Einmessung der Cheopspyramide mit simplen Techniken?

[Sculpteur]

[HAFTUNGSAUSSCHLUSS: Trotz sorgfältiger Prüfung Irrtümer vorbehalten. Jegliche Verwendung der hier veröfentlichten Zusammenhänge auf eigenes Risiko und frei von jeglicher Haftung seitens des Verfassers.]

Wurde der Baukörper der Cheopspyramide im Hinblick auf die Hauptproportionen (Basislängen, Kantenlängen, Höhen, Schichthöhen) mit einer simplen Einmessmethode mit Schnüren ermittelt? Ich halte dies für naheliegend und sogar wahrscheinlich.
Das besondere an der noch zu besprechenden simplen Einmessvariante ist, das verschiedene erforderliche Einmessschritte in einem Arbeitsschritt erledigt werden können und die Variante einen Zusammenhang zur sog. 12-Knotenschnur herstellt, die sich zu einem Rechten Winkel mit den Streckenproportionen 3 : 4 : 5 (summarisches Tripel bzw. heute üblicherweise sog. primitives pythagoreisches Tripel) aufgespannt werden kann.
Mit einem einfachen Einmesstrick, der interessanterweise mit der in der Antike vermutlich häufiger für Einmessungen verwendeten sogenannten 12-Knotenschnur in Verbindung gebracht werden kann, lassen sich die Proportionen der Cheopspyramide auf dem Plateau von Giseh imitieren, bzw. ausreichend stark annähern. Auch im Detail abweichende andere Methoden kommen in Frage und sind ebenfalls simpel. Allen Methoden ist gemein, dass keinerlei Rechenarbeit erforderlich ist.
Erforderlich für die hier im Modellversuch demonstrierte Einmessmethode ist ein zuvor zu erstellender exakter Grundflächenanriss im Rechten Winkel. Außerdem müssen zuvor die einzumessenden Basislängen bzw. Bauabschnittsbreiten ermittelt und angerissen werden (ich werde demnächst noch kurz eräutern weshalb sich dies nicht widerspricht...). Nun wird eine 12-Knotenschnur mit dem Mittenkoten (dies ist von jeder Seite eines Messwerkzeugs aus Riemen, Schnur oder Seil mit 12 Aufknotungen die 12 gleichlange Teilstrecken erzeugen, von jedem Ende eines Messwerkzeugs aus gezählt jeweils der 7te Knoten, bzw. die 7te Markierung) exakt im Rechten WInkel angehalten. Die beiden Endknoten (Knoten bzw. Markierungen jeder Seite) werden nun auf den zuvor an der am Grundflächenanriss jeweils zuvor vorgenommenen Breitenmarkierung angehalten. Wird nun das Messwerkzeug aus Riemen, Schnur oder Seil gestrafft, so dass auf jeder Seite des angehaltenen Mittenknotens symetrische Dreiecksfiguren entstehen, kann die sich ergebende Kantensituation eines Pyramidenbaukörpers exakt eingemessen werden. Hierfür werden die auf jeder Seite des Rechten Winkels sich ergebenden Dreiecksfiguren in gestrafftem Zustand zusammengeführt. An den Punkten an denen sich beide Dreiecksfiguren an der Kante deckungsgleich treffen, ist die einzumessende Pyramidenkante zu verorten. Um die sich ergebenden Dreiecksfiguren jeweils exakt aufzustraffen, wird auf jeder Seite des vom Rechten Winkel angehaltenen Mittenknotens jeweils der (vom jeweiligen Ende eines Messwerkszeugs gezählt) 4te Knoten gegriffen um die Dreiecksfiguren aufzuspannen. Auf die beschriebene Art und Weise können einzelne Steinblockschichten exakt eingemessen werden und relevante Punkte für den Pyramidenbau in einem einzigen Einmessschritt ermittelt werden. Praktikabel durchgeführt werden kann diese Einmesstechnik auch über größere Bauwerksabschnitte (über mehrere direkt aufeinanderfolgende Steinblockschichten hinweg). Ideal durchzuführen wäre diese Einmessmethode in der Rekonstruktion mit 3 Personen.
(rechnerischer Nachweis siehe jeweilige Videobeschreibung vorheriger Beiträge zum Thema).
EIne weitere simple EInmessvariante ist das Ermitteln einer jeweiligen aufgelagerten Schichthöhe von Steinblöcken. Die Schichthöhe wird z.B. mit Riemen, Schnur oder dünnem Seil abgegriffen. Anschließend wird die abgegriffene Messhöhe durch Zusammenlegen des Messwerkzeugs halbiert: es resultieren zwei Messstrecken von je 1/2. Diesen wird durch einfache Zugabe von Messmaterial (Riemen, Schnur, Seil) eine dritte Strecke mit der Länge 1/2 hinzugelegt. Wird nun im Verhältnis zur zuvor abgenommenen Höhe eine Kantenlänge von 3 * 1/2 Teilstrecken als einzumessende Kantenlänge eines jeweiligen BAáuabschnitts (jeweilige Schichthöhe) ermittelt (durch entsprechendes Positionieren bzw. Bearbeiten eines jewieligen Ecksteinblocks einer Schichthöhe) entstehen automatisch Proportionen, die denennd er Cheopspyramide ausreichend nache kommen. Weil über die tatsächlichen ursprünglichen Proportionen der Cheopspyramide ohnehin nur sehr vage Vermutungen bis heute formuliert werden konnten, halte ich die genannte Vorgehensweise für die naheliegendste (nach Ockham). Die potenzielle Einmessung der Cheopspyramide über die Kantenlängen hat Affinitäten zu Graefe´s Theorie des EInmessens eines Pyramidenbaukörpers über die Kante, weicht im Detail jedoch von Graefes Theorie der Einmessung mit 1 : 1 Strecken [Diagonalenlänge zu Höhe ab).
Damit wären die ursprünglich geplanten Proportionen der Cheopspyramide bei der arithmetisch serh einfach zu findenden Proportion 3 : 2 oder auch 1,5 : 1 zu verorten. Die grundlegende EInfachheit dieser Proportion (3/3 : 2/3) ist ein weiteres Argument nach Ockham für meine Annahme, dass die alten Ägypter nicht unbedingt ein komplexeres Einmessystem mit zugrundeliegendem Maßsystem ("Elle"; 7-Teilung der Elle etc.) überhaupt benötigt hätten.
Nach dieser Theorie wären die Proportionen der Cheopspyramide überhaupt nicht (in keiner zwangsläufig vorauszusetzenden ) Weise mit dem sog. "Goldenen Schnitt" in Verbindung zu bringen: für die alten Ägypter wäre ein WIssen über die Proportion "Goldener Schnitt" (~1,618... : 0,618...) also überhaupt nicht notwendig gewesen um die Cheopspyramide einzumessen.

Arithmetische Zusammenhänge:
Die Proportionen der 3 Grospyramiden auf dem Plateau von Giseh sind im Hinblick auf die geschilderten Zusammenhänge arithmetische interessant, weil sich alle drei Pyramiden (Cheops-, Chepren-, Mykerinospyramide) auf die grundlegenden, aufeinanderfolgenden und leicht zu entdeckenden arithmetischen Grundzusammenhänge (hier als Proportionen bzw. Brüche) zurückführen lassen:

(messtechnisch leicht umsetzbar):
Cheopsp. = 3 : 2 (Kantenlange zu Hohe)
Cheprenp.. = 4 : 3 (Basisbreite : Höhe)
Cheprenp. = 5 : 4 (Böschungslange : Hohe)
Mykerinosp. = 5 : 4 (Hohe : 1/2 Basislange bei B = 105,5 m)

Der zugrundeliegende Proportionsreigen ergibt sich fundamentalarithmetisch:
1 : 0; 2 : 1; 3 : 2; 4 : 3; 5 : 4 usw. usf.
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QUELLEN / SOURCES:
INTERNETQUELLEN:
(keine Haftung für Internetadressen und deren sämntliche, - ggf. auch versteckte inhalte. Internetadressen stellen ausdrücklich keine Linkiempfehlungen dar sondern Quellenangaben zu zitierten Quellen)

Graefe, Erhardt / https://www.uni-muenster.de/imperia/md/ ... _v/pyr.pdf
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 13.08.2024; 10:54
Universität Münster; Onlinepublikationen
Hauptseite: https://www.uni-muenster.de/IAEK/forsch ... ionen.html
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 13.08.2024; 10:51
Institut für Ägyptologioe und Kopotologie

BÜCHER:
Goyon, G.: Die Cheopspyramide - Geheimnis und Geschichte; Weltbildverlag, Augsburg, 1990; S. 138

(weitere folgen in Kürze / more sources will follow asap)
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[DISCLAIMER: Despite careful checking, errors are possible. Any use of the information published here is at your own risk and free from any liability on the part of the author.]

[ENGLISH:]
Measuring the Great Pyramid of Cheops with simple techniques?
Was the structure of the Great Pyramid of Giza determined in terms of its main proportions (base lengths, edge lengths, heights, layer heights) using a simple measuring method with strings? I think this is obvious and even probable.
The special thing about the simple measuring variant, which will be discussed later, is that various required measuring steps can be completed in one step and the variant creates a connection to the so-called 12-knotted cord, which can be stretched to form a right angle with the line proportions 3:4:5 (summary triple or, today, usually so-called primitive Pythagorean triple).
With a simple measuring trick, which interestingly can be associated with the so-called 12-knotted cord, which was probably more commonly used for measurements in antiquity, the proportions of the Great Pyramid of Giza on the plateau can be imitated or sufficiently approximated. Other methods that differ in detail are also possible and are also simple. What all methods have in common is that no calculations are required.
The measuring method demonstrated here in the model test requires an exact base area outline at a right angle. In addition, the base lengths or construction section widths to be measured must be determined and outlined beforehand (I will explain briefly soon why this is not a contradiction...). Now a 12-knot cord is stopped exactly at a right angle with the center mark (this is a strap, cord or rope with 12 knots on each side of a measuring tool that create 12 equal-length sections, the 7th knot or the 7th marking from each end of a measuring tool). The two end knots (nodes or markings on each side) are now stopped on the width marking previously made on the base area outline. If the measuring tool made of strap, cord or rope is now tightened so that symmetrical triangular figures are created on each side of the held central node, the resulting edge situation of a pyramid structure can be measured exactly. To do this, the triangular figures resulting on each side of the right angle are brought together in a tightened state. The pyramid edge to be measured is located at the points at which both triangular figures meet at the edge. In order to tighten the resulting triangular figures exactly, the 4th node (counted from the respective end of a measuring tool) is grabbed on each side of the central node held by the right angle in order to stretch the triangular figures. In the manner described, individual stone block layers can be measured exactly and relevant points for the pyramid construction can be determined in a single measuring step. This measuring technique can also be carried out practically over larger sections of the building (across several directly consecutive stone block layers). This measuring method would be ideally carried out in the reconstruction with 3 people.
(for mathematical proof, see the respective video descriptions of previous articles on the topic).
Another simple measuring variant is to determine the respective layer height of stone blocks. The layer height is measured using a strap, cord or thin rope, for example. The measured measuring height is then halved by folding the measuring tool together: this results in two measuring sections of 1/2 each. A third section with a length of 1/2 is added to these by simply adding measuring material (strap, cord, rope). If an edge length of 3 * 1/2 sections is determined in relation to the previously measured height as the edge length to be measured for each building section (each layer height) (by appropriately positioning or working on a respective cornerstone block of a layer height), proportions are automatically created that adequately correspond to those of the Cheops pyramid. Because only very vague assumptions have been made about the actual original proportions of the Cheops pyramid to date, I consider the procedure mentioned to be the most obvious (according to Ockham). The potential measurement of the Cheops pyramid using the edge lengths has affinities with Graefe's theory of measuring a pyramid structure using the edge, but differs in detail from Graefe's theory of measuring with 1:1 distances [diagonal length to height). This would mean that the originally planned proportions of the Cheops pyramid would be located at the arithmetically very easy to find proportion 3 : 2 or 1.5 : 1.
The basic simplicity of this proportion (3/3 : 2/3) is another argument according to Ockham for my assumption that the ancient Egyptians did not necessarily need a more complex measurement system with an underlying measurement system ("cubit"; 7-division of the cubit etc.).
According to this theory, the proportions of the Cheops pyramid could not be related to the so-called "golden ratio" at all (in any way that is necessarily assumed): for the ancient Egyptians, knowledge of the "golden ratio" proportion (~1.618... : 0.618...) would therefore not have been necessary at all in order to measure the Cheops pyramid.
Arithmetic connections:
The proportions of the 3 Great Pyramids on the Giza Plateau are arithmetically interesting with regard to the relationships described, because all three pyramids (Cheops, Chepren, Menkaure pyramids) refer to the basic, successive and easily discovered arithmetic basic relationships (here as proportions or . fractions) can be traced back:

(easy to implement using measurement technology):
Cheopsp. = 3 : 2 (edge ​​length too high)
Cheprenp.. = 4 : 3 (base width : height)
Cheprenp. = 5: 4 (embankment length: height)
Mykerinosp. = 5: 4 (height: 1/2 base length at B = 105.5 m)

The underlying series of proportions results from fundamental arithmetic:
1:0; 2:1; 3:2; 4:3; 5:4 etc. etc.
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[Sculpteur]

Einmessung der Mykerinospyramide nach gleicher oben erläuterter Methode(?)/
Measurement of the Pyramid of Menkaure using the same method explained above(?)

Basierend auf den Vermessungsergebnissen von Flinders auf dem Plateau von Giseh, die er im Jahre 1883 veröffentlichte, kann das oben beschriebene Einmessungsprinzip das sich auf die Cheopspyramide auf dem Plateau von Giseh anwenden lässt, theoretisch ebenfalls auf die Mykerinospyramide angewendet werden, denn die durschnittliche Neigung der Mykerinospyramide hat Flinders mit 51º 0' ± 10' angenommen:
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Based on Flinders' survey results on the Giza Plateau, which he published in 1883, the measuring principle described above, which can be applied to the Great Pyramid on the Giza Plateau, can theoretically also be applied to the Menkaure Pyramid, because the average inclination of the Pyramid of Menkaure has assumed Flinders with 51º 0' ± 10':

[ZITAT / QUOTE FLINDERS:]
81. For the angle of the Pyramid, the data are rather divergent and not only do different methods vary in result, but the measures of similar stones vary far beyond the errors of measuring the angle or judging of the surfaces.
By 7 measures on finished granite, in situ. 50º 57' ± 28"
By 1st and 4th courses, in situ. at S.S.W. 50º 42' ± 07"
By 6 single blocks of granite, shifted 51º 00' ± 09"
By 9 pieces of limestone casing (brought to England) 51º 58' ± 15"
Considering the various sources of error : that the dressed granite in situ. is very irregular; that the 1st course joint at S.S.W. may easily be estimated too far out; and that we have no guarantee in the moved granite blocks, or the limestone from the upper part, that the courses were horizontal (on the contrary, one granite block has two different joint surfaces, 1º 40' different); the best conclusion seems to be 51º 0' ± 10'. But from a consideration of the granite courses (see below), the angle would be 51º 10' 30" ± 1' 20"; and this might well be adopted, as being close to the very uncertain result from the measured angles.
Hence the height of the Pyramid would have been 2564 ± 15; or 2580.8 ± 2.0 by the granite courses.
[ZITAT ENDE / QUOTE END]

Zu diesem Schluss komme ich weil Flinders zum Neigungswinkel der Cheopspyramide berichtet:
I come to this conclusion because Flinders reports on the angle of inclination of the Great Pyramid:
[ZITAT / QUOTE FLINDERS:]
24. To obtain the original height of the Pyramid, we must depend on the observations of its angle. For this there are several data, as follows; the method by which the passage and air channels determine it being explained in detail further on, when the internal parts are discussed:—
(...)
N. face, weighted mean 51º 50' 40" 1' 5"
S. face by air channel mouth 51º 57' 30" 20"
(...)
In assigning the weights to these different data, the reason that no weight is given to the angles of shifted casing stones is that there is no proof that the courses did not dip inwards somewhat; on the contrary, I continually observed that the courses of the core had dips of as much as ½º to 1º so that it is not at all certain that the courses of the casing were truly level to 5' or 10', and occasional specimens showed angles up to 54º. The angle by means of the large steel square was vitiated by the concretion on the faces of the stones being thicker below than above, .1 inch of difference making an error of 6'. The small goniometer was applied to the clear patches of the stone, selected in nine different parts. These three casing stones in situ have not as much weight assigned to them as they would otherwise have, owing to their irregularities. One of them is 0.9 in front of the other at the top, though flush at the base –a difference of 4'. The datum from the air channel, though far more accurate than that by the passage mouth (being on a longer length), is not so certainly intentional, and is therefore not worth as much. (See sections 32 and 33 for [p. 43] details.) From all these considerations the above weighting was adopted. It is clear that the South face should not be included with the North, in taking the mean, as we have no guarantee that the Pyramid was equiangular, and vertical in its axis.
[ZITAT ENDE / QUOTE END]

Nun könnte viel hin- und hergerechnet und viel argumentiert werden, dass geringfügige Winkelabweichungen zu abweichenden Abmessungen von Pyramiden führen können. Das ist richtig. Da wir heute bisher jedoch keinerlei konkrete Kenntnis über die Einmessverfahren der alten Ägypter für Pyramiden besitzen und die Höhenverbauungen der genannten Pyramiden nach Flinders auffällig starke Abweichungen aufweisen, könnten Aufsummmierungen von Einmessungsfehlern in Bauvorhaben also gar nicht konkret an bestimmte Pyramidenabmessungen und deren nachvollziehende Berechenbarkeit adressiert werden (es existieren zuviele miteinander zu vermakelnde Parameter).
Deshalb muss gelten - so meine Aussage - dass das naheliegendste Prinzip der Einmessung bei ungefähr gleichen Neigungswinkeln zweier unfgefähr bauzeitgleicher Pyramiden auf dem Plateau von Giseh nach Ockham mit ein und demselben Einmessungsverfahren eher in Verbindung gebracht werden sollten, als mit voneinander abweichenden Proportionierungstechniken für die Cheops- und die Mykerinospyramide: der wesentliche Vorteil der hier vorgestellten Einmessmöglichkeit für beide Pyramiden soll dabei an dieser Stelle noch einmal hervorgehoben werden: für die vorgestellte Einmessmethode ist theoretisch und praktisch KEINERLEI Rechenarbeit notwendig (siehe Beiträge weiter oben); die Einmessung einer jeweiligen Blockschicht / Baustufe im Verkleidungsbereich der genannten Pyramiden hätte nach meiner Theorie z.B. jeweils mit einfachen Schnüren bzw. dünnen Seilen erfolgen können.
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Now there could be a lot of back and forth calculations and a lot of argument that slight angular deviations can lead to different dimensions of pyramids. That's right. However, since we currently have no concrete knowledge of the ancient Egyptians' measurement procedures for pyramids and the height constructions of the pyramids mentioned according to Flinders show noticeably large deviations, summations of measurement errors in construction projects could not be specifically addressed to specific pyramid dimensions and their comprehensible calculability ( there are too many parameters to be confused with each other).
Therefore - according to me - the most obvious principle of measuring at approximately the same inclination angles of two pyramids of approximately the same construction period on the plateau from Giza to Ockham should be associated with one and the same measuring method rather than with different proportioning techniques for the Cheops and the Pyramid of Menkaure: the main advantage of the measurement option presented here for both pyramids should be emphasized again at this point: for the one presented Theoretically and practically, the measurement method does not require ANY calculation work (see posts above); According to my theory, the measurement of a respective block layer / construction level in the cladding area of ​​the pyramids mentioned could have been done, for example, with simple cords or thin ropes.

NACHTRAG [11.11.24] zu Proportionen altägyptischer Pyramiden im Allgemeinen:
Proportionen und die Grundlagen der Entstehung von Proportionen im Abgleich mit basaler Arithmetik spielen im Hinblick auf das bessere Verständnis der Abmessungen altägyptischer Pyramiden eine große Rolle. Hierbei sollte auch berücksichtigt werden, dass es sinnvoll ist, verwendete Grundmaße und deren Eigenschaften arithmetisch so miteinander zu vermakeln und resultierend daraus grundeinzuteilen, dass BErechnungen von z.B. Pyramidenbaukörpern damit sehr simpel möglich werden.
Aus der Bruchrechnung ist diese Vorgehensweise bekannt: passen zwei Werte nicht gut zusammen um einfach mit diesen zu rechnen, wird durch kombiniertes vervielfachen vermakelt: die neu gewonnenen Grundeinheit vereinfacht Berechnungemn sodann enorm.

Beispiel Cheprenpyramide:
durch einfache Berechnungen lässt sich herausfinden dass das Verhältnis Kantenlänge zu Bösdchungslänge der Cheprenpyramide im ungefähren Proportionsverhältnis 7 : 6 steht. Für eine einfache Einmessung der Pyramide wäre dieser Wissenszusammenhang von großem Vorteil gewesen. Die Werte verhalten sich - wie in Berechnungen nachvollzogen werden kann - relativ "sperrig" wenn auch eine Bezugnahme auf die anderen Abmessungen der Cheprenpyramide vorgenommen werden soll.
Werden zunächst die Werte 6 und 7 miteinander vermakelt, ergibt sich daraus eine simple und gut funktionierende Möglichkeit, auch die restlichen Abmessungswerte der Cheprenpyramide schlüssig in Relation zu setzen:
(-gemeinsamen Nenner finden-)
Ein möglicher gemeinsame Nenner findet sich mit ein wneig vermakelndem Suchen interessanterweise beim Zahlenwert 35 mit einem daraus resultierenden Bezug zur 5/4 Elle, denn:

(24/4)*3 = 6*3 = 18 Einheiten Basislängenhälfte Cheprenpyramide
(30/5)*4 = 6*4 = 24 Einheiten Höhe
(35/7)*6 = 5*6 = 30 Einheiten Böschungslänge
35 Einheiten = Kantenlänge Cheprenpyramide

Kantenlänge = 35
Böschungslänge = 30
Höhe = 24
Basishälftenlänge =18

Auf Grundlage dieses Gesamtzusammenhangs wäre es für einen altägyptischen Baumeister ein leichtes gewesen, für ein entstehendes Pyramidenbauwerk nach den Proportionen der Cheprenpyramide eine Liste mit Kontrollmesswerten für markante Kontrollmesspunkte zu erstellen, z.B. (im Übrigen eine Zahlenreihe, die man sich recht gut merken kann: 18, 24, 30, 35):

[Faktor] ; [Basislängenhälfte] ; [Höhe] ; [Böschungslänge] ; [Kantenlänge]
(- einfache rechnerische Vervielfachung; einmnessbar in verschiedensten Grundmaßeinheiten wie Fingerbreiten,. Handbreiten. Ellen etc. -]
[1] ; [18] ; [24] ; [30] ; [35]
[2] ; [36] ; [48] ; [60] ; [70]
[3] ; [54] ; [72] ; [90] ; [105]
[4] ; [72] ; [96] ; [120] ; [140]
[5] ; [90] ; [120] ; [150] ; [175]
[6] ; [108] ; [144] ; [180] ; [210]
[7] ; [126] ; [168] ; [210] ; [245]
usw. usf.

Das Betrachten solcher grundlegenden arithmetischen Proportionen bei der Analyse altägyptischer Pyramiden im Abgleich mit den Möglichkeiten der manuellen Vermessungstechniken mit einfachsten Mitteln und Methodne ist alsd sinnvoller zu erachten als das übertrieben exakte Verrechnen und Vermakeln von Pyramidenabmessungswerten in z.B. Meter und Inch.
Bei einer grundlegenden Betrachtung der Proportionen einer z.B. altägyptischen Pyramide spielt die konkrete Länge eines ursprünglich verwendeten Grundmaßes zunächst eine nur untergeordnete Rolle.

Interessant in diesem Zusammenhang ist, was Roik schreibt, denn für das alte Ägypten existieren demnach Nachweise für eine 6-teilige "kleine" Elle:

[ZITAT ROIK:]
Abgesehen von einer 6-teiligen kleinen Elle, die mit 45 cm (6/7 der königlichen Elle) lange als 2. Längenmaß galt, ist keine Gebrauchselle mit entsprechender Feinunterteilung bekannt.
[ZITAT ENDE] [ROIK, S. 8]

Mit dem Wissen über die grundlegenden (messtechnisch annähernden, jedoch bautechnisch potenziell genügenden) Proportionszusammenhänge der Pyramide des "Typs Chepren" (Hauptquerschnittsproportion 3 : 4 : 5) wäre es einem altägyptischen Baumeister also auf simple Art und Weise möglich gewesen, eine Liste mit Maßwerten für Steinblöcke anzufertigen, wie sie z.B. an Steinbruchvorarbeitende und Steingewinnungsexpeditionen leitende hätte weitergegeben werden können:

(fiktives Beispiel:)

Pyramide: "Khaefre"
Steinliste: Zu gewinnen sind Steinblöcke mit folgenden Höhen, wenn möglich. Abweichungen sind zu vermeiden

[HÖHE] ; [passt zu BÖSCHUNGSLÄNGE] ; [ergibt KANTENLÄNGE] ; [erzeugt "RÜCKSPRUNG"] (sämtliche Angaben in "Fingerbreiten")
H = Höhe; B = Böschungslänge; Kantenlänge; Rücksprung
(ausgehend von der hier angenommenen kleinsten EInheit "Fingerbreite", die sich mit entsprechender Formelstellung simpel umrechnen ließe auf "Handbreiten" und "Ellen" .
Mit der gewählten kleinsten Einheit "1/8 Fingerbreite" (nach Lepsius nachweisbar) wäre dabei eine effektive Zuordnung zu Gegebenheiten in Steinbrüchen gewährleistet gewesen (mögliche abbaubare Steinblockschichthöhen).
[H] ; [B] ; [K] ; [R]
[24*1/8] ; [30*1/8] ; [42(1/8)] ; [18*1/8]
[48*1/8] ; [60*1/8] ; [84(1/8)] ; [36*1/8]
[96*1/8] ; [120*1/8] ; [168(1/8)] ; [72*1/8]

usw. usf.

Eine vereinfachte Einmessung von altägyptischen Pyramiden nach dem Brauprinzip der Cheprnpyramide wäre demnach auch möglich gewesen mit folgender "Einmessungsliste" bei Anwendung der abgelichenden Einmessung über Böschungslängen und Kantenlängen jeweiliger Bauabschnitte (siehe Zitat ROIK):
(hier beispielhaft gewählte kleinste Maßeinheit 1/4-Elle; feinschrittigere Einteilungen sind möglich)

[Kantenlänge] ; [Böschungslänge]
[7/7-Elle] ; [6/7-Elle]
[1/4] ; [1/4]
[1/2] ; [1/2]
[3/4] ; [3/4]
[4/4] ; [4/4]
[5/4] ; [5/4]
[6/4] ; 6/4]
usw. usf.
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APPENDIX [11.11.24] on the proportions of ancient Egyptian pyramids in general:
Proportions and the basics of how proportions are created in comparison with basic arithmetic play a major role in better understanding the dimensions of ancient Egyptian pyramids. It should also be taken into account that it is sensible to arithmetically combine the basic dimensions used and their properties and to divide them into basic units in such a way that calculations of, for example, pyramid structures are very simple.
This procedure is known from fractional arithmetic: if two values ​​do not fit together well in order to be able to calculate with them, they are combined and combined to combine them: the newly obtained basic unit then simplifies calculations enormously.

Example of the Chephren pyramid:
simple calculations show that the ratio of edge length to slope length of the Chephren pyramid is approximately 7:6. This knowledge would have been of great benefit for a simple measurement of the pyramid. The values ​​are - as can be seen in calculations - relatively "cumbersome" when reference is also made to the other dimensions of the Chephren pyramid. If the values ​​6 and 7 are first combined, this results in a simple and well-functioning way of putting the remaining dimensions of the Chephren pyramid into a coherent relationship:
(-find a common denominator-)
Interestingly, with a little searching, a possible common denominator can be found in the numerical value 35 with a resulting reference to the 5/4 cubit, because:

(24/4)*3 = 6*3 = 18 units of the base half of the Chephren pyramid

(30/5)*4 = 6*4 = 24 units of height

(35/7)*6 = 5*6 = 30 units of slope length

35 units = edge length of the Chephren pyramid

Edge length = 35
Slope length = 30
Height = 24
Base half length = 18

Based on this overall context, it would be a It would have been easy to create a list of control measurement values ​​for prominent control measurement points for a pyramid structure under construction based on the proportions of the Chephren pyramid, e.g. (incidentally, a series of numbers that is quite easy to remember: 18, 24, 30, 35):

[Factor] ; [Half of base length] ; [Height] ; [Slope length] ; [Edge length]
(- simple mathematical multiplication; measurable in various basic units of measurement such as finger widths, hand widths, cubits etc. -]
[1] ; [18] ; [24] ; [30] ; [35]
[2] ; [36] ; [48] ; [60] ; [70]
[3] ; [54] ; [72] ; [90] ; [105]
[4] ; [72] ; [96] ; [120] ; [140]
[5] ; [90] ; [120] ; [150] ; [175]
[6] ; [108] ; [144] ; [180] ; [210]
[7] ; [126] ; [168] ; [210] ; [245]
etc. etc.

Considering such basic arithmetic proportions when analyzing ancient Egyptian pyramids in comparison with the possibilities of manual measurement techniques using the simplest means and methods is considered to be more useful than the overly precise calculation and manipulation of pyramid dimension values ​​in, for example, meters and inches.

When fundamentally considering the proportions of, for example, an ancient Egyptian pyramid, the specific length of a basic measurement originally used initially plays only a subordinate role.

What Roik writes is interesting in this context, because there is evidence for a 6-part "small" cubit in ancient Egypt:

[QUOTE ROIK:]
Apart from a 6-part small cubit, which was long considered the second unit of length at 45 cm (6/7 of the royal cubit), no common cubit with the corresponding fine division is known.
[END OF QUOTE] [ROIK, p. 8]

With knowledge of the basic (measurably approximate, but potentially sufficient in terms of construction) proportions of the "Chepren type" pyramid (main cross-sectional proportion 3:4:5), it would have been possible for an ancient Egyptian master builder to create a list of dimensions for stone blocks in a simple way, which could have been passed on to quarry workers and those leading stone extraction expeditions:

(fictitious Example:)

Pyramid: "Khaefre"

Stone list: Stone blocks with the following heights are to be obtained, if possible. Deviations are to be avoided

[HEIGHT] ; [matches SLOPE LENGTH] ; [results in EDGE LENGTH] ; [produces "RECESS"] (all information in "finger widths")
H = height; B = slope length; edge length; Regression
(based on the smallest unit assumed here, "finger width", which could be easily converted to "hand widths" and "cubits" using the appropriate formula.
With the chosen smallest unit "1/8 finger width" (provable according to Lepsius), an effective assignment to conditions in quarries would have been guaranteed (possible quarry stone block layer heights).
[H] ; [B] ; [K] ; [R]
[24*1/8] ; [30*1/8] ; [42(1/8)] ; [18*1/8]
[48*1/8] ; [60*1/8] ; [84(1/8)] ; [36*1/8]
[96*1/8] ; [120*1/8] ; [168(1/8)] ; [72*1/8]

etc. etc.

A simplified measurement of ancient Egyptian pyramids according to the brewing principle of the Chephren pyramid would therefore also have been possible with the following "measurement list" when applying the calibrated measurement over slope lengths and edge lengths of the respective construction phases (see quote ROIK):
(here the smallest unit of measurement chosen as an example is 1/4 cubit; more detailed divisions are possible)

[edge length] ; [slope length]
[7/7 cubit] ; [6/7 cubit]
[1/4] ; [1/4]
[1/2] ; [1/2]
[3/4] ; [3/4]
[4/4] ; [4/4]
[5/4] ; [5/4]
[6/4] ; 6/4]
etc. etc.
- - -
[NACHTRAG 13.11.24:]
Bei Jánosi (Taschenbuchdeckel innen hinten) findet sich eine kompakte Übersicht über eine Auswahl altägyptischer Pyramiden, deren Bauzeit und zugehörige Regentschaft, sowie deren Abmessungen und Neigungswinkel.

Über angegebene Neigungswinkel für altägyptische Pyramiden lassen sich Schlussfolgerungen über potenzielle Vorgehensweisen bei der Planung und Einmessung von Pyramiden mit bestimmten Neigungswinkeln ableiten. So lässt sich etwa bei der Pyramide des Snofru (4. Dynastie) in Meidum bei Jánosi ein ungefährer Neigungswinkel der Pyramide ablesen, wie dieser auch bei der Cheopspyramide und der Mykerniospyramide abzulesen ist:

[Jánosi, 2004]:
(Abmessungsangaben in m = Metern)
[König] ; [Dynastie] ; [Ort] ; [Basis] ; [Höhe] ; [Neigungswinkel]
[Snofru] ; [4.] ; [Meidum] ; [144 x 144] ; [92] ; [51°50´33´´]
[Cheops] ; [4.] ; [Giza] ; [230,36 x 230,36] ; [146,6] ; [51°50´40´´]
[Mykerinos] ; [4.] ; [Giza] ; [104,6] x [104,6] ; [65,6] ; [51°20´25´´]
[Niuserre] ; [5.] ; [Abusir] ; [78,9 x 78,9] ; [51,68] ; [51°50´35´´]

Altägyptische Pyramiden mit dem ungefähren Neigungswinkel ~51°50´ könnten (nach Ockham) potenziell über die Grundproportion 3 : 2 (Kantenlänge zu Höhe) entworfen und in Bauabschnitten eingemessen worden sein (siehe zuvor beschriebene Vorgehensweisen).
[NACHTRAG ENDE]
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Jánosi (paperback cover inside back) provides a compact overview of a selection of ancient Egyptian pyramids, their construction period and associated reign, as well as their dimensions and angle of inclination.

The angle of inclination given for ancient Egyptian pyramids can be used to draw conclusions about potential approaches to planning and measuring pyramids with specific angles of inclination. For example, for the pyramid of Snofru (4th Dynasty) in Meidum, Jánosi provides an approximate angle of inclination of the pyramid, as can also be seen for the Cheops pyramid and the Mykernios pyramid:

[Jánosi, 2004]:
(Dimensions in m = meters)
[King] ; [Dynasty] ; [Location] ; [Base] ; [Height] ; [Angle of inclination]
[Snofru] ; [4th] ; [Meidum] ; [144x144] ; [92] ; [51°50´33´´] [Cheops] ; [4.] ; [Giza] ; [230.36 x 230.36] ; [146.6] ; [51°50´40´´] [Menkerinos] ; [4.] ; [Giza] ; [104.6] x [104.6] ; [65.6] ; [51°20´25´´] [Niuserre] ; [5.] ; [Abusir] ; [78.9x78.9] ; [51,68] ; [51°50´35´´]

Ancient Egyptian pyramids with an approximate inclination angle of ~51°50´ could (according to Ockham) potentially have been designed using the basic proportion 3:2 (edge ​​length to height) and measured in construction stages (see previously described procedures).


QUELLEN / SOURCES:
ONLINEQUELLEN / ONLINESOURCES:
Flinders: The Pyramids and Temples of Gizeh (als Ebook-Inhalt online:)
Hauptseite des Anbieters von Onlineinhalten: https://www.ronaldbirdsall.com
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Stand der verwendeten Informationen: (last revision) September 13, 2020

BÜCHER / books:
Jánosi, Peter: Die Pyramiden – Mythos und Archäologie; Verlag C.H. Beck, München, 2004

Roik, Elke: Das Längenmaßsystem im Alten Ägypten; Christian-Rosenkreuz-Verlag, Hamburg, 1993

[Sculpteur]

- Trotz sorgfältigster Prüfung keine Haftung für die folgenden Angaben! -

Für die altägyptische Pyramidenforschung (im Hinblick auf Bauweisen) ist es sinnvoll, sich von den Vorgaben für Abmessungen in Standardwerken weitgehend zu lösen: viele altägyptische Pyramiden weisen einen Erhaltungszustand auf, der Schlussfolgerungen aufgrund des schlechten Erhaltungszustands von Bausubstanz nicht ermöglicht. Die verlässlichste Methode ist es auch m.E. sich bei Analysen von Pyramiden auf ermittelte Neigungswinkel im Abgleich mit arithmetischen Grundlagen zu fokussieren: mittels des bei Janosi angegebenen ermittelten Neigungswinkels der Pyramide des Amenemhet I. (Lischt, 12. DYN.) [Janosi, 2003, hinterer innerer Taschenbuchdeckel] lässt sich sehr vermutlich die folgende Einmessungsweise der alten Ägypter ablesen:
ein rechtwinkliges Dreieck von b : a = 14 : 10 ergibt einen Neigungswinkel (Böschungswinkel) von 54,462°.
Bei Janosi ist der Neigungswinkel der Pyramide des Amenemhet I. mit 54°27´44´´ angegeben.
Die Proportion 14 : 10 ist dabei aus zwei Gründen besonders interessant: sie gibt das Proportionsverhältnis 14 : 10 wieder, das die alten Ägypter unseres Wissens als Näherungslösung für die Quadratfigurkonstruktion und -berechnung verwendet haben (umgerechnet 1,4 als Näherungslösung für die Quadratwurzel aus 2 mit 1,4142...) [Robins&Shute, Quellennachweis folgt noch].
Ein weiteres gewichtiges Argument ist das folgende: 10 + 14 ergibt 24, 24/2 ist 12.
Die Quadratfigurkonstruktion (und -berechnung) der alten Ägypter lässt sich also potenziell auf die sog. "12-Knotenschnur" der Antike zurückführen (Quellennachweise folgen in Kürze): Mit einer 12-Knotenschnur bei Einteilung in 1/2 Teilstrecken ist es also möglich, die Proportion 14/10 - wie sie ander Pyramide des Amenemhet I. potenziell rechnerisch auszumachen ist - (also mit einer 12-Knotenschnur bei 24er Einteilung (12 Teilstrecken von 1/2 Grundeinheit) sehr einfach zu erzeugen. Der Pyramide des Amenemhet I. würde damit nach der hier vorgestellten Theorie eine ganz simple Planungsgrundlage zugrunde liegen (wie sie Graefe postuliert): eine Pyramidenkonstruktion von 5 Einheiten halber Basisbreite zu 7 Einheiten Höhe ergibt in der Böschung einen Neigungswinkel von 54,462°. Liegt ein gevierteltes Basisquadrat von 5 Einheiten Grundseitenlänge an, folgt daraus "nach altägyptischer Rechenweise" eine Quadratdiagonale des Viertels eine Diagonalenlänge von 1 * 1,4 = 1,4 Einheiten (oder auch 10 * 1,4 = 14 Einheiten). Daraus resultiert, dass sich die Pyramide des Amenemhet I. vvermutlich zu 100% Prozent auf Graefes Theorie der Einmessung über die Kante eines Pyramidenbauwerks für die alten Ägypter berwerkstelligt haben könnte, weil aus den vorgenannten Berechnungen (als Näherungen über die Kante des Pyramidenbauwerks) eine Einmessung von 1 Einheit Diagonalänge zu 1 Einheit verbauter Höhe resultieren würde: die "angenäherte" jedoch rechnerisch nicht korrekte Pyramide hätte einmesstechnisch also demnach die Abmessungen von 14 Einheiten Diagonallänge eines Viertelquadrats der Basis zu 14 Einheiten Höhe betragen.
Der spielerische Umgang mit einer Messschnur würde also diese interessante Pyramidenproportion potenziel früher oder später ergeben weil sie sich einfach extrtem simpel einmessen ließe.
Bautechnisch wäre dies ganz einfach zu bewerkstelligen: gemessen jeweils über die Kante würde für jede verbaute Höheneinheit ebenso weit eingerückt in Kantenfluchtung eines Pyramidenbauwerks.
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Altägyptische Pyramiden mit Neigungswinkel von etwas mehr als 56°:
Auf Grundlage der bisher erfolgten Argumentationen in diesem Thema lässt sich das simple Prinzip der Einmessung einer Pyramidenform (ausgehend von einer "echten", also "geometrischen" Pyramide) mit der Proportion 3 : 2 bzw. 2 : 3 - wie sie auf die Cheopspyramide bei Einmessung über die Kante [vom Grundsatze her adaptiert nach Graefe, jedoch erweitert in Bezug auf Proportionen] potenziell hatte erfolgen können - auch auf Pyramiden des Typs mit einem Neigungswinkel (Böschungsneigung) von etwas mehr als 56° anwenden: hier werden wir bei [Janosi, 2003] - dabei zunächste einmal unabhängig von der Frage nach der grundlegenden Bauform - fündig mit der Pyramide des Unas (Saqqara, 5. Dyn.) sowie der Pyramide des Sesostris III. (Dahschur, 12. Dyn.) fündig: Beide Pyramiden werden bei Janosi mit einem Neigungswinkel von etwas mehr als 56° angegeben:
[nach Janosi, 2003:]
Unas = 56°18´35´´
Sesostris II.: 56°18´35´´
(weshalb sich beide Gradangaben gleichen, ist bei Janosi zunächst einmal nicht ohne weiteres balesbar und wirkt damit wie bereits durchgerechnete und mathematisch geschönte Angaben, die ein bestimmts geometrisches Grundmodell bereits voraussetzten. unabhängig davon gilt jedoch:)
Wird eine Pyramidenform (Hier: g"geometrische Pyramide") mit einem Proportionsverhältnis von 2 EInheiten Höhe zu 3 Einheiten halbierter Basislänge vorausgesetzt, resultiert daraus ein einmessbarer Rücksprung von jeweils 3 Einheiten Basisstrecke zu jeweils 2 Einheiten Höhe. Diese Art einzumessen wäre recht simpel, denn auch diese Art der Einmessung käme ohne jegliche Rechenarbeit aus: nach Ermittlung der Höhe einer jeweils verbauten aufgelagerten Schicht bzw, eines vermessungstechnisch erfassten Bauabschnitts würde die durch Vermessung ermittelte jewelige Höhe einfach halbiert, woraufhin den rsultierenden 2 * 1/2 Strecken einfach eine 3te Strecke hinzugelegt werden würde. Dieses Verfahren der Einmessung wäre - wie bereits besprochen - (somit auch nach Ockham) äußerst simpel mit z.B. einer einfachen Messschnur oder einem dünnen Messeil zu bewerkstelligen und würde keinerlei komplizierteres Grundmaßsystem erforderlich machen. Die Abmessungsproportion 2 : 3 bzw. 3 : 2 lässt sich jedoch natürlich auch auf komplexere Maßsysteme anwenden: so wäre es z.B. denkbar, dass ein altägyptischer Baumeister (bei Bezugnahme auf das typische altägyptische Ellensystem) mit z.B. 14/21 bzw. 14/21 oder auch 28/42 Einheiten gerechnet haben könnte, um eine solche Pyramide einzumessen.

- Nachweisberechnungen folgen in Kürze -
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- Despite careful examination, no liability for the following information! -

For ancient Egyptian pyramid research (with regard to construction methods) it is sensible to largely deviate from the specifications for dimensions in standard works: many ancient Egyptian pyramids are in a state of preservation that does not allow conclusions to be drawn due to the poor state of preservation of the building fabric. In my opinion, the most reliable method when analyzing pyramids is to focus on determined angles of inclination in comparison with arithmetic principles: using the angle of inclination of the pyramid of Amenemhet I (Lischt, 12th DYN.) given by Janosi [Janosi, 2003, back inner paperback cover], it is very likely that the following method of measurement used by the ancient Egyptians can be read off:
a right-angled triangle of b : a = 14 : 10 results in an angle of inclination (slope angle) of 54.462°.
Janosi gives the angle of inclination of the pyramid of Amenemhet I as 54°27´44´´.
The proportion 14:10 is particularly interesting for two reasons: it reflects the proportion ratio 14:10 that the ancient Egyptians, as far as we know, used as an approximate solution for the square figure construction and calculation (converted to 1.4 as an approximate solution for the square root of 2 with 1.4142...) [Robins&Shute, source reference follows].
Another important argument is the following: 10 + 14 equals 24, 24/2 is 12.
The square figure construction (and calculation) of the ancient Egyptians can therefore potentially be traced back to the so-called "12-knot cord" of antiquity (source references will follow shortly): With a 12-knot cord divided into 1/2 sections, it is therefore possible to very easily create the proportion 14/10 - as can potentially be calculated on the pyramid of Amenemhet I - (i.e. with a 12-knot cord divided into 24 (12 sections of 1/2 base unit). According to the theory presented here, the pyramid of Amenemhet I would therefore be based on a very simple planning basis (as postulated by Graefe): a pyramid construction of 5 units half base width to 7 units height results in an angle of inclination of 54.462°. If a quartered base square of 5 units base side length is present, then "according to ancient Egyptian calculations" a square diagonal of the quarter has a diagonal length of 1 * 1.4 = 1.4 units (or 10 * 1.4 = 14 units). This means that the pyramid of Amenemhet I could probably have been built 100% based on Graefe's theory of measuring over the edge of a pyramid structure for the ancient Egyptians, because the aforementioned calculations (as approximations over the edge of the pyramid structure) would result in a measurement of 1 unit diagonal length to 1 unit built height: the "approximate" but mathematically incorrect pyramid would therefore have had the dimensions of 14 units diagonal length of a quarter square of the base to 14 units height.
The playful use of a measuring cord would potentially result in this interesting pyramid proportion sooner or later because it would be extremely easy to measure.
In terms of construction, this would be very easy to achieve: measured over the edge, each built-up height unit would be indented just as far into the edge alignment of a pyramid structure.

Ancient Egyptian pyramids with an angle of inclination of slightly more than 56°:
On the basis of the arguments made so far on this topic, the simple principle of measuring a pyramid shape (starting from a "real", i.e. "geometric" pyramid) with the proportion 3:2 or 2:3 - as could potentially have been done on the Cheops pyramid when measuring over the edge [adapted in principle from Graefe, but expanded in terms of proportions] - can also be applied to pyramids of the type with an angle of inclination (slope inclination) of slightly more than 56°: here we find in [Janosi, 2003] - initially independent of the question of the basic structural shape - with the pyramid of Unas (Saqqara, 5th Dynasty) and the pyramid of Sesostris III. (Dahschur, 12th Dynasty) found something: Both pyramids are given by Janosi with an angle of inclination of slightly more than 56°:
[according to Janosi, 2003:]
Unas = 56°18´35´´
Sesostris II.: 56°18´35´´
(why both degrees are the same is not immediately clear from Janosi and thus seems like already calculated and mathematically embellished information that already presupposes a certain basic geometric model. Regardless of this, however, the following applies:)
If a pyramid shape (here: g"geometric pyramid") with a proportional ratio of 2 units height to 3 units halved base length is assumed, this results in a measurable setback of 3 units base length to 2 units height. This method of measuring would be quite simple, because this method of measuring would also not require any calculations: after determining the height of a layer of material being built on top of the building or a construction section recorded by surveying, the respective height determined by surveying would simply be halved, after which a third distance would simply be added to the resulting 2 * 1/2 distances. This method of measuring would - as already discussed - (and therefore also according to Ockham) be extremely simple to accomplish with, for example, a simple measuring cord or a thin measuring rope and would not require any more complicated basic measurement system. However, the dimensional proportion 2:3 or 3:2 can of course also be applied to more complex measurement systems: for example, it is conceivable that an ancient Egyptian architect (when referring to the typical ancient Egyptian cubit system) could have calculated with e.g. 14/21 or 14/21 or even 28/42 units to measure such a pyramid.

- Proof calculations will follow shortly -