der von mir im vorherigen Beitrag veröffentlichten starken (binären) Goldbach´schen Vermutung zu verstehen. Weil sich beide Fragestellungen stark überschneiden, sind Methoden und Vorgehensweisen - insbesondere im Hinblick auf Beweismöglichkeiten - in beiden Themenbeiträgen gut aufgehoben. Es ist dabei eine Frage der Gewichtung diese einem spezifischen Thema zuzuordnen, aber im Grunde beweisen die Zusammenhänge für beide Fragestellungen insgesamt wichtige Grundlagen für ein besseres und weitgreifenderes Verständnis über Zahlen.
Mit meinem Statement zur Riemann´schen Vermutung möchte ich dabei auch eines der Hauptprobleme bei der Auseinandersetzung mit mathematischen Fragestellungen aufzeigen, das auch die forschende Auseinandersetzung mit der Entstehung der Mathematik beeinflussen kann und zwar die stellenweise beobachtbare Überbewertung mathematischer Fragestellungen, die von der Findung wesentlicher Forschungsstrategien ablenken kann.
Die Auseinandersetzung mit einer potenziellen Überbewertung mathematischer Fragestellungen tangiert z.B. auch die (methodische und didaktische) Vermittlung von Mathematik und betrifft damit auch etwaige Zuknftsszenarien für eine stärkere Ausarbeitung eines experimentalarchäologischen Forschungs- und Lehrfelds Archäomathematik, womit sich auch zukünftige Arbeitsfelder für Experimentalarchäologen und entsprechende Angebote und dadurch eine Erweiterung von Zukunftsperspektiven u.a. für Experimentalarchäologen aber auch für jeden, der Mathematik unterrichtet und vermittelt ergeben können.

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Die (nach Ansicht des Verfassers mögliche) Widerlegung der Riemann´schen Vermutung
Bernhard Riemann fragte sich mit seiner heute sog. Riemann´schen Vermutung, … (folgt) komprimiert ausgesagt soviel wie: ob die Verteilung der Primzahlen unter einer bestimmten Zahlengröße in ℕ vergleichbar sei mit den Ergebnissen eines Münzwurfs.
Damit thematisierte Riemann eine fuindamental wichtig wirkende arithmetische Frage, deren schlüssige Klärung sich für die moderne Mathematik als eine von wesentlichen Schlüsselfragen herauskristallisiert hat. Riemann´s Frage wurde damit zur die moderne Mathematik bewegenden Frage und wurde schließlich als Riemann´sche Vermutung zu einem der wichtigsten zu klärenden mathematischen Probleme unserer Zeit gekürt.

Die Riemann´sche Vermutung ist als falsch widerlegbar. Dies weil bereits die Prämisse der Riemann´schen Vermutung falsch ist. Dabei ist es um diese Behauptung zu beweisen nicht einmal erforderlich, sich näher mit der Riemann´schen Vermutung selbst auseinander zu setzen denn wenn bereits die Prämisse der Riemann´schen Vermutung falsch ist (was noch zu beweisen wäre) und folglich sämtliche aus der Riemann´schen Vermutung abgeleiteten spezifischen Schlussfolgerungen falsch sind - und damit überflüssig im Sinne der eigentlich zu stellenden Fragestellung sind - dann erzeugt dies keine Notwendigkeit sich mit der formal kompliziert formulierten Riemann´schen Vermutung auseinanderzusetzen. Vielmehr wäre dann eher die Frage zu stellen, weshalb Riemann auf die Idee gekommen ist davobn auszugehen, Entwicklungen im Zahlenraumd er natürlichen Zahlen hätten irgend etwas mit Zufall zu tun.
Die eigentliche Fragestellung mit deren Beantwortung auch die Riemann´sche Vermutung wiederlegt ist, betrifft die Verteilung der Primzahlen und daraus zwangsläufig resultierend die ursächliche Entstehung von Primzahlen.
Hierbei ist (nach Ansicht des Verfassers - und was noch zu beweisen wäre) keinesfalls von sog. Zufällen auszugehen. Begründung udn Hauptargument: die natürlichen zahlen stellen ein mehrdimesionales, in sich geschlossenens holistisch-perfektes System dar in dem es per Definition als Perfektem System folglich keine Zufälle geben kann.

Über Primzahlen und die Eigenschaften von Primzahlen
Primzahlen sind keine ominösen, keine mit mysteriösen oder im Sinne der Riemann´schen VErmutung "zufälligen" Eigenschaften belegbarer Zahlentypus. Es mag dabei sien, dass Riemann mit seiner Vermutung neben dies aussagen, bzw. vorformulieren wollte und das Gleichnis mit dem Zufall als Anhaltspunkt gewählt hat um auf den eigentlich interessanten Kern der Angelegenheit hinzuweisen.
im Zahlenraum der natürlichen Zahlen, also in ℕ, also in einem hoilistisch geschlossenen perfekten Zahlensystem ℕ. ist kein Platz für Zufälle und auch nicht für die Definierung von Zufälligkeiten. Scheinentitäten sind hier (vermutete; siehe Riemann) strukturelle Erscheinungen (also Zusammenhänge) in ℕ, die als aus ihnen abgeleitete Definition des Zahlenraums ℕ unter falschen Voraussetzungen falsche Schlüsse ableiten. Reellentitäten sind hier die tatsächlichen und beschreibbaren Zusammenhänge in ℕ, die z.B. zur Formulierung der grundlegenden Charakteristika der Primzahlen führen und damit zu der Frage, auf welche Art und Weise Primzahlen sich auf ihre Ursprungscharakteristik zurückführen lassen.
Die Riemann´sche Vermutung ist mit dieser Abhandlung widerlegt, weil die Prämisse der Riemann´schen Vermutung falsch ist. Diese Behauptung wirkt vielleicht gewagt aber der Verfasser wird im Folgenden ausführlich erläutern weshalb er sie aufstellt, dann mag der Verfasser widerlegt werden: die beobachtbare Ordnung des Zahlensystems ℕ und daraus ableitbare Phänomene sind auf reellentitätischeZusammenhänge zurückführbar die als computische strukturelle Lösungsorientiertheit (ger.: CSSL; engl. Computational structural solution orientation, kurz: CSSO) bezeichnet werden können. Die Struktur ℕ funktioniert reellentitätisch, was sich mit einfachen mathematischen Mitteln beweisen lässt, die entsprechende Logik vorausgesetzt.

Computische strukturelle Lösungsorientiertheit in ℕ
Betrachten wir die Phänomenik in der Struktur ℕ, kann daraus das folgende abgeleitet (und -nach Ansicht des Verfassers - logisch bewiesen) werden: Primzahlen in ℕ verhalten sich in ihrem Auftreten (und ihrer daraus resukltierenden Verteilung) nicht „zufällig“: jede Primzahl in ℕ tritt exakt dann in Erscheinung, wenn ihr "Erscheinen" aus struktureller Hinsicht erforderlich ist und damit das auf Maximaleffizienz orientierte System ℕ als Struktur bedient. Primzahlen sind damit mit einem guten Schauspieler vergleichbar, der niemals seinen Einsatz verpasst und auch stets an der einzig richtigen Stelle auf der Bühne in Erscheinung tritt – und zwar ausschließlich dann, wenn das Bühnenlicht (die Scheinwerfer) eingeschaltet sind. Weil Primzahlen Inbegriff des „auf Maximaleffizienz ausgerichtete Bestrebens“ der Struktur ℕ sind, lässt sich aus ℙ ∈ ℕ auch ableiten, wie diese Struktur funktioniert (und dies auch dann, wenn ℙ ∈ ℕ – je nach Betrachtungswinkel - strukturchaotisch auf den Betrachter wirken kann, was die Annahme von Scheinentitäten über die Charakteristik der Struktur ℕ zur Folge haben kann (siehe hierzu noch folgende Abb. 1: Strukturmannigfaltigkeiten von ℙ ∈ ℕ).
Primzahlen folgen in ihrem Auftreten in ℕ einer festgefügten ursprungsorientierten algorhitmischen Logik, aus der heraus sich die jeweilige Position einer Primzahl in ℕ ergibt. Diese spezifische computische strukturelle Lösungsorientiertheit in ℕ (CSLO) in ℕ agiert als holistisches perfektes System: durch die computische strukturelle Lösungsorientiertheit in ℕ wird jede Imperfektheit im Zusammenspiel zwischen Elementen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen eliminiert, bzw. ist aufgrund der Basiparameter des Systems, also der Struktur ℕ, von vornerehein überhaupt nicht möglich. Ihre Erzeugung der Perfektheit findet die Struktur ℕ dabei (logischerweise) in der Programmierung von ℕ, also in der Grundvoraussetzung, dass ℕ ein Zahlenraum sei, der sich durch spezifische Vervielfachung ein und desselben Grundelements; das ist die Zahlengröße 1 (Eins); ins theoretisch Unendliche entwickelt.
Deutlich wird diese Perfektheit der Struktur ℕ z.B. an den Charakteristika der Fibonacci-Zahlen sowie ihrer Folgeglieder [Reiss, ...].
Eine Verdeutlichung der strukturellen Phönomenik des Zahlenraums ℕ, die sich bereits bei einfacher Verwendung eines Abakus in ihrer resultierenden spezifisch größer werdenden Komplexität ablesen lässt, ist z.B. über die zweidimensionale Anschauung der Struktur ℕ möglich: indem wir die Komponente der Zweidimensionalität auf N als Struktur anwenden, lässt sich eine Erläuterung des in ℕ wirkenden Strukturprinzips als per Definition von ℕ vorprogrammiertes ordnendes Prinzip anhand der Rationalen Zahlen erläutern im Hinblick auf die Abgrenzung der Perfektheit von ℕ zur – in Anwendung auf ℕ vergleichenden spezifischen Imperfektheit der Struktur ℝ.

Die spezifisch imperfekte Struktur ℝ in vergleichender Anwendung auf die spezifisch perfekte Struktur ℕ
Beide Zahlenräume (als Zahlensysteme), sowohl ℕ als auch ℝ stellen von ihrer strukturellen Charakteristik her in sich geschlossene (holistische) perfekte Systeme dar. Im spezifischen Vergleich beider Systeme miteinander – in Kombination mit einer zweidimensionalen Anschauung von ℕ- wird jedoch deutlich, dass beide in Kombination miteinander agierenden Systeme markante Abweichungen erzeugen, mit denen sich die Eigenschaften und die Verteilungscharakteristika von Primzahlen erklären lassen.
Beide Systeme – sowohl ℕ als auch ℝ entwickeln sich als in sich geschlossene Systeme holistisch perfekt, woraus sich die Funktionsweise der sich ins Unendliche entwickelnden Zahlengrößen beider Systeme ableiten lässt, lückenlos perfekt zu agieren: eine imperfekte Bezugnahme irgendeines spezifischen Elements auf irgendein anderes beliebiges spezifisches Element ist in den Systemen ℕ als auch ℝ jeweils nicht möglich. Deshalb sind wir auch heute überhaupt dazu befähigt, aus den Charakteristika (z.B.) dieser beiden genannten Systemen mathematische Schlussfolgerungen abzuleiten: würden die Strukturen ℕ und ℝ keine holistisch-perfekten Systeme darstellen, wäre jeder unserer Versuche, Grundalgorhitmen für die Entstehung dieser Systeme und etwa Formelstellungen abzuleiten, die reinste Zufallsunternehmung. Die mathematische Anschauung erst erzeugt dabei die Möglichkeit, z.B. ℕ und ℝ durch systematische Analyse zu definieren. Doch exakt hier setzt dann auch eins der Hauptprobleme bei der heutigen Auseinandersetzung mit Primzahlen, ihren Eigenschaften, ihrer Verteilung in ℕ an: die gewählten mathematischen Werkzeuge, die Mittel und Methoden (und damit hauptsächlich deren Eigenschaften) charakterisieren unseren analytisch erfolgreichen – oder auch nicht erfolgreichen - Zugriff (in dieser speziellen gewählten Betrachtung dabei) auf ℕ. Es mag dabei an der – in manchen, jedoch selbstverständlich nicht sämtlichen Bereichen – grassierenden mathematischen Dimensionslosigkeit und damit im sprichwörtlichsten Sinne an der damit einhergehenden mancher Orten und in manchen Zusammenhängen zu beobachtenden Einseitigkeit der modernen Mathematik geschuldet sein, dass wir bis heute so unglaublich viel Zeit benötigt haben, das grundlegende Problem mit den Primzahlen (deren Auftreten sowie deren Verteilung) als Elementen in ℕ zu lösen.

Stellen wir ℕ und ℝ einander vergleichend gegenüber, wird das Problem mit der Teilerfremdheit von Zahlengrößen in ℕ zueinander rasch deutlich.

Teilerfremdheitsanalyse im Vergleich von ℕ und ℝ als Schlüssel für einen präzisen Primzahlbegriff
Eine direkte Gegenüberstellung von ℕ und von Teilaspekten aus ℝ (genauer: ausschließlich Bruchzahlen mit der Zahlengröße Eins im Zähler) zeigt auf, weshalb ℕ (im aufgezeigten direkten Vergleich ein in sich geschlossenes holistisch-perfektes System darstellt (darstellen muss) und der bisherige Primzahlbegriff (also die Definition von Primzahlen) davon profitiert, wie ℕ und ℝ sich zueinander disponieren: ℝ erzeugt teilerfremde Lückenbereiche in ℕ, die ℕ als quasi programmiertes System nur auffüllen kann, wenn ℕ Primzahlen als spezifische Zahlengrößen bei stringenter Entwicklungssystematik eingeführt werden. Erst durch die Einführung der Primzahlen in Form von Positionierung nach Aspekten und Bedingungen der computischen strukturellen Lösungsorientiertheit (CSLO) in ℕ (und im Sinne von Paritäten) kann ℕ als holistisch-perfektes System seine Aufgabe lückenschließend zu 100% erfüllen (und das ist die Grundvoraussetzung für ein holistisch-geschlossenes perfektes System, sonst wäre es kein solches System).
Das Harmonibestreben eines perfekten Systems wie ℕ eines ist, stellt also den Schlüsselmoment für die Erkenntnis über die grundlegende Natur der Primzahlen dar, kommt dabei aber eben – wie zumindest in diesem Fall der mathematischen Anschauung ersichtlich ist, nicht ohne den Dimnensionsbegriff für N aus: erst indem die systemischen Vorgänge in ℕ zur zweidimensionalen Struktur erhoben und auf diese Art und Weise (beispielhaft) veranschaulicht werden, kann der Algorhitmus der Primzahlbildung in ℕ abgelesen werden.

Teilerfremdheitsverhältnisse in ℕ und ℝ:
ℕ= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
ℝ(1/n) ∈ ℝ= {½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6, 1/7, …}
[n(x) ∈ ℕ] ∩ [ℝ(1/n) ∈ ℝ] = ∅ wenn [n(x) ∈ ℕ] = p

Primzahlerzeugender maximaleffizienter Aufbau der Struktur ℕ
Die natürlichen Zahlen ordnen sich (logischerweise) ausgehend von ihrem definierten Ursprung (0 oder 1, je nach vorheriger Definition von ℕ) auf eine strukturelle Art und Weise, die in der Summenkaskade aus ℕ überschaubar zusammengefasst werden kann (siehe noch folgende Abb. ...). Die Summenkaskade aus ℕ. ist gleichermaßen der Schlüssel zum Verständnis über die Charakterstik der computischen strukturellen Lösungsorientiertheit (CSLO) in ℕ. Die CLSO in ℕ sorgt algorhitmisch quasi dafür, dass im Zahlenaraum ℕ nichts dem Zufall überlassen wird und „jed´ Ding an seinem Platze“ ist. Ein Durchspielen sämtlicher überhaupt möglicher Möglichkeiten, Zahlengrößen in ℕ miteinander zu kombinieren, zeigt deshalb auch auf, weshalb Primzahlen keine „zufällig verteilte“ Charakteristik in ℕ sind (und auch niemals sein werden, selbst beim Besten Willen und der abstrusesten mathematischen Definition von ℕ und von ℙ
nicht): die Summenkaskade aus ℕ spielt (als theoretisches und praktisch anwendbares Konstrukt) sämtliche Kombinationsmöglichkeiten von natürlichen Zahlen durch – dabei je nach Anschauung und Bedarf sowie je nach gewählter Größe eines analysierten Zahlenraumausschnitts – unär (hier auch: solitär), binär (hier auch: dual), trinär, quarternär, quinär, senär usw. usf. (bis hinein ins Unendliche der Möglichkleiten). Die Gesamtanzahl der Kombinationsmöglichkeiten lässt sich dabei nach jeweils spezifischem Schlüssel jeweils exakt berechnen:

(folgt)

Beim Durchreihen (hier in der spezifischen Betrachtung) der dualen (binären) Kombinationsmöglichkeiten von natürlichen Zahlen ergeben sich dabei in manchen Konstellationen bestimmter Charakteristik (Teilerfremdheit) spezifische Unmöglichkeiten (als Divergenzen), jeweils zwei Zahlengrößen zu einer binären Einheit zusammenzufassen; dabei stets unter der Bedingung, dass beide Zahlengrößen summarisch den spezifischen Reihenwert in der Summenkaskadenposition ergeben (müssen). Holistisch-systemisch kann der Sinn der Primzahlgrößen in ℕ deshalb – interpretatorisch - darauf zurückgeführt werden, dass die Primzahlen diese Dual-Divergenz der binären Kombinatorik in ℕ ausgleichen. Erweitern ließe sich diese Aussage hier auch auf ternäre quarternäre, quinäre, senäre (usw. usf.; siehe oben) Divergenzen – was in dieser Abhandlung jedoch zu weit führen würde, weshalb diese möglichen spezifischen Anschauungen aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs hier ausgeklammert werden.
Exakt so werden die daraus resultierenden Ergebnisse dann auch in der dualen (binären) Reihenbildung summarischer Gegenüberstellung für die Bildung von Zahlengrößen in ℕ ausgegeben, bzw. finden darin ihren Ausdruck. Damit stellt die im Folgenden vorgestellte Methode vom Grunde her auch eine Art Primzahl-Geniererungsverfahren dar (siehe noch folgende Beispiele).
Gleichermaßen sind die vorangestellten Ausführungen Grundlage für den hier (im vorherigen Beitrag in diesem themenkompex geposteten) Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermtung des Verfassers und des daraus zwangsläufig resultierenden Beweises der schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung des Verfassers.


(dieser Beitrag wird ab hier aus Zeitgründen zu einem anderen ZEitpunkt weiter bearbeitet. Die Englische Fassung des Beitrags folgt noch.)

zu einem anderen
Proof procedure for the correctness of Goldbach's problems
(treated subject: strong binary and weak ternary Goldbach's conjecture)

I. Application of propositional logic:


I.1. Requirements:
It is to be regarded as true because it has already been sufficiently proven and shapes our understanding of the concept of prime numbers and their special position in ℕ:

I.1.a: By definition, prime numbers are not composite natural numbers:
P (1.a) = a prime number cannot, by definition, be a composite number in ℕ.
Q(1.a) = A composite number in ℕ cannot be prime by definition.
P(1.a) ⇒ Q(1.a); ¬Q(1.a) ⇒ ¬P(1.a)

I.1.b: Prime number gaps in the number space >2 ∈ ℕ are always characterized by the following characteristic:
If the two specific prime numbers framing a specific prime number gap in ℕ(dual or binary gap constellation of two prime numbers that each form a prime number gap in ℕ) are summed together and then the sum is halved, the gap value always arises as the number size in N that in N in terms of positioning, it is always exactly in the middle between the two specific prime numbers, each of which forms a specific prime number gap:

{gn ∈ ℕ | gn = pn+1 - pn}
g1 = 3 – 2 = 1 (smallest and only uneven one prime gap in ℕ)
gn = pn+1 - pn (prime number gap ∈ ℕ)
nπα = odd natural number (from greek: paraxenos); nπα ∈ N; (±2k + 1 for any k ∈ ℕ0)
nευ = even natural number (from greek: euthys); nευ ∈ N; (±2k for any k ∈ ℕ0)
{gn > g1 ∈ ℕ; pn > 2 ∈ ℕ| [(pn+1 + pn) : 2] = [gn /2] ∈ ℕ}
{[πα(gn /2)],[ευ(gn /2)n]∈ ℕ | [πα(gn /2)n+1] - [ευ(gn /2)n] = 1; [ευ(gn /2)n+1] - [πα(gn /2)n] = 1}
{[πα(gn /2)n],[ευ(gn /2)n] ∈ ℕ | [πα(gn /2)n] = πα(gn /2)γ ; [ευ(gn /2)n] = ευ(gn /2)γ}

Eine „Pseudo-Primzahllüke

Jeweils zwei spezifische Oprimzahlen in N bilden jeweils die Voraussetzungen für die Ableitung einer spezifischen Mittenpotion in N mit geradem zahlenwert, die exakt zwischen den beiden Primzahlen orientiert ist, auch dann wenn andere Primzahlen diesen Definitonsraum „durchkreuzen“. Diese Art von Primzahlkonstellation wird in dieser Abhandlung Zwischenläufer geannt.

Für Zwischenläufer-Konstellationen spielt es bei Betrachtung der Problemstellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung keine Rolle, wieviele (hier sog.) betrachtunsgraumfremde Primzahlen damit den spezifisch analysierten Zahlenraum durchkreuzen. Dabei ist außerdem die Betrachtung der Primzahlkonstellationen die sich unter Mitwirkung von p1 = 2 für die Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung irrelevant und kann deshalb exkludiert werden weil Primzahlkonstellationen mit p1 = 2 + pn >2 stets eine ungerade spezifische binäre Summe ergeben: p1 = + (pn >2) = nπα weil p1 = n ευ und nευ(x) + nπα(y) = nπα(x,y) oder auch:
±2k + (±2k + 1) = ±4k + 1 usw.; wie hinlänglich bekannt ist.


Inkludierungsatz zur schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung:
Wird die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung bewiesen, gilt die schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung automatisch (zwangsläufig) als mitbewiesen. Dies weil die Summierung einer beliebigen Primzahlpaar-Konstellation ungerader Primzahlen >2 in ℕ mit p2 ∈ ℕ stets ternäre Primzahlkonstellationen der Qualität 2pn + p2 bei pn > 2 (Typ A) oder aber der Qualität ... bei p2 = 3 (Typ ...) ergeben:

(enthält noch Fehler, wird noch überarbeitet)
{p1 ∈ ℕ | p1 = 2}
{pn > 2 ∈ ℕ | pn > 2 ∈ ℕ= {3, 5, 7, 11, …}

Type A:
{pn > p1 = pπα} ; {pn > p1 = nπα ∈ ℕ} ; {2(nπα) ∈ ℕ= nευ ∈ ℕ} ; {nευ + p1 = nευ ∈ ℕ}
{nπα ∈ ℕ | ±2k + 1 for any kπα ∈ ℕ0}


Type B:
{pn > p1 = pπα} ; {pn > p1 = nπα ∈ ℕ} ; {παpn(x) + παpn(y) = παpn(x+y)} ; παpn(x+y) = nευ ∈ ℕ}
{nευ ∈ N | ±2k for any k ∈ ℕ0}
(oberhalb wird aufgrund enthaltener Fehler noch überarbeitet)

- weitere Überarbeitung und Editierung des Themas bei nächster Gelegenheit -

BIBLIOGRAPHY (QUELLEN):

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ENGLISH LANGUAGE VERSION:
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Some mathematical questions have particularly affected humanity for centuries and millennia. The cultures of antiquity around the world already had extensive mathematical knowledge, which shaped everyday life and societies of these cultures and sometimes also their successful continued existence. One of the most spectacular mathematical questions today is the so-called Riemann conjecture, which basically deals with a question that has now endured for thousands of years in the discussion of the nature of numbers (what is meant here are the countable positive numbers, i.e. the so-called natural numbers today Pay).
Because the touching discussion of the Riemann conjecture also includes the proof of the so-called Goldbach problems (so-called strong because binary[ /i] as well as [i]weak because ternary Goldbach's conjecture) concerns and thus concerns fundamental questions in the study of numbers, I will post my statement on Riemann's in this article as soon as possible Supposition. The previous article on Goldbach's problems will be further processed by me simultaneously with this article: components of this article that have yet to be uploaded are to be understood as additional evidence to support the strong (binary) Goldbach's conjecture that I published in the previous article. Because both questions overlap greatly, methods and procedures - especially with regard to the possibilities of proof - are well contained in both topics. It is a question of weighting to assign this specific topic, but basically the connections for both questions prove important foundations for a better and more comprehensive understanding of numbers.
With my statement on the Riemann conjecture, I would also like to point out one of the main problems when dealing with mathematical questions, which can also influence research into the development of mathematics, namely the observable overestimation of mathematical questions that depends on the finding of essential research strategies can distract.

(More on this later, but this much in advance: in view of the knowledge I have gained so far, I consider both the formulation of Goldbach's problems and Riemann's conjecture to be greatly overrated with regard to the original properties of natural numbers and our possibilities to use these properties to research. The way in which these two alleged problem areas of modern mathematics have been literally exaggerated into mathematical problems that appear almost insoluble can be sobering when given an appropriate insight into the nature of numbers. One may therefore ask how such a striking distraction of modern mathematics has come about mathematics could come.
With this article I would also like to add further essential and experimental archaeological aspects
Research, in particular, publish methods that are practically oriented to the subject - with some borrowings from already known methodology and didactics.)

QUELLEN:
[german language Wikipedia]:

[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Parität (Mathematik)“
Seitentitel: Parität (Mathematik)
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 14. August 2021, 01:36 UTC
Versions-ID der Seite: 214747267
Permanentlink: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... Mathematik)&oldid=214747267
Datum des Abrufs: 18. Februar 2024, 17:16 UTC

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variable Summenkaskade Zahlenraum 1 bis 9 (2)

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variable Summenkaskade Zahlenraum 1 bis 9 (2)
Aus der variablen Summenkaskade aus ℕ aus der sich gleichzeitig Produktbildungsgesetze für Summen ablesen lassen, wird der Zusammenhang zwischen zusammengesetzten Zahen und Primzahlen ersichtlich. Primzalen tauchen im Zahlensystem der natürlichen Zahlen spezifisch nur überall dort auf, wo sich Zahlengrößen mit den innerhalb eines spezifischen Zahlenraumausschnitts nicht zusammensetzen lassen (wie hinlänglich bekannt ist, siehe Paritäten). Im Hinblick auf die computische Lösungsorientiertheit des Zahlensystems ℕ wird aus Struktur und Aufbau der variablen Summenkaskade aus ℕ deutlich, dass Primzahlen spezifisch lösungsorientierte Algorhitmen innerhalb des holistisch-perfekten Zahlenraumsystems ℕ sind und von deren Eigenschaften her rein gar nichts mit Zufall zu tun haben.

(mehr dazu bei nächster Gelegenheit)

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ENGLISH LANGUAGE VERSION:
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variable Summenkaskade Zahlenraum 1 bis 9 (2)
variable sum cascade number range 1 to 9 (2)
The connection between composite numbers and prime numbers becomes clear from the variable sum cascade of ℕ, from which product formation laws for sums can also be read. In the number system of natural numbers, prime numbers only appear wherever number sizes cannot be composed within a specific number space section (as is well known, see parities). With regard to the computational solution-oriented nature of the number system ℕ, it becomes clear from the structure and structure of the variable sum cascade from ℕ that prime numbers are specifically solution-oriented algorithms within the holistic-perfect number space system ℕ and their properties have absolutely nothing to do with chance.

(more on this at the next opportunity)
variable Summenkaskade Zahlenraum 1 bis 9.jpg
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variable Summenkaskade Zahlenraum 1 bis 9

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variable Summenkaskade Zahlenraum 1 bis 9

(mehr dazu bei nächster Gelegenheit)

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variable Summenkaskade Zahlenraum 1 bis 9

(more on this at the next opportunity)
COMPUTING CLO Beispiel Zahlengröße 8 (2).jpg
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COMPUTING CLO Beispiel Zahlengröße 8 (2)

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COMPUTING CLO Beispiel Zahlengröße 8 (2)

(mehr dazu bei nächster Gelegenheit)

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COMPUTING CLO Beispiel Zahlengröße 8 (1)

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COMPUTING CLO Beispiel Zahlengröße 8 (1)

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COMPUTING CLO Beispiel Zahlengröße 8 (1)

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Darstellungsvarianten der Teilerproblematik Zahl 8 (2).jpg
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Darstellungsvarianten der Teilerproblematik Zahl 8 (2)

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Mögliche Darstellungsvarianten der Teilerproblematik der Zahlengröße 8 (Acht) im System der natürlichen Zahlen (2):

(mehr dazu bei nächster Gelegenheit)

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ENGLISH LANGUAGE VERSION:
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Possible representation variants of the divisor problem of the number size 8 (eight) in the system of natural numbers (2):

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Darstellungsvarianten der Teilerproblematik Zahl 8 (1).jpg
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Darstellungsvarianten der Teilerproblematik Zahl 8 (1)

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Mögliche Darstellungsvarianten der Teilerproblematik der Zahlengröße 8 (Acht) im System der natürlichen Zahlen (1):

(mehr dazu bei nächster Gelegenheit)

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ENGLISH LANGUAGE VERSION:
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Possible representation variants of the divisor problem of the number size 8 (eight) in the system of natural numbers (1):

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Teilerfremdheit 3.jpg
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Teilerfremdheit 3

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Teilerfremdheit (3):
Durch arithmetisch computische Lösungsorientiertheit findet der Zahlenraum der natürlichen Zahlen ℕ Lösungen um Lückenbildungskonflikte die durch Fraktionieren entstehen, auszugelichen und "aufzufüllen". Hierfür ist die Einführung der rimzahlen in dje Zahlenbraum ℕ notwendig. Die Lösung zum besseren und tiefgreifenderen Verständnis über Primzahlen und deren Eigenschaften liegt also in einer kombinatorischen Betrachtung der zahlenräume ℕ und der rationalen Zahlen Q mit jeweils einer 1 im Zähler: die strategische computische Lösungsorientiertheit in ℕ lässt sich sehr gut mit der Produkte-Kaskade der natürlichen Zahlen veranschaulichen: das System findet - lautmalerisch umschrieben - stets die perfekte Lösung, indem es Primzahlen dort einführt, wo diese zwingend erforderlich sind. Am Beispiel der Zahlengröße 8 sind dies die Primzahlen 3 und 5. In der Rekursionsbetrachutng der Zahlengrößen im Zahlenraum N werden diese Zusammenhänge deutlich. Und hier liegt damit auch der Schlüssel zur Widerlegung der RIemann´schen Vermutung: Zahlengrößen in ℕ agieren niemals "wie zufällig" sondern nach festgefügten holistisch-systemischen Algorhitmen (was noch zu beweisen wäre).

Mehr dazu, auch zu den formalen Auflösungen dieser Behauptungen baldmöglich.
Teilerfremdheit 2.jpg
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(hochgeladen am 19.02.2024; 12:38 MEZ)
Teilerfremdheit 2

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(Hinweis: für diese Abbildungsbeschreibung gilt der Haftungsausschluss des Verfassers. Der Autoren-Haftungsausschluss; abgefasst in deutscher und englischer Sprache; befindet sich ganz am Ende des zugehörigen Themenbeitrags, dem diese Abbildung zugehörig ist.)
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Teilerfremdheit (2):
Lassen sich Anzahlen von Elementen nicht eindeutigen ganzzahligen Teilern zuordnen, greift das Primzahlprimzip um die "Lückendisharmonie" im Zahlenraum der natürlichen Zahlen aufzufüllen. Systematisch sucht das holistisch-perfekte System nach perfekten Lösungen für die Teilerfremdheit und löst das Problem schließlich mit Einführung der Primzahlen: so in etwa lässt sich das Strukturprinzip nach dem der Zahlenrtaum der natürlichen Zahlen geordnet ist, etwas lautmalerisch und damit "plastisch" umschreiben um das arithmetisch-computische Prinzip zu veranschaulichen, das
im Zahlenraum ℕ wirkt.

(weitere Beschreibung folgt baldmöglich / descripition follows next time)


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ENGLISH LANGUAGE VERSION:
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Partial strangeness (2)
If numbers of elements cannot be assigned to unique integer divisors, the prime number prime is used to fill the "gap disharmony" in the number space of natural numbers. The holistic-perfect system systematically searches for perfect solutions to the non-divisority and finally solves the problem with the introduction of prime numbers: the structural principle according to which the range of natural numbers is ordered can be described in a somewhat onomatopoeic and therefore "plastic" way to illustrate the arithmetic-computing principle
in the number space ℕ.

(further description will follow as soon as possible / description follows next time)
Teilerfremdheit 1.jpg
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(hochgeladen am 19.02.2024; 12:12 MEZ)
Teilerfremdheit 1

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{crypto:→8,12,P,9,9,↙→,29,HA,I,9↙→,23,Z,P,22,21,↙→,J,E,A,15,12,↙M O,N,D,Z,25,↙→B,33 V,I,E,R→,23,16,8,B,20,↙→,16,33,11,B,7,↙}
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Fundamentalarithmetik: Das Problem mit der Teilerfremdheit:

Wie lässt sich eine bestimmte Anzahl von Elementen so aufteilen dass keine Teilerfremdheit besteht, bzw. für welche Mengenkonstellationen von Anzahlen von Elementen entsteht Teilerfremdheit zwangsläufig?: die Primzahlen als BEstandteil des zahlensystems der natürlichen Zahlen können quasi als mathematische Lösungsstrategie dieses Problems in einem holistisch-perfekten System verstanden werden wie der Zahlenraum ℕ eines darstellt.

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ENGLISH LANGUAGE VERSION:

Fundamental arithmetic: The problem with the fact that the factors are not equal:

How can a certain number of elements be divided up in such a way that there is no co-divisority, or for which set constellations of numbers of elements does co-coordination inevitably arise?: the prime numbers as a component of the number system of natural numbers can be used as a mathematical solution strategy for this problem in a holistic-perfect way System can be understood as the number range ℕ represents one.

(weitere Beschreibung folgt baldmöglich / descripition follows next time)
Ein Physiker-Witz: "Was ist der Unterschied zwischen Doppelmoral und Dopplermoral?"
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