Bildwerksanalyse historischer Kunstwerke

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Bildwerksanalyse historischer Kunstwerke

Beitragvon Sculpteur » 07.08.2023 06:44

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me. Vinzenz Maria Hoppe, 2023

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Die eigentlich eher der Kunsthistorik zugeordnete Erforschung von Bildwerken spricht auch stark experimentalarchäologische Fragestellungen (z.B. verwendete Techniken und Werkzeuge zur Herstellung von Bildwerken, angewendeter Stil und gesamtkompositorischer Aufbau uva. an). Damit kann die experimentalarchäologische Auseinandersetzung mit historischen Bildwerken neue Erkenntnisse befördern, die wiederum Synergien z.B. für Weiterentwicklungen in anderen Bereichen wie z.B. der Kunsthistorik liefern können.
Die experimentalarchäologische Auseinandersetzung mit bildwerksgestaltenden historischen Kulturtechniken kann sich insgesamt auch einer reichen Fundgrube spätzeitlicher Resultate (z.B. im Mittelalter oder der Renaissance hergestellter Bildwerke) bedienen, um über die Erforschung z.B. solcher Bildwerke wierderum Rückschlüsse über die Anwendung weiter in der Menschheitsgeschichte zurückliegender Kulturtechniken und deren Entstehung zu gewinnen. Zu "gestalteten Bildwerken" können hier insgesamt z.B. die geometrische Kunst und Handwerkskunst der Steinmetzen des Mittelalters gezählt werden. Über die Auseiandersetzung z.B. mit den geometrisch-zeichnerischen Gestaltungstechniken ("Aufrisstechniken mit Zirkel und Richtscheit") etwa der Steinmetzen des Mittelalters (Epochen: Romanik u. Gotik) lassen sich dabei auch Affinitäten zu künstlerischen und kunsthandwerklichen Gestaltungstechniken im Allgemeinen ableiten. Diese Deckungsgleichheiten können damit als Analysegrundlage rückbesinnend auch auf eine Rekonstruktion historischer Entstehungs- und Entwicklungsbedingungen angewendet werden.

Beginnen möchte ich dieses m.E. sehr interessante und wichtige Thema mit einer Bildwerksanalyse eines in der oben genannten hinsicht ausagekräftigen Holzschnitts von Albrecht Dürer (d.J.): dieser Holzschnitt (so wie sicherlich noch andere Holzschnitte und andere Werke aus Dürers Werkstatt ist deshalb so aussagekräftig für eine Erforschung des Bildwerksaufbaus, weil es von einer relativ exakt geschnittenen Einrahmung umgeben ist, die Rückschlüsse auf von Dürer angewendete Konstruktions- und Kompositionstechniken zulässt.

Bildwerksanalyse (1):
Der Gesamtkompositorische Bildwerksaufbau von Albrecht Dürers (d.J.) ( 1471 - 1528) „Der Zeichner der Laute (1525):
Für den kompositorischen Aufbau des Bildwerks "Der Zeichner der Laute" (1525) von Albrecht Dürer (d.J.) kann mit relativ großer Wahrscheinlichkeit von einer Quadrat-Grundkonstruktion ausgegangen werden, die in ihrem oberen Bereich „gestutzt“ wurde (siehe noch hochzuladender Bildanhang).
D.H. die angenommene grundlegende Quadratkonstruktion als geometrische Konstruktionsvorlage für den geschnittenen und anschließend gedruckten rechteckigen Rahmen, der das Bildwerk umgibt wurde vermutlich ursprünglich so in kleinere, von der größeren Quadratfigur damit eingefasste Quadratsektoren aufgetteilt, dass die Konstruktion einer Rechteckfigur in einem Proportionsverhältnis möglich wurde, dass mit einer resultierenden Proportion von 7 Quadratgrundseitenlängen : 5 Quadratgrundseitenlängen (bzw. umgekehrt) einer praktikablen Näherungsproportion der Quadratwurzel aus 2 entspricht.


Hintergründe, Wissenswertes und Annahmen zur Proportion 7 : 5

Die Proportion 7 : 5 kann für proportionierende und geometrisch-zeichnerische Aufgaben eines Künstlers als gut alltagsgebräuchliche „Faustformel“ z.B. für die Quadratfigurkonstruktion sowie im allgemeinen für eine verwendbare Näherungslösung für den Proportionszusammenhang (Quadratzwurzel aus 2) : 1 verstanden werden. Näherungslösungen waren z.B. in Mittelalter im geometrischen Bereich durchaus üblich [b5: Minow, 1996]. Die ganzzahlige Proportion 7 : 5, bzw. 5 : 7 ist eine im Zahlenraum der natürlichen Zahlen [vgl. gwiki10] relativ leicht auszumachende Proportion, die sich in ihren Verfielfachungen nach spezifischem Schemata entwickelt:

5 : 7; 10 : 14; 15 : 21; 20 : 28 usw. usf.

Die Proportion 7 : 5 findet ihren direkten Bezug z.B. zu gefundenen altägyptischen Messstäben, auf die sich die naheliegende (jedoch nicht konkret nachweisbare) Verwendung dieser Proportion konkret anwenden lässt (bei einer Streckenkombination von 20 djeba zu 28 djaba, was einer Proportion von 5 : 7 entspräche; Djeba = "Finger", 1 Djeba = ~52,5/28 der alten ägyptischen Königselle (zur alten ägyptischen Königselle im Allgemeinen siehe [b3: Lepsius, 1865] und insbesondere die Anhangstafeln bei Lepsius).
Die Proportion 7 : 5 bzw. 5 : 7 ist auch deshalb eine hervorstechend interessante Proportion, weil sie sich mit einer in 12 gleichlange Teilstrecken aufgeteilten Messschnur (siehe „12-Knotenschnur") [vgl. a2: Gandz, 1930; gwiki6;17] auf Grundlage einer Quadratekonstruktion [vgl. gwiki13, gwiki14] mit einem ursprünglichen Seitenverhältnis von Grundmaßeinheiten von 7 : 7 anwenden lässt [vgl. gwiki2;6;13;14;17].
Mit einer 12-Knotenschnur lässt sich bekanntermaßen auch ein Rechter Winkel erzeugen bei Anwendung der ternären Schnurstreckenproportion 3 : 4 : 5 [vgl. a1: Gandz, 1930; b4: Maor, 2007, b5: Minow, 1996].
(im Folgenden wird der Einfachheit halber von „Schnüren“ gesprochen, obwohl auch z.B. Fäden und dünnere Seile für solche Messaufgaben natürlich in Frage kämen):

mögliche Proportionserzeugungen mit 12-Knotenschnur:
(hier ausschließlich ganzzahlige Proportionen)

als Strecken (hier Strecke a : a1):
1 : 5; 2 : 4; 3 : 3; 4 : 2; 5 : 1

als Strecken (hier Strecke a : a1):
11 : 1; 10 : 2; 9 : 3; 8 : 4, 7 : 5; 6 : 6; 5 : 7; 4 : 8; 3: 9; 2 : 10; 1 : 11

als zusammengeknotete Schnurschlaufe (Viereck-Aufspannung; hier Proportion a : b):
1 : 5; 2 : 4; 3 : 3; 4 : 2; 5 : 1

als zusammengeknotete Schnurschlaufe (Triangulation):
2 : 5 : 5; 4 : 4 : 4; 5 : 5 : 2


Historisches zur 12-Knotenschnur:

Es wird heute stellenweise angenommen, dass bereits die alten Ägypter 12-Knotenschnüre verwendeten, um damit geometrische Figuren zu Messzwecken aufzuspannen: die Meinungen hierzu sind jedoch durchaus geteilt [vgl. a2: Gandz, 1930; gwiki6;17].
Unwiderlegbar ist jedoch der konkrete Nutzen der 12-Knotenschnur um Proportionen zu erzeugen. Die Zwölf-Knotenschnur ist damit im Hinblick auf kleinere, manuell durchführbare Messaufgaben bei relativer Exaktheit der Vermessung auch heute ein bekanntes und gebräuchliches Messwerkzeug (bzw. mit der ternären Streckenproportion 3 : 4 : 5 Vorlage für z.B. Konstruktionen eines Rechten Winkels). Die im Vermessungsvorgang mit einer zur Schlaufe geknoteten 12-Knotenschnur mögliche Messungenauigkeit ist dabei – je nach Messaufgabe und Anwendungszweck – in den meisten Fällen ausreichend. Dies i.d.R. auch dann, wenn z.B. neben den Materialeigenschaften verwendeter Messchnüre (und z.B. Messeile) in der Konstruktion von Quadratfiguren generell noch die Abweichung zwischen dem mathematischen Wert der Quadratwurzel aus 2 [vgl. gwiki13;14] und dem Näherungswert 1,40; der aus der Anwendung einer Knotenschnur im Hinblick auf die Proportion 7 : 5 bzw. 5 : 7 (rechnerisch) resultiert; berücksichtigt werden muss.
Die rechnerische Abweichung zwischen der Quadratwurzel aus 2 und dem Näherungswert 1,40 beträgt:

Abweichung zwischen der Quadratwurzel aus 2 und dem Näherungswert 7 : 5 (Differenzermittlung):

Quadratwurzel aus 2 = 1,4142135624 (gerundet)
7 : 5 = 1,40

Differenz:
1,4142135624 – 1,4 = 0,0142135624 (gerundet)

prozentuale Abweichung:
1,4142135624 = 100%
1,40 = [1,40 : (1,4142135624 : 100)] %
1,40 = 98,9949493661 % (gerundet)

Das Seitenlängenverhältnis von ungefähr (Quadratwurzel aus 2) : 1 entspricht dem heutigen und sehr gebräuchlichen Papierformat DIN-A4 [vgl. gwiki12]. Damit lässt sich die Proportion 7 : 5 ebenfalls (annähernd) auf einen Bogen Papier im Format DIN A4 anwenden, weil:

~29,70 cm : 21,00 cm = 1,4142857143 (gerundet)

und:

~29,70 cm : 1,40 = 21,2142857143 cm (gerundet)

Die Fluchtpunkte in A. Dürers (d.J.) Holzschnitt „Der Zeichner der Laute (1525):

Bei dem Bildaufbau des Holzschnitts „Der Zeichner der Laute (1525)“ aus Dürer’s Werkstatt handelt es sich - wie offensichtlich ist - um eine perspektivische Konstruktion mit ursprünglich einem gewählten bzw. beabsichtigten solitären Fluchtpunkt: bis auf kleine (und bekannte Fehler [vgl. www1: Mißfeldt, www2: Riedelbauch] bei der perspektivischen Konstruktion richten sich in dem Bildwerk nahezu sämtliche hineinkonstruierbaren Fluchtlinien auf einen imaginären Fluchtpunkt aus, der mit dem Mittelpunkt der oben erläuterten in das Bildwerk hineinkonstruierbaren Quadratfigur relativ deckungsgleich ist. Im analysierten Bildwerk befindet sich der Fluchtpunkt auf Höhe der im Bildwerk dargestellten auf der rechten Seite in der Wand fixierten Ringöse, durch die der durch ein Gewicht am Fadenende dargestellte gespannte Faden geführt ist.
Die Ausrichtung der Fluchtpunktlinien und die Orientierung des solitären Fluchtpunkts im Bildwerk sind damit starke Indizien für die oben beschriebene angenommene ursprüngliche Gesamtkompositon des Bildwerks im besprochenen Seitenverhältnis von 7 : 5 resp. 5 : 7 (entspricht der Proportion 1,40 : 1).
Im Umkehrschluss kann deshalb gefolgert werden, dass Dürer den Mittelpunkt der hier angenommenen zuvor konstruierten Quadratfigur und die daraus resultierenden Konstruktionslinien (als Hilfslinien) bewusst für perspektivische Darstellung als Hauptfluchtpunkt im Zentrum der Quadratfigur nutzte, um den grundlegenden Bildwerksaufbau zu komponieren.
Zahlreiche Bildwerke der Renaissance – auch weitere Werke Dürers – lassen die Anwendung einer solchen Bildwerksgestaltung vermuten, was aus verschiedenen Gründen jedoch schwierig bis sehr schwierig (oder auch überhaupt nicht) nachzuweisen ist (siehe hierzu zahlreiche Holzschnitte Dürers): für Dürers Bildwerk „Der Zeichner der Laute“ kann z.B. auch nicht zweifelsfrei nachgewiesen werden ob Dürer etwa Zirkel und Richtscheit (bzw. Lineal) verwendet haben mag um die Grundgestaltung des Bildwerks vorzunehmen oder ob eher etwa auf eine Rasterkonstruktion mit Lineal und Reisschiene o.ä. zurückgegriffen wurde.

Gesamtabmessungen des Werks und daraus resultierende Schlussfolgerungen:
In seiner Veröffentlichung "Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit in Linien Ebenen und gantzen Corporen", 1 Ausg., gedruckt 1525 bei Hieronymus Andrae in Nürnberg, weitere Ausgaben 1533 und 1538 (Informationen direkt übernommen aus Abbildungsverzeichnis bei [b1: Berghaus-Verlag, 1981, 250] erschien auch Dürers Werk "Der Zeichner der Laute" (1525).
Die Abmessungen des Werks sind bei [b1: Berghaus-Verlag, 1981, 250] (ohne Jahreszahl) mit 13 x 18,2 cm festgelegt.
Aus Dürers Werk „Der Zeichner der Laute“ (1525) sind sehr exakte eindeutige Abmessungen für den ursprünglichen Entwurf, der auf den zu schneidenden Holzrohling als späteren Druckstock übertragen wurde, nicht zu ermitteln, denn verschiedene Faktoren machen dies unmöglich: wesentliche Faktoren sind dabei die Materialeigenschaften des für den Druckstock verwendeten Holzschnitts und des für den Druck verwendeten Papiers. Auch der Feuchtigkeitsgehalt der damals für die Herstellung des Holzdrucks verwendeten Druckfarbe könnte dabei theoretisch eine gewisse Rolle gespielt haben.
Ein weiterer Ungenauigkeitsfaktor liegt in der Abfotografie von verschiedenen Exemplaren von Dürers Holzschnitt (die für die Erstellung dieser Bildwerksanalyse als Grundlage dienten): auch beim Abfotografieren können – je nach verwendeter Kaeramoptik, je nach verwendetem Abfotografierwinkel und je nach für die Abfotografie gewähltem Abstand zwischen Kamera und Bildwerk beim Abfotografieren Verzerrungen der abfotografierten Vorlage entstehen [vgl. gwiki5;15].
Holz und Papier „arbeiten“, d.H. sie verformen sich – je nach Umgebungs-Luftfeuchte, je nach temporärer Holz- und Papierfeuchte und insgesamt in Abhängigkeit von verwendeten Holz- und Papiersorten (auch in z.B. viele Jahrhunderte später erfolgenden Lagerbedingungen) – mehr oder weniger geringfügig bis hin zu stark [vgl. gwiki7;8;9;11].
Somit wären selbst Untersuchungen am Original - z.B. eines Holzschnitts etwa aus der Renaissance – keine Grundlage für absolut exakte Rückschlüsse (im feinen Millimeterbereich) über ursprünglich für z.B. Konstruktion und Bildaufteilung eines historischen Bildwerks verwendete Grundmaße.
Über die Vermessung des analysierten Bildwerks (genauer: des im ursprünglichen Druckstock geschnittenen rechteckigen Rahmens, der das Bildwerk „Der Zeichner der Laute“ (1525) einfasst, sowie die im Bildwerk analysierbaren Fluchtungen von dargestellten Objekten) sind Schlussfolgerungen über die für die ursprüngliche Konstruktion des Bildwerks (Proportionierung und Gesamtbildwerksaufbau) verwendete Grundmaßeinheit möglich.
Allerdings lassen sich solche Schlussfolgerungen ausschließlich als Annäherungen (und damit als Annahmen, bzw. Interpretationen) formulieren.
Bei der Analyse von z.B. Kunstwerken im Hinblick auf die ursprüngliche Verwendung von historischen Grundmaßeinheiten können Differenzen von wenigen Millimetern durchaus eine Rolle spielen und zu falschen Schlüssen führen. Deshalb sind Mutmaßungen über für die Herstellung und Konzipierung von historischen Kunstwerken verwendeten Grundmaßen mit Vorsicht anzuwenden und eher als Annahmen, bzw. Vermutungen zu bezeichnen, sofern keine konkreten Überlieferungen zu solchen Fragestellungen vorliegen.
Über das kurze, in der Abfotografie von Dürers "Der Zeichner der Laute! (1525) aus der (C) Kunstsammlung der Georg-August-Universität Göttingen (Foto: Colin Reiss) mitabgebildete Lineal (siehe Bildanhang) lässt sich jedoch eine ungefähre Zuordnung zum potenziell für die ursprüngliche Konstruktion des Bildwerks verwendeten Grundmaßeinheit vornehmen, die hier als Vermutung formuliert werden muss:
Aus den der Abfotografie entnehmbaren Abmessungen resultiert, dass ein ursprünglich verwendetes Grundmaß von etwa 1/7 der Breite des Bildwerks und 1/5 der Höhe des Bildwerks – in Anlehnung an vorstehende Theorie – verwendet worden sein könnte, um das Bildwerk grundlegend zu gestalten und auch die Abmessungen des das Bildwerk umgebenden Rahmens damit festzulegen.
Da das Bildwerk mit der Abfotografie der Kunstsammlung der Georg-August-Universität Göttingen, Foto (Colin Reiss) anahnd von gerundeten Hochrechnungen die sich aus dem in der Abfotografie eingefügten Lineal ergeben, ebenfalls auf die ungefähren Abmessungen von Dürers Holzschnitt "Der Zeichner der Laute" (1525) von ~13 x ~18,2 cm (Breite zu Höhe) festgelegt werden kann (siehe zum Vergleich die vom Berghaus-Verlag festgelegten Abmessungen von 13 x 18,2 cm) Abmessungen [b1: Berghaus-Verlag, 250], würde daraus in Anlehnung an die Theorie vom Verfasser ein potenzielles (vermutetes) ursprünglich von Dürer verwendetes Grundmaß von etwa 2,5 bis 2,6 cm Länge resultieren, weil:

~13 cm : 5 = ~2,6 cm
und
~18,2 cm : 7 = 2,6 cm

Die unterschiedlichen Teiler 5 und 7 dienen hier gleichermaßen als ein weiteres Indiz für die Bestätigung der Theorie des Verfassers.

Das vermutete, von Dürer möglicherweise ursprünglich verwendete Grundmaß zur Gesamtkonzipierung des Bildwerks "Der Zeichner der Laute" (1525) hätte damit längentechnisch eine ungefähre Nähe zum Britischen Zoll (Inch; 1 Inch = 2,54 cm [vgl. gwiki16]) resp. streckentechnisch ähnlich langen anderen Grundmaßen, über die uns heute nicht unbedingt gesicherte weitere informationen vorliegen müssen.
Auch Teilungen oder Vervielfachungen der genannten Abmessungen könnten möglicherweise als ursprünglich von Dürer für die Gestaltung des Bildwerks verwendetes Grundmaß in Betracht kommen.
Angesichts des Wirrwarrs von in der europäischen Geschichte verwendeten Grundmaßen [vgl. b6, b7: Pfeiffer, 1986; gwiki2;3] bleibt die Frage nach dieser interessanten Übereinstimmung mit dem Inch jedoch rein spekulativ und wäre ein Forschungsfeld für entsprechende Experten, solange keine gesicherten Überlieferungen darüber vorliegen, mit welchen Grundmaßen die Werkstatt Dürers (ggf. vorzugsweise) arbeitete, resp. welche Grundmaße in Nürnberg zu Dürers Zeiten Verwendung fanden. Ein wichtiger Aspekt, der dabei ebenfalls zu berücksichtigen ist betrifft die Frage, inwieweit sich Dürer als für Bildungsreisen offener Künstler [b2: Eberlein, 2011] Grundmaßen bedient haben könnte, die aus anderen - ggf. die Renaissance prägenden - Kulturregionen (z.B. Italien oder etwa die Niederlande) gestammt haben könnten: ein historisches Maß für z.B. eine Bildwerksgestaltung "zu entlehnen" ist ganz simpel möglich: Ein Künstler etwa einer Metropole zu Zeiten der Renaissance hätte einfach vor die eigene Haustür treten müssen um in historisch gewachsenem Ambiente (wie es z.B. für das historische Nürnberg der Fall gewesen wäre), verwendete historische Grundmaße z.B. an einem historischen Monument (z.B. messtechnisch) zu ermitteln und damit zu entlehnen.
Auch der Aspekt, ob es möglicherweise eigene Körperabmessungen gewesen sein könnten, die Dürer als Vorlage für Abmessungen bzw. verwendete Grundmaße gedient haben könnten, wäre einer Erörterung wert, die allerdings unmöglich Nachweis finden könnte, jedoch immerhin im Bereich des möglichen stünde.


Sind Aussagen über die zur Konstruktion des Bildwerks verwendeten Gerätschaften möglich?

Diese Anwort kann nur mit relativer Gewissheit beantwortet werden, sofern hierzu keine konkret überlieferten Aussagen existieren sollten (was sich dem aktuellen Wissen des Verfassers entzieht).
Die von Dürer (vermutlich, aber mit großer Wahrscheinlichkeit) verwendete konstruktierende Grundeinteilung des Bildwerks "Der Zeichner der Laute" (1525) entspricht dem, was sich mit Zirkel und Richtscheit, bzw. Zirkel und Lineal) zeichnerisch leicht bewerkstelligen lässt. Jedoch kommt ebenfalls eine Konstruktion unter grundlegender Verwendung eines Reißwinkels in Betracht.


Passt die vermutete geometrische Konstruktion des Bildwerks zum Bildinhalt?

Aus der vom Verfasser formulierten Theorie über Dürers Anwendung einer Quadratfigurkonstruktion zur grundlegenden Bildwerkskomposition resultiert, dass die im Bildwerk dargestellte Art und Weise, Fluchtpunkte an einem ausgewählten Objekt (im Bildwerk ist das besagte Laute) abbildend zu ermitteln, nicht unbedingt zur Art der kompositorischen geometrischen Konstruktion des Bildwerks passt. Von besonderer Bedeutung sind hierbei als Indizien bzw. Argumente die Diagonalen der nach Theorie des Verfassers zugrundegelegten Quadratfigur zu nennen: der gesamte im Bildwerk dargestellte Raum richtet sich wesentlich nach diesen in das Bildwerk einzeichenbaren Diagonalen aus. Es wirkt außerdem abwegig, dass sich in dem Raum, der im Bildwerk "Der Zeichner der Laute" (1525) abgebildet wurde, eine weitere Apparatur (der gleichen Art wie die im Bildwerk abgebildete) befand, die den abzubildenden Raum mit dem dargestellten Künstler sowie seinem Gehilfen und der relativ komplizierten Apparatur zur Erzeugung und Abbildung von Fluchtpunkten wiederum durch perspektivische Punktermittlung mittels aufgespanntem Faden und Durchschau-Rasterfeld abbildete.
Dürers Bildwerk "Der Zeichner der Laute (1525) wirkt aufgrund der starken Ausrichtung des dargestellten Hauptraums wie ein kompositorisch ideal auf die Diagonalen der vom Verfasser als Konstruktionsgrundlage für das Bildwerk angenommenen Quadratfigur ausgerichtete Szenerie. Die im Bildwerk dargestellte Szenerie hätte nach der Theorie des Verfassers damit also theoretisch auch aus der Fantasie heraus von Dürer entworfen worden und schließlich in den Druckstock geschnitten worden sein können: hiermit hätte Dürer dann eine Szenerie künstlerisch interpretiert, die nach Vorgaben dessen, was im Bildwerk eigentlich gezeigt wird (zwei Personen bilden eine Laute mittels eines komplizierten messtechnischen Mechanismus perspektivisch ab) wesentlich abweicht.
Es kann zwar nicht gänzlich ausgeschlossen werden, dass die kompositorische Erfassung der im Bildwerk „Der Zeichner der Laute“ (1525) abgebildeten Szenerie zum Zeitpunkt der Entstehung des Kunstwerks mit einer ggf. andersartigen Apparatur perspektivisch erfasst wurde: dann wäre es jedoch sehr verwunderlich (wenn nicht gar tendenziell unmöglich [qed]), dass die mutmaßlich verwendete Apparatur „perfekt“ auf den im Bildwerk abgebildeten Raum eingestellt gewesen wäre (und umgekehrt): dieser Zusammenhang ist zwar technisch möglich, liegt jedoch vom künstlerisch-gestalterischen Aspekt her für einen extrem versierten Künstler wie Dürer - dcer sicherlich ohne Modellvorlage dazu in der Lage war, Gesamtszenerien zu entwerfen - nicht nahe.
Dürer hat bekanntermaßen über verschiedene Arten von Apparaturen zur Abbildung von Perspektive veröffentlicht, [vgl. b1: Berhaus-Verlag, 1981, 212, 213]. Von Dürer sind insgesamt 4 Holzschnitte bekannt, die verschiedene Apparaturen zur perspektivischen Erfassung von Räumen und Objekten behandeln (Bezeichnungen der Bildwerke hier wie nach Berghausverlag): 1: Zeichner der liegenden Frau; Zeichner der Laute; Zeichner des Krugs, Zeichner des sitzenden Mannes.
Theoretisch und auch praktisch ist es vielleicht möglich, eine Apparatur mit gerastertem Durchblickfeld so in einem Raum zu positionieren (der dann entsprechend groß genug sein müsste), dass eine Szenerie wie die im Bildwerk „Der Zeichner der Laute“ (1525) abgebildete auf die von Dürer gewählte Art und Weise erfassbar werden würde: diese möglicherweise tasächlich in Betracht kommende Möglichkeit wäre jedoch zunächst einmal noch zu beweisen. Falls eine solche Möglichkeit in Betracht kommt, wäre wohlmöglich am ehesten von einer gleichartigen (oder ähnlichen) Apparatur zur Bilderfassung (Bildaufteilung und ggf. perspektivische Aspekte einer optischen Erfassung) auszugehen, wie Dürer sie in seinem Holzschnitt "Zeichner der liegenden Frau" (7,6 x 21,2 cm) [Informationen entnommen aus: b1: Berghaus-Verlag, 212] darstellt: die dort dargestellte Apparatur besteht aus einem auf den dargestellten Tisch gestellten Rahmengestell in das vermutlich mit Fäden ein Rasterfeld von offensichtlich gleichmäßig aufgeteilten 6 x 6 = 36 Rasterfeldern durch das der im Bildwerk dargestellte Künstler über einen auf den Tisch gestellten Visierstab das zeichnerische Abbild der vor ihm auf dem Tisch liegenden Frau erfasst: die Szenerie erfasst der im Bildwerk dargestellte Künstler dabei auf einem vermutlich ebenfalls quadratischen Papierbogen mit der gleichen Rasterfeldeinteilung von 6 x 6 = 36 vermutlich quadratischen Rasterfeldern.
Interessant an Dürers Holzschnitt "Zeichner der liegenden Frau ist der im Bildwerk dargestellte techisch bedingte Bezug zur in ewin gleichmäßiges Raster unterteilten Quadratfigur als bilderfassendem Element, die sich vom Grundpinzip her mit der - nach Theorie des Verfassers - von Dürer angewendeten Aufteilung von Dürers Holzschnitt "Der Zeichner der Laute" (1525) wiederholt und einer auch heute noch bekannten und angewendeten kunsthandwerklichen und künsterlischen PRaxis entspricht, Bildaufteilungen vorzunehmen (z.B: für Vergrößerungen und Verkleinerungen eines Bildwerks).
Die Gesamteinteilung des Bildwerks „Der Zeichner der Laute“ (1525) mit ihrem stark geometrischen Bezug entspricht einer für geometrisch-perspektivische Konstruktionen notwendigen bzw. sinnvollen kunsthandwerklichen und künstlerischen Praxis: sie entspricht deshalb nach Einschätzung des Verfassers (aufgrund der genannten Argumente) eher der Gestaltung eines Bildwerks, dass wie ein konzeptionell aus der Fantasie, bzw. Vorstellungskraft heraus entworfenes wirkt.
Bildwerke geometrisch zu "komponieren" ("Aufriss"), eine Praxis die für die Renaissance mit ihrer Rückbesinnung auf die Antike als typisch angesehen werden kann, findet ihre Affinitäten in gewisser Weise auch in der Steinmetzkunst des Aufreissens mit Zirkel und Richtscheit (die teilweise auch heute noch praktiziert wird). Von der Faszination bzw. seinem Interesse für die kunsthandwerkliche und künstlerische Technik, Vermessungsaufgaben (wie z.B. die Bildwerksaufteilung) mit Zirkel und Richtscheit vorzunehmen, die für das Mittelalter und die Renaissance als typisch und stilmitprägend angesehen werden kann, spricht der Umstand, dass Dürer dieser Technik ein eigenes Buch mit dem Titel "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt in Linien Ebenen und ganzen Corporen. (1. Ausgabe gedruckt 1525 bei Hieronymus Andrae in Nürnberg, weitere Ausgaben 1533 und 1538 [Informationen direkt entnommen aus b1: Berghaus-Verlag, 250}.


Fazit und Schlussfolgerungen
Es wirkt insgesamt naheliegend – muss jedoch – weil nicht beweisbar - als Vermutung bzw. Annahme formuliert werden, dass Dürer mit dem Bildwerk „ Der Zeichner der Laute“ (1525) ursprünglich eine größere Bildwerksfläche als Ausschnitt für den imaginären Blick in die dargestellte Künstlerwerkstatt plante, schließlich jedoch aus künstlerisch-kompositorischen Gründen den entsprechenden Bildausschnitt wählte, dessen Darsetllung wir heute Bildwerk mit dem Bildwerk betrachten können. Vielleicht schwebte Dürer aber auch von vorneherein diese spezielle angewendete Art der Bildwerksgestaltung vor und vielleicht fand diese ihre Bendingtheiten auch in der Notwendigkeit, gut zu vervielfältigende Bildwerke zu gestalten, die möglicherweise bestimmte Vorgaben einhalten sollten.
Im Fazit interessant ist, dass die angenommene Bildwerksgestaltung von Dürers „Der Zeichner der Laute“ (1525) kaum zu der in der Szenerie des Bildwerks dargestellten Art und Weise passt, Bildwerke zu gestalten und Perspektivpunkte zu ermitteln: in Dürers Bildwerk werden ein Künstler und sein Gehilfe dargestellt, die Perspektivpunkte für die Darstellung einer Lautenabbildung unter Verwendung eines zurükklappbaren Rahmens mit Rasterung (möglicherweise transluminiszent bespannt oder aber mit einem Raster etwa aus gespannten Fäden versehen) und eines straff gespannten und an bestimmte Orientierungspunkte eines Objekts (hier: die Laute) angehaltenen Fadens ermitteln: Dürers „Der Zeichner der Laute“ (1525) zeigt gesamtkompositorisch jedoch die oben genannten Indizien für eine abweichende, völlig anders geartete Kompositionsweise eines Bildwerks auf. Deshalb kann tendenziell vermutet werden dass Dürers „Der Zeichner der Laute“ (1525) als Bildwerk konzipiert wurde, das bestimmte künstlerische Praxis einer breiteren - künstlerisch interessierten und tätigen Masse zugänglich machen sollte, jedoch in die tatsächlichen Feinheiten und Raffinessen von z.B. Dürers künstlerischer Praxis nicht einweihte.

FUßNOTEN:
[1] Auf Grundlage einer Quadratekonstruktion mit einem ursprünglichen Seitenverhältnis von Grundmaßeinheiten von 7 : 7 (mindestens, aber erweiterbar auf entsprechende Verdopplungen von 14 : 14 bzw. 28 : 28; vermutlich nicht feiner gerastert; über ein Verhältnis von 14 : 14 ist die Konstruktion jedoch kaum nachweisbar: je feiner eine Rasterung über ein Bildwerk gelegt wird, umso mehr "Übereinstimmungen" mit z.B. geometrisch eingezeichneten Linien u.a. ergeben sich automatisch. Damit ist eine immer feiner werdende Rasterung für eine Bildwerksanalyse (ohne weitere stichhaltige Argumente) zwangsläufig kaum aussagekräftig. Deshalb sollte bei geometrischen Bildwerksanalysen jeweils von der kleinstmöglichen "Annahme" ausgegangen werden (Anwendung des Ockham’schen Sparsamkeitsprinzips), um überhaupt Schlussfolgerungen für ein Bildwerk ziehen zu können.

[2] Als natürliche Zahlen werden heuzutage die ganzen positiven Zahlen verstanden: dabei ist es vorherige Definitions- und Einigungssache, ob die Zahl 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Als mathematisches Formelzeichen für die natürlichen Zahlen findet der Großbuchstabe N in einer gestalterischen Sonderausführung Verwendung [vgl. gwiki4]

[3] Die Fluchtung der Fensterbank links im Bildwerk weicht von der korrekten Fluchtpunktkonstruktion ab; siehe hierzu auch www1: Mißfeldt, 2023; www2: Riedelbauch; Zugriff auf beide Quellen 2023])


QUELLEN:

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Aufsätze [a]:
[a1] [Mittelalter: Zeitschrift des Schweizerischen Burgenvereins. Band (Jahr) 5 (2000), Heft 1, PDF erstellt am: 05.08.2020, (persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-165007), ein Dienst der ETH-Bibliothek, Zürich / Schweiz, 2020: Moosbrugger-Leu: Die Schnurvermessung im mittelalterlichen Bauwesen, 2000.

[a2] Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik; Band/Heft 1, Heft 3, S. 255 - 277; ZDB, ID: 1622754. Verlag Springer, Berlin, 1930] Gandz, Solomon: Die Harpedonapten oder Seilspanner und Seilknüpfer, 1930.

S. 212, 213 (4 Methoden)


Bücher [b]:
[b1] Berghaus Verlag: Meisterwerke der Holzschnittkunst: Abrecht Dürer – Sämtliche Holzschnitte (vollständiges Verzeichnis des Holzschnittwerkes, bearbeitet von Heffels, M.); Verlag Berghaus, Ramerding, 1981
S. 212, 213 (4 Methoden)

[b2] Eberlein, J. K..: Albrecht Dürer. Originalausgabe; 3. Aufl., Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 2011

[b3] Lepsius, R.: Die alt-aegyptische Königselle und ihre Einteilung. Aus den Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin; Berlin, 1865.

[B4] Maor, E.: The Pythagorean theorem - a 4000-year history. Princeton University Press, New Jersey (USA) / United Kingdom, Oxfordshire, 2007.
...
[b5] Minow, H.: Königselle und Metermaß - Die antiken Längeneinheiten im Zusammenhang: Ein Beitrag zur Metrologie mit sechs Tabellen und zehn Abbildungen (Schriftenreihe des Förderkreises Vermessungstechnisches Museum e.V.). Bd. 22, Förderkreis Vermessungstechnisches Museum e.V. (Hrsg.), Dortmund, 1996.
S. 7. u. 8

[b6] Pfeiffer, E.: Die alten Längen- und Flächenmasse - Ihr Ursprung, Geometrische Darstellung und arithmetische Werte. Bd. I., Verlag Scripta Mercaturae, St. Katharinen, 1986.

[b7] Pfeiffer, E.: Die alten Längen- und Flächenmasse - Ihr Ursprung, Geometrische Darstellung und arithmetische Werte. Bd. II., Verlag Scripta Mercaturae, St. Katharinen, 1986.

[b8]Wolf, N.: Dürer. Originalausgabe, Benedikt Taschen Verlag, Köln, 1993


[u]deutschsprachige Wikipedia [gwiki]
:[/u]
[gwiki1]:
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Online-Artikel aus dem World-Wide-Web [www]:

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(2) Bildwerkanalyse Albrecht Dürer d.J. Der Zeichner der Laute, 1525, V. M. Hoppe, 2023.jpg
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Veröffentlichung der hier verwendeten Abbildung (digitalisierte Abfotografie von Albrecht Dürers (d.J.) "Der Zeichner der Laute, (1525) erfolg hier nach Lizenzerwerb und mit ausdrücklicher schriftlicher Genehmigung der / des Copyright-Inhaber/s der hier abgebildeten digitalen Reproduktion des Bildwerks "Der Zeichner der Laute" (1525) von Albrecht Dürer (d.J.).
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(1) Bildwerkanalyse Albrecht Dürer d.J. Der Zeichner der Laute, 1525, V. M. Hoppe, 2023.jpg
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Archivierter Aufsatz

Beitragvon Sculpteur » 13.04.2024 04:37

Hinweis und Update zum zuvor eingestellten Ersten Beitrag des Verfassers in diesem Thema:
Der Aufsatz ist in die Bibliothek des Albrecht-Dürer-Hauses Nürnberg aufgenommen worden.
Ein Exemplar des betreffenden Aufsatzes von mir als Verfasser (me. Vinzenz Maria Hoppe) ist damit in der Bibliothek der Albrecht-Dürer-Haus-Stiftung Nürnberg e.V. unter der Inventarnummer 2023/50 archiviert.
Der Aufsatz ist damit zitierbar.
[Nachtrag: Der Aufsatz wird aktuell von mir überarbeitet weil er noch kleine Flüchtigkeitsfehler enthält und dann ggf. durch die überarbeitete Version ersetzt.
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Bildwerksanalyse 'Melencholia I' (1514) Albrecht Dürer (d.J.

Beitragvon Sculpteur » 25.01.2025 12:28

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Bildwerksanalyse 'Melencholia I' (1514) Albrecht Dürer (d.J.) [Teil I]:
Im folgenden möchte ich meine bisherigen Erkenntnisse zur Analyse des Bildwerks 'Melencholia I' (1514) von Albrecht Dürer (d.J.) teilen. Die Analyse teile ich in zwei Teile auf weil ich zu einem Bereich der Analyse des Bildwerks noch weitere Forschungs- und Recherchezeit benötige. Meine bisherigen Erkenntnisse und zusammengetragenen Ergebnisse zu einem bestimmten Aspekt der Analyse des Bildwerks möchte ich jedoch nicht vorenthalten und hiermit präsentieren. Diese Ergebnisse betreffen das sogenannte 'Magische Quadrat' in Dürers Bildwerk. Die Aufteilung der Analyse des Bildwerks nehme ich deshalb mit den beiden folgenden Teilen vor:

TEil I: Analyse des im Bildwerk enthaltenen 'Magischen Quadrats' (wird in diesem Beitrag von mir besprochen)
TEIL II: Analyse des grundlegenden Bildwerksaufbaus (betrifft für die Erstellung des Bildwerks durch die 'Manufaktur/Werkstatt Dürer' (d.J.) vermutlich verwendete zeichnerische Geometrie) [die Präsentation meiner Erkenntisse zu diesem Teil erfolgt voraussichtlich wesentlich später; siehe oben)

- die von mir gewählte Vorgehensweise mag ungewöhnlich sein, ist jedoch den Umständen geschuldet. Gute (unabhängige und selbstfinanzierte) Forschung braucht Zeit und ist stellenweise kostenintensiv -

Meine eigenen Erkenntnisse und zusammengetragenen Ergebnisse zur Bildwerksanalyse werden (ggf. bis auf weiteres) keine weitere Auseinandersetzung mit im Bildwerk 'Melenchiolia I' (1514) dargestellten Inhalten und deren Interpreration umfassen (siehe z.B. 'kunsthistorische Bedeutungsanalyse'). D.H. im Hinblick auf die Analyse des im Bildwerk dargestellten 'Magischen Quadrats' (BildwerksanalyseTeil I) sowie der Analyse des grundlegenden Bildwerksaufbaus (für die fernere Zukunft geplanter Teil II der Bildwerksanalyse) werden von mir schwerpunktmäßig mathematisch-geometrische und kunsthandwerklich-technische (konstruktionszeichnerische) Inhalte besprochen, die historische kunsthandwerkliche Praxis betreffen können. Schlussfolgerungen zu Bildinhalten des Bildwerks (betrifft auch das im Bildwerk 'Melencholia I' (1514) enthaltene 'Magische Quadrat') formuliere ich deshalb - sofern es sich nicht um verwendete Fremdzitate handelt - ausschließlich als Vermutungen, die noch ordentlich zu beweisen wären.

Mathematische Analyse des 'Magischen Quadrats' in Albrecht DÜrers (d.J.) [Kupferstich] 'Melencholia I':
Im Jahre 1514 veröffentlichte Albrecht Dürer d.J. (laut [Wolf, 2012] verbürgt) seinen (manchmal auch einfach als 'Melancholie' betitelten; [vgl. ...]) Kupferstich 'Melencholia I' (Abmessungen [nach Eberlein, 2011] 23,9 x 18,8 cm). Ein bei nährerer Betrachtung von Dürers Kupferstich besonders auffälliges Merkmal von Dürers Bildwerk ist das markant in das Bildwerk eingebettete sog. 'Magische Quadrat'. Eingebettet ist das von Dürer ins Bildwerk integrierte 'Magische Quadrat' als mathematische Zahlenspielerei in eine im Hintergrund des Bildwerks dargestellte Gebäudestruktur, die nach [Eberlein, 2011, 118] ein "turmartiges Bauwerk" darstellt.

Beschreibung von Dürers in 'Melencholia I' (1514) dargestelltem 'Magischem Quadrat':

Das in Dürers Bildwerk 'Melencholia I' (1514) abgebildete 'Magische Quadrat' stellt ein quadratisches Rasterfeld von 4 x 4 = 16 Feldern dar. Jedes der Felder des Magischen Quadrats enthält eine spezifische Ziffer. Insgesamt sind in Dürers Magischem Quadrat die Zahlen von 1 bis 16 mit Bezug zur Anzahl der Rasterfelder des Mahgischen Quadrats dargestellt. Dabei fällt auf, dass eins der Felder des Magischen Quadrats die Zahl 9 (Neun) als Ziffer enthält, die wie ein Stichfehler (korrigierte Seitenverkehrtheit) wirkt (3tes Rasterfeld von oben u. 1tes von links im Magischen Quadrat). Ein weiterer offensichtlicher Stichfehler findet sich in Dürers Magischem Quadrat im von oben 2ten und von links 1tem Rasterfeld: hier wirkt es in Dürers Bildwerk so als habe man zuerst eine (im Bildwerk somit auf dem Kopf stehende Ziffer '9' oder aber eine richtig orientierte Ziffer '6' darzustellen und dies schließlich in eine Ziffer '5' umgestochen. Ausführlichere mathematische Analysen (die aufgrund des dafür erfordelrichen Umfangs hier z.Zt. nicht besprochen werden) könnten möglicherweise Aufschluss darüber geben, weshalb es zu diesem Fehler kam.

Über den Grund für diese auffälligen offenbaren Stichfehler soll in diesem Beitrag ggf. nur zunächst nicht spekuliert werden. Es kann jedoch aufgrund der durch Dürer verwendeten Drucktechnik (Kupferstich, also eine 'Tiefdsrucktechnik') jedoch Beachtung finden, dass solche Fehler bei angewendeter Drucktechnik durchaus als unbeabsichtigt vorkommen können: um einen Tiefdruck (wie etwa einen Kupferstich) herzustellen ist es zunächst notwendig, eine spiegelverkehrte Vorlage eines schließlich zu druckenden Bildwerks herzustellen. Etwa künstlerisch kunsthandwerklich sowie drucktechnisch tätigen können solchartige "Fehler" also potenziell unterlaufen und sind dementsprechend auch heutzutage im Bereich des möglichen. Im Folgenden geht der Verfasser von der Verwendung einer stringenten (spezifisch verwürfelten) Bezifferung von Dürers in 'Melencholia I' dargestellten Magischem Quadrat aus, d.H. von der Verwendung der Ziffern/Zahlen 1 bis 16, also den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 wie sie in Dürers Magischem Quadrat im Bildwerk 'Melencholia I' vorgenommen wurde.
Die in Dürers Magischem Quadrat in 'Melencholia I' (1514) dargestellten Ziffern im quadratischen Rasterfeld sind auf spezifische Art und Weise verwürfelt. Diese Art der Verwürfelung hat bis heute einige Spekulationen, Theorien und Theorieansätze erzeugt. So schreibt Eberlein:

[ZITAT:]
Offenbar auf dieser Höhe steht ein turmartiges Bauwerk, an dessen Schmalseite der Mühlstein lehnt und an der Rückseite eine tiefer als die Stufe stehende Leiter. An ihm sind eine Waage, eine Sanduhr, deren Sand zur Hälfte verronnen ist, darüber eine kleine Sonnenuhr die jedoch keine der aufgemalten Stunden von 8 bis 4 Uhr anzeigt, und eine Glocke aufgehängt. Unter ihr ist ein magisches Quadrat eingelassen, dessen Zahlen in jeder Richtung summiert 34 ergeben. Das unterste Zahlenpaar in der Mitte lautet 15 und 14 und gibt damit das Datum der Entstehung des Blattes an (gemeint ist hier Dürers auf Papier gedruckter Kupferstich, Anm. des Verf.), das darunter an der Stufe über dem Monogramm wiederholt wird.
[ZITAT ENDE] [Eberlein,2011,118]

Wolf schriebt zu Dürers 'Melencholia I':

[ZITAT:]
Vasaris Einschätzung gilt bis heute: Die Melencholia I gehört zu jenen Kunstwerken, die die ganze Welt in Staunen versetzen - che feciono stupire il mondo. Das "Bild der Bilder" ist wie keine zweite Schöpfung Dürers von Kunsthistorikern, ja von Medizinern, Mathematikern, Astronomen, Freimaurern durchleuchtet worden. Turmhoch stapelt sich die Literatur zu einer Grafik, kleiner als ein DIN-A 4-Bogen. Positionen und Gegenpositionen, vor allem hinsichtlich eines neuplatonischen Gehalts der rätselhaften Szenerie, halten sich die Waage. Das magische Quadrat rechts oben, dessen Zahlen in jeder Richtung die Summe 34 ergeben, verkünde in der oberen Reihe angeblich Todestag, -monat und-jahr von Dürers Mutter (...) das unterste Zahlenpaar in der Mitte -15 und 14- das jedenfalls ist sicher, verbürgt das Entstehungsdatum des Stiches.
[ZITAT ENDE] [Wolf, 2012,48]

Ohne weitere Quellen zu Rate ziehen zu müssen lassen sich nun auf relativ simple Art und Weise grundlegende mathematische Eigenschaften aus Dürers Magischem Quadrat ableiten, die als grundlegendes mathematisches Allgemeinwissen angesehen werden können:

Mathematische Struktur des Magischen Quadrats in Albrecht Dürers d.J. 'Melencholia I':
Grundlage der folgenden Analyse und Zusammenfassung von ausgewählter mathematischer Phänomenik ist die zunächst erfolgende Betrachtung eines Rasterfeldes von 4 x 4 = 16 Feldern mit den darin enthaltenen und stringent in natürlicher Reihenfolge aufsteigenden Zahlengrößen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Auf dieser Grundlage basiert die Verwürfelung des Magischen Quadrats das Dürer in 'Melencholia I' (1514) dargestellt hat. Einige mathematischen Grundlagen lassen sich aus dieser Konstellation ableiten:

Betrachtung der Potenz 2^4 im quadratischen Gitterraster von 4 x 4 Feldern:
Aus der Betrachtung der Zahlengröße 16 als natürliche Zahl lassen sich einige grundlegende mathematische (und geometrische) Zusammenhänge auf relativ einfache Art und Weise ableiten:
2^4 ist sprachlich ausgedrückt die vierte Potenz der Zahlengröße 2. 2^4 ist mathematisch also gleichbedeutend mit 2 x 2 x 2 x 2 = 16. Eine weitere Möglichkeit 2^4 ausdzudrücken findet sich in der Möglichkeit, die Zahlengröße 16 als zweite Potenz von 4 auszudrücken weil 4^2 = 16. Im Umkehrschluss resultiert daraus dass die Quadratwurzel aus 16 die Zahlengröße 4 ergibt weil sqrt(16) = 4.

Die Zahlengröße 16 als natürliche Zahl ist darüber hinaus auch in einer summentechnischen Betrachtung sehr aufschlussreich und solche summentechnische Betrachtung ist von Bedeutung für ein tieferes Verständnis von Dürers in seinem Kupferstich 'Melencholia I' dargestellten Magischen Quadrat. Um solche summentechnische Analyse von Dürers Magischem Quadrat weitreichender nachvollziehen zu können, ist es zunächst sinnvoll, eine Auseinandersetzung mit den summentechnischen Eigenschaften des zugrundegelegten unverwürfelten quadratischen Rasterfeldes zu erörtern.

Summentechnische Analyse eines Rasterfeldes von 4x4 Feldern mit den einbeschriebenen Zahlengrößen von 1 bis 16:
Die folgende (als naheliegend gewählte) Ordnung zeigt die summentechnischen Zusammenhänge eines Rasterfeldes von 4 x 4 Feldern mit darin einbeschriebenen Zahlengrößen (Ziffern) in natürlicher Reihenfolge von Zahlengröße 1 bis Zahlengröße 16. Hierfür werden markante ausgewählte sich ergebende Zahlenreihen miteinander summiert (addiert):

W = Waagerecht; H = Horizontal; D(a) = Diagonal von links oben nach rechts unten; D(b) = Diagonal von links oben nach rechts unten; (n) = natürliche Zahlen; sum(n)<x(1)...x(4)> = Summe der natürlichen Zahlen von x(n) bis n(n): Auf eine Erläuterung und Analyse der möglichen sich daraus ergebenden Zahlenreihen in rückwärtiger Reihenfolge wird hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs verzichtet.

Rasterfeld 4 x 4 Felder, Zahlengrößen 1 bis 16 (fortlaufend)
[ERSTE Reihe waagerecht] / Reihe I(W)]: sum<1...4> = 1+2+3+4 = 10
[ZWEITE Reihe waagerecht] / Reihe II(W)]: sum<5...8> = 5+6+7+8 = 26
[DRITTE Reihe waagerecht] / Reihe III(W)]: sum<9...12> = 9+10+11+12 = 42
[VIERTE Reihe waagerecht] / Reihe IV(W)]: sum<13...16> = 13+14+15+16 = 58
- - -
[ERSTE Reihe senkrecht] / Reihe V(S)]: sum<1;5;9;13> = 1+5+9+13 = 28
[ZWEITE Reihe senkrecht] / Reihe VI(S)]: sum<2;6;10;14> = 2+6+10+14 = 32
[DRITTE Reihe senkrecht] / Reihe VII(S)]: sum<3;7;11;15> = 3+7+11+15 = 36
[VIERTE Reihe senkrecht] / Reihe VIII(S)]: sum<4;8;12;16> = 4+8+12+16 = 40
- - -
[Diagonalreihe(a) / Reihe IX(D;a)]: sum<1;6; 11; 16> = 1+6+11+16 = 34
[Diagonalreihe(b) / Reihe X(D;b)]: sum<4;7;10;13> = 4+7+10+13 = 34

Der aus Dürers Magischem Quadrat ableitbare Zusammenhang der aufgezeigten Diagonalreihen ist von besonderer Bedeutung für das mathematische Verhalten von gleichmäßig und stringent sich entwickelnden Rasterfeldern. Die grundlegende Entwicklung der Rasterfeldeigenschaften lässt sich dabei mathematisch auf relativ einfache Art und Weise ermitteln; deutlich wird dies in folgender Übersicht:

bei N = {1, 2, 3, ..., n}

- ermittelt für jedes Rasterfeld jeweils von links nach recht und von oben nach unten. Diagonalsumme von oben links nach unten rechts sowie Diagonalsumme II von oben Rechts nach unten Links -

WR = waagerecht; SR = senkrecht; DG = diagonal
[RASTERFELD] / [ZAHLENRAUM] / [SUMMEN (WR)] / [SUMMEN (SR)] / [SUMME (DG) I ] / [SUMME (DG) II]
[1x1] / [{1 bis 1}] / [1] / [1] / [1] / [1]
- - -
[RASTERFELD 1 x 1 Zellen/Elemente]:
- - -
GESAMTSUMME sämtlicher Einträge = 1
- - -
[2x2] / [{1 bis 2}] / WR(1) [3]
[2x2] / [{1 bis 2}] / WR(2) [7]
- - -
[RASTERFELD 2 x 2 Elemente]:
- - -
[2x2] / [{1 bis 2}] / SR(1) [4]
[2x2] / [{1 bis 2}] / SR(2) [6]
- - -
[2x2] / [{1 bis 2}] / DG(I) [5]
[2x2] / [{1 bis 2}] / DG(II) [5]

- - -
GESAMTSUMME sämtlicher Einträge = 10
- - -
[RASTERFELD 3 x 3 Elemente]:
- - -
[3x3] / [{1 bis 3}] / WR(1) [6]
[3x3] / [{1 bis 3}] / WR(2) [15]
[3x3] / [{1 bis 3}] / WR(3) [24]
- - -
[3x3] / [{1 bis 3}] / SR(1) [12]
[3x3] / [{1 bis 3}] / SR(2) [15]
[3x3] / [{1 bis 3}] / SR(3) [18]
- - -
[3x3] / [{1 bis 2}] / DG(I) [15]
[3x3] / [{1 bis 2}] / DG(II) [15]

- - -
GESAMTSUMME sämtlicher Einträge = 45
- - -
[RASTERFELD 4 x 4 Elemente (siehe Dürers Magisches Quadrat)]:
- - -
[4x4] / [{1 bis 4}] / WR(1) [10]
[4x4] / [{1 bis 4}] / WR(2) [26]
[4x4] / [{1 bis 4}] / WR(3) [42]
[4x4] / [{1 bis 4}] / WR(4) [58]
- - -
[4x4] / [{1 bis 4}] / SR(1) [28]
[4x4] / [{1 bis 4}] / SR(2) [32]
[4x4] / [{1 bis 4}] / SR(3) [36]
[4x4] / [{1 bis 4}] / SR(4) [40]
- - -
[4x4] / [{1 bis 4}] / DG(I) [34]
[4x4] / [{1 bis 4}] / DG(II) [34]

- - -
GESAMTSUMME sämtlicher Einträge = 136
- - -
[RASTERFELD 5 x 5 Elemente:
- - -
[5x5) / [{1 bis 5}] / WR(1) [15]
[5x5) / [{1 bis 5}] / WR(2) [40]
[5x5) / [{1 bis 5}] / WR(3) [65]
[5x5) / [{1 bis 5}] / WR(4) [90]
[5x5) / [{1 bis 5}] / WR(5) [115]
- - -
[5x5) / [{1 bis 5}] / SR(1) [55]
[5x5) / [{1 bis 5}] / SR(2) [60]
[5x5) / [{1 bis 5}] / SR(3) [65]
[5x5) / [{1 bis 5}] / SR(4) [70]
[5x5) / [{1 bis 5}] / SR(5) [75]
- - -
[5x5] / [{1 bis 5}] / DG(I) [65]
[5x5] / [{1 bis 5}] / DG(II) [65]

- - -
GESAMTSUMME sämtlicher Einträge = 325
- - -

DÜRERS MAGISCHES QUADRAT UND DIE ZAHLENGRÖßE 34:
Die Zahlengröße 34 lässt sich als natürliche Zahl aus markanten Achsen (als Summen) von Dürers Magischem Quadrat ableiten (wie bereits aufgezeigt und hinlänglich bekannt). Interessant in diesem Zusammenhang sind weitere summentechnischen Phänomene in Dürers Magischem Quadrat, die jedoch im mathematischen Sinne zu relativieren sind:

1) 'Kranzsumme':
Die spezifische Zahlengrößen beinhaltenden Zellen in Dürers Magischem Quadrat, die als 'Kranz' des 4x4 Zellenelemente umfassenden Rasterfeldes definiert werden können, sind (in hier spezifisch gewählter Reihenfolge): 16; 3; 2; 13; 5; 8; 9; 12; 4; 15; 14; 1. Wird die Gesamtsumme dieser Elemente durch Addition ermittelt, ergibt sich daraus im Ergebnis das dreifache der Zahlengröße 34, weil: sum<16;3;2;13;5;8;9;12;4;15;14;1> = 16+3+2+13+5+8+9+12+4+15+14+1 = 102 und 102 / 3 = 34.

2) 'KERNSUMME':
Wird die zuvor spezifizierte und erläuterte Kranzsumme in Dürers Magischem Quadrat von der Gesamtsumme sämtlicher im Magischen Quadrat enthaltenen Elemente abgezogen (Subtrahiert), ergibt sich hieraus eine markante 'Kernsumme' als Teilsumme der Gesamtsumme des Magischen Qudrats unter Beteiligung der Zahlengrößen 10; 11; 6 und 7. In der Addition ergeben diese Zahlengrößen die 'Untersumme' 34, weil: sum<10;11;6;7> = 10+11+6+7 = 34.

3) 'BLOCKSUMMEN' bzw. 'SEKTORSUMMEN'
Werden die in Dürers Magischem Quadrat enthaltenen Zahlengrößen (variierend) zu spezifischen Untersummen von jeweils
spezifischen beteiligten Zahlengrößen zusammengefasst, resultieren folgende Summierungsmöglichkeiten, die durch Addition jeweils die Zahlengröße 34 ergeben (hier in spezifisch gewählter Reihenfolge):

3.1) 4er-Blocks:
sum<16;3;5;10> = 34
sum<9;6;4;15> = 34
sum<10;11;6;7> = 34
sum<2;13;11;8> = 34
sum<7;12;14;1> = 34

Weitere Erzeugungsmöglichkeiten der Zahlengröße 34 als Gesamtsumme durch Addition von spezifischen; zu Blöcken zugefassten Zahlengrößen, die im Resultat die Untersumme 34 ergeben, sind bei Analyse von Dürers Magischem Quadrat möglich. Aufgrund des dafür erforderlichen Umfangs wird auf die Auflistung sämtlicher Möglichkeiten an dieser Stelle verzichtet.

GESAMTZUSAMMENHANG ZWISCHEN DER ZAHLENGRÖßE 34 UND DÜRERS MAGISCHEM QUADRAT:
Summieren wir die verwürfelte oder unverwürfelte 'Zahlenreihe von 1 bis 16 und beschreiben diese in ein 4 x 4 Felder abmessendes regelmäßiges oder unregelmäßiges Rasterfeld ein, kann folgender summentechnischer Gesamtzusammenhang abgeleitet werden: die Summe aus 1 bis 16; also die Addition der Zahlengrößen von 1 bis 16 ergibt die Gesamtsumme (Zahlengröße) 136 weil sum<1...16> = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16 = 136.

1) Gesamtzusammenhang zwischen der Gesamtumme des Zahlenquadrats sum<1...16> und der Zahlengröße 34:

Interessant ist nun die Betrachtung der Möglichkeit, die Gesamtsumme aus sum<1...16> durch die Zahlengröße 4, also durch die Anzahl der Rasterfelder als 'Längen' eines spezifischen quadratischen Rasterfeldes zu dividieren, in das die Zahlengrößen von 1 bis 16 einbeschrieben werden können: bei <sum>1...16 = 136 ergibt sich aus der Teilung der Zahlengröße 136 im Ergebnis die Zahlengröße 34 weil 136 : 4 = 34.

Weiterführendes zur markanten Zahlengröße 34:
Zur Zahlengröße 34 als natürliche Zahl und der mathematischen Bedeutung dieser Zahlengröße kann weiterführenderes angemerkt werden. In Bezug auf die Analyse von Dürers Magischem Quadrat sind die fgolgenden Querverweise jedoch allerhöchstens als Anregung gemeint und besitzen nach Ansicht des Verfassers (bisher und bei aktuellem Kenntnisstand des Verfassers) keine weiterführende (beweisbare) Grundlage für die Anwendung auf Dürers Magisches Quadrat im Hinblick auf Dürers mögliche ursprüngliche Absichten, sein Magisches Quadrat potenziell zu ersinnen, bzw. in 'Melencholia I' (1514) einzubinden. Es wäre nach Ansicht des Verfassers auch insgesamt noch der ordentliche Nachweis zu erbringen, ob und inwieweit Dürer dieses Magische Quadrat überhaupt selbst ersonnen hat [qed].

Die natürliche Zahlengröße 34 und die Fibonacci-Zahlen:
Die Zahlengröße 34 stellt gleichermaßen eine kleine Fibonacci-Zahl (eine der Ersten und leicht zu entdeckenden Fibonacci-Zahlen) dar. Die sog. 'Fibonacci-Folge' beginnt mit: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34... und 13+21 = 34.
Noch weitere Fibonacci-Zahlen lassen sich in markanten Rechenoperationen aus Dürers Magischem Quadrat ableiten: werden die horizontalen Summen der 'Kernzahlengrößen' von Dürers Magischem Quadrat ermittelt, folgt: 6+7 = 13 und 10+11 = 21. Die Zahlengrößen in Dürers Magischem Quadrat lassen sich also demzufolge im Sinne des Entwicklungsschematas der Fibonacci-Zahlen z.B. schreiben als: <6+7> + <10+11> = <13> + <21>; entspricht (6+7) + (10+11) = 34. Diese Zahlengrößenkonstellationen werden durch die dem Magischen Quadrat Dürers zugrundeliegende Verwürfelung von weiteren Zahlengrößen und deren Kombinationen eingerahmt, die Fibonacci-Zahlengrößen ergeben. So ergibt die Summierung der Zahlengrößen 5 und 8 in der horizontalen Zahlenreihe 5; 10; 11; 8 eine die Summierung 10+11 = 21 einrahmende Zahlengröße 13, weil 5+8 = 13 wobei 5 und 8 als Zahlengrößen ebenfalls Fibonacci-Zahlen darstellen. Auch in der 3ten horizontalen Reihe in Dürers Magischem Quadrat lässt sich solche Phänomenik entdecken: die jeweils in Rasterfeldern befindlichen Zahlengrößen 9 und 12 rahmen dort die Zahlengrößen 6 und 7 ein wobei die Summierung der Zahlengrößen 9 und 12 eine Fibonacci-Zahl ergeben weil 9+12 = 21 und damit eine Fibonacci-Zahl (als Summierung zweier Zahlengrößen) einrahmen weil 6+7 = 13.
Weitere Phänomene die im Ergebnis Fibonacci-Zahlen ergeben, lassen sich aus Dürers Magischem Quadrat ableiten auf die hier aufgrund des dafür erforderlichen Umfangs nicht in aller Ausführlichkeit eingegangen werden kann. Zu sämtlichen Phänomenen solcher Art ist jedoch im Zuge des Vergleichs mit der Analyse von regelmäßigen Rasterfelder grundständiger (natürlicher) Ordnung das folgende zu beachten: die Phänomene die sich aus Dürers Magischem Quadrat in Form von Zahlengrößen ableiten lassen, die im Ergebnis Fibonacci-Zahlen ergeben, stellen keine mathemtische Besonderheit dar, die durch Dürers Magisches Quadrat besonderen Ausdruck finden: solche Phänomene lassen sich auch in einem herkömmlichen regelmäßigen unverwürfelten Rasterfeld von 4x4 Feldern erzeugen (bzw. ablesen), dass die in strenger Ordnung aufeinanderfolgenden Zahlengrößen von 1 bis 16 enthält (siehe noch folgende Erörterung und Abbildung). Daraus resultiert in der Schlussfolgerung, dass ohne weitere ordentliche Nachweise keinerlei handfestes Indiz dafür existiert, dass es Dürers Absicht war bzw. gewesen sein könnte, Fibonacci-Zahlen in seinem Magischen Quadrat in Dürers Melencholia I (1514) besonderen Ausdruck bzw. eine Sonderstellung zu verleihen.

Die Zahlengröße 34 als Summierung von spezifischen Elementen dominiert Dürers Magisches Quadrat. Hierbei scheint es sich um eine besonders markante Zahlenspielerei Dürers zu handeln, was bis heute Anlass für Spekulationen bot. Faktisch ist es jedoch so, dass es sich bei der Zahlengröße 34 in der Gesamtbetrachtung in Bezugnahme auf Dürers Magisches Quadrat um keine außergewöhnliche und in dem Sinne 'besondere' Zahlengröße handelt. Im direkten Vergleich mit dem spezifischen Zahlenquadrat natürlicher Ordnung als regelmäßigem Rasterfeld von 4x4 Zellen wird dies deutlich. Aus dieser vergleichenden Analyse geht vielmehr deutlich hervor, dass die Zahlengröße 34 (lediglich) ein markanter mathematischer bzw. auch geometrischer 'Marker' für eben diese Art von regelmäßigem Rasterfeld ist. Dass die Zahlengröße 34 als quasi Marker für spezifische mathgematisch (bzw-. geometrische) Phänomene zu verstehen ist, wird in der Gesamtbetrachtung der Entwicklungsschemata von gleichmäßigen Rasterfeldern deutlich. Möglicherweise haben diese mathematisch-geometrischen Voraussetzungen sogar dazu beigetragen, ein Magisches Quadrat wie es in Dürers 'Melencholia I' (1514) enthalten ist, überhaupt erst zu ersinnen.

Aus den vorstehenden Erläuterungen lassen sich folgende Erkenntnisse ableiten:
Die sehr wahrscheinliche Begründung dafür, dass sich aus jeder markanten Hauptachse in Dürers Magischem Quadrat* die Zahlengröße 34 als Summierung von jeweils 4 in Reihe folgenden Zahlengrößen summieren lassen, liegt vermutlich nicht darin, dass Dürer die Zahlenkonstellation 15 und 14 (als Erscheinungsjahr seines Kupferstichs Melencholia I hervorheben wollte. Vielmehr ist es nach Ansicht des Verfassers als wahrscheinlicher anzunehmen, dass die Einbindung von Dürers Magischem Quadrat in das Werk Melencholia I aufgrund der darin enthaltenen Phänomenik gut zum Erscheinungsjahr 1514 passte, weshalb sich Dürer entschieden haben könnte, in ein mit Erscheinungsjahr 1514 (mutmaßlich?) veröffentlichtes Bildwerk eben jenes Magische Quadrat einzubinden: das in 'Melencholia I' dargestellte Magische Quadrat könnte Dürer also potenziell weit vor der Erstellung von 'Melencholia I' (1514) bekannt gewesen sein. Die Tatsache dass die 'Zahlenspielerei' mit der Verwürfelung der Zahlengrößen 14 und 15 in Dürers Werk 'Melencholia I'
erscheint, ist deshalb nach Ansicht des Verfassers eher als eine für Dürer eher 'willkommene' mathematische Phänomenik anzusehen, die Teilaspekte für Melencholia I möglicherweise mitinspiriert hat. Ob und inwieweit die obige Argumentation das Todesjahr von Dürers Mutter betrifft, kann der Verfasser aufgrund noch fehlender Recherche aktuell nicht beurteilen.
Auch die von manchen Forschenden vertretene Theorie dass die in Dürers Magischem Quadrat horizontal gegenübergestellten und die Zahlengrößen 15 und 14 horizontal einrahmenden Zahlengrößen 4 und 1 die codierten Anfangsinitialien von Dürers Nach- und Vorname darstellen könnten, lassen sich aus geometrisch-mathematischen Gründen ohne konkrete Überlieferungen zu diesem Thema nach Ansicht des Verfassers kaum ordentlich beweisen.

* diese sind: 1te, 2te, 3te, 4te horizontal, 1te, 2te, 3te, 4te Vertikal, Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten und Gegendiagonale von rechts oben nach links unten.
** weil nach bestimmter Kombinatorik von Zahlengrößen und Lateinischem Alphabet A = 1; B = 2; C = 3; D = 4

Wird die summentechnische Phänomenik eines regelmäßigen Rasterfeldes von 4x4 Zellen mit darin enthaltenen natürlichen Zahlengrößen von 1 bis 16 analysiert und mit der daraus resultierenden mathematischen Entwicklungsordnung regelmäßiger Rasterfelder sowie mit Dürers in Melencholia I (1514) enthaltenen Magischem Quadrat verglichen, kann aus diesen Gesamtzusammenhängen eine Argumentation für die Entstehung von Dürers Magischem Quadrat abgeleitet werden.

RESUMÈE:
Bei dem von Albrecht Dürers (d.J.) in sein Bildwerk Melencholia I (1514) eingebundenen 'Magischen Quadrat' handelt es
bei Betrachtung der oben genannten Argumente nach Ansicht des Verfassers mit großer Wahrscheinlichkeit eher um ein in das Bildwerk bewusst eingebrachtes 'Bravourstück': mit dem Magischen Quadrat als Bestandteil von Melencholia I konnte Dürer vermutlich einmal mehr aufzeigen, dass er fundiertere Kenntnisse über Geometrie und Mathermatik besaß (sowie das damit einhergehende Interesse hegte) und auch dazu in der Lage war, dies effektvoll zu präsentieren. Interpretationen, die mit Dürers Magischem Zahlenquadrat 'zahlenmystische' bzw. 'zahlenphilosophische' Auseinandersetzung mit Mathematik, Geometrie und Numerik hervorheben, sind im Hinblick auf die Gesamtkomposition von Melencholia I naheliegend und reizen den Analysierenden. Ohne dass Dürer selbst sich hier zu eindeutig geäußert hat, sind und bleiben solche Annahmen jedoch reine Spekulationen, denen weitere Beweisgrundlagen (bisher?) fehlen. Bei Dürers Magischem Quadrat in Melencholia I könnte es sich schlicht und ergreifend um eine Zahlenspielerei handeln, die mit geometrisch-mathematischen Möglichkeiten spielt und gut zum Gesamtsujet des Bildwerks passte. Solches 'Spiel' kann Dürer allerdings stark geholfen haben, den vermutlichen Gesamt-Impetus für die Erschaffung seines Bildwerks 'Melencholia I' zu verdeutlichen: im Mittelpunkt von Melencholia I steht - so könnte es wohl behauptet werden - der symbolifizierte, über die Mysterien und Geheimnisse der Welt und des (möglicherweise inneren und äußeren) ihn umgebenden 'Erlebnisraums' (im Sinne des Wechselspiels zwischen z.B. 'Emotion' und 'Logos', zwischen z.B. materiellem und immateriellem, zwischen z.B. lebendig-natürlichem und unlebendig-konstruierten; auch zwischen aufgeklärter - durchschauter - und nicht durchschauter; geheimnisvoll wirkenden naturwissenschaftlichen 'Geheimnissen') sinnierende bzw. nachgrübelnde Mensch. Dieser gelangt in Melencholia I - so kann es weiterführend vermutet bzw. wahrgenommen werden - in seiner solchartigen Auseinandersetzung zu mehr oder weniger stimmigen und befriedigenden Lösungen und Resultaten. Damit stellt Dürers Bildwerk ein typisches Renaissance-Werk dar, dass - in symbolhafter Rückbesinnung auf die Antike - den Menschen in seinem Sein, seiner Wahrnehmung und Sinnsuche in einen - für seine damalige Zeit - neuartigen und authentischeren Mittelpunkt stellt. Der hier vom Verfasser geäußerte Standpunkt ist jedoch reine Spekulation, solange wir über Dürers ureigenen Antrieb, Melencholia I zu erschaffen und gestalten keine originalüberlieferten Aussagen von Dürer selbst erhalten.
Dürers Magisches Quadrat steht dabei in einer zahlentheoretisch sich auseinandersetzenden Tradition die eindeutige Anleihen bei der ursprünglichen (z.B. antiken) Entstehung der Mathematik findet: das in Melencholia I eingebundene Magische Quadrat kann in seiner kombinatorischen Komposition erläutern, auf welchem Wege sich grundlegende und weiterführende mathematische Erkenntnisse mit einfachen Mitteln und Methoden generieren lassen. Daraus lässt sich in gewisser Weise auch der Erkenntniszugang zur Mathematik und Geometrie für Dürer (und für Dürers Zeit) ablesen.
Dabei steht im Hauptfokus eine offenbare schwerpunktmäßig summentechnische Auseinandersetzung mit Mathematik und auch Geometrie im Hinblick auf die Anwendung ganzer zählbarer Zahlen (also der natürlichen Zahlen): über das einfache - und stellenweise auch spielerisch mögliche - Vermessen und Nachzählen sowie über das Arrangieren von (abzählbaren) Grundelementen zueinander lassen sich wesentliche mathematische Naturgesetzmäßigkeiten entdecken, ableiten und erforschen: über das - mehr oder weniger - gezielte 'kombinatorische Screening' von geometrischen und mathematischen Zusammenhängen kann der Mensch dabei systematisch etwas über die Eigenschaften, Zusammenhänge und (durchaus als solche verstehbaren) 'Mysterien' von Mathematik und Geometrie erfahren. Zusammenhänge in die sich - wie es für die Vergangenheit bekannt ist - auch mystische, bzw. 'gnostische' und glaubenstechnische bzw. 'spirituelle' Fragen im Allgemeinen - je nach Ansatz und Bedürfnis (z.B. eines Kunstschaffenden wie Dürer) hineininterpretieren ließen.
Die in Dürers in seinem Bildwerk in Melencholia I (1514) abgebildeten Magischen Quadrat enthaltenen Zahlengrößen ergeben eine insgesamt sehr große Verwürfelungsmöglichkeit. Vorbehaltlich des trotz sorgfältiger Prüfung möglichen Irrtums des Verfassers resultieren für die in Dürers im Bildwerk Melencholia I abgebildeten Magischen Quadrat !16 (Fakultät für 16) Verwürfelungsmöglichkeiten. Das sind mathematisch ausgedrückt: 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16 Möglichkeiten. Im Ergebnis als Zahl ausgedrückt ergeben sich demnach 20.922.789.888.000 Verwürfelungsmöglichkeiten. Dabei gilt, dass nicht jede dieser resultierendne Möglichkeiten die Bedingungen erfüllen würde, wie sie in Dürers Magischem Quadrat gegeben sind. Die Tatsache dass ableitbare Grundbedingung für Dürers Magisches Quadrat die mathematische Grundregel sein muss, dass jeweils 4 mögliche in Reihe aufeinanderfolgende Zahlengrößen als in das Rasterfeld einbeschriebene Zahlengrößen die Untersumme 34 als natürliche Zahl ergeben müssen, reduziert diese Vielzahl von Möglichkeiten immanent. Z.Zt. liegen dem Verfasser keine Erkenntnisse und kein Wissen darüber vor, wie sich die Gesamtanzahl der Möglichkeiten berechnen lassen, von denen diese Bedingung tatsächlich erfüllt wird, ermittelt werden.
Dennoch ist die methodische Analyse der Möglichkeit, nur wenige Verwürfelungsschritte vorzunehmen um Dürers Magisches Quadrat nachvollziehend zu erzeugen, zwar mathematisch überschaubbar und formulierbar, dennoch nicht unbedingt naheliegend als für Dürers Vorgehensweise anzunehmen: zum einen müsste (wie bereits im Vorfeld betont) überhaupt erst einmal der Nachweis erbracht werden, dass diese Art von Magischem Quadrat wie Dürer es in Melencholia I einbindet, nicht auch schon vor Dürers Zeit und vor seinem Bildwerk Melencholia I (1514) bekannt war; zum anderen hätte Dürer auch ein lediglich probierender, eher spielerischer Umgang mit einem regelmäßigen Rasterfeld von 4x4 Elementen mit darin einbeschriebenen Zahlengröße in natürlicher Reihenfolge genügt, um zu seinem in Melencholia I dargestellten Ergebnis zu gelangen.
In der Gesamtbetrachtung kann Dürers Magisches Quadrat im Hinblick auf die Auseinandersetzung mit geometrischen Rasterfeldern sogar als 'mathematisches Werkzeug' zum Üben und Erlernen mathematischer Zusammenhänge begriffen werden, wie sie auch heute in schulischer Bildung im Bereich Mathematik und Geometrie anwendbar wären. Diese Annahme kann nach ANsicht des Verfassers auch als naheliegend auf die Antike übertragen werden, weil sich insbesondere die alten Griechen bereits ausführlich mit den Quadratzahlen auseinandersetzten [...]. Quadratzahlen stellen eine der relativ leicht zu entdeckenden Zahlernarten im Umgang mit geometrischen Zusammenhängen und den (positiven zählbaren ganzen) natürlichen Zahlen dar. In der Gesamtbetrachtung ist dabei der summentechnische Umgang mit zählbaren (natürlichen) Zahlen in Rückbesinnung auf die Entstehung der Mathematik (und z.B. in Kombination mit der Erforschung von Quadratzahlen) außerdem eine der naheliegendsten mathematischen Vorgehensweisen überhaupt (siehe 'Addition' im Allgemeinen sowie auch 'Dreieckszahlen' und Flächengeometrie im Hinblick auf die Baukunst etwa im alten Ägypten sowie in der Antike im Allgemeinen).

QUELLEN:
- weitere Quellen folgen in Kürze -

Bücher [b]:
[b1] Berghaus Verlag: Meisterwerke der Holzschnittkunst: Abrecht Dürer – Sämtliche Holzschnitte (vollständiges Verzeichnis des Holzschnittwerkes, bearbeitet von Heffels, M.); Verlag Berghaus, Ramerding, 1981
S. 212, 213 (4 Methoden)

[b1] Eberlein, J. K..: Albrecht Dürer. Originalausgabe; 3. Aufl., Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 2011

[b2] Maor, E.: The Pythagorean theorem - a 4000-year history. Princeton University Press, New Jersey (USA) / United Kingdom, Oxfordshire, 2007.

[b3]Wolf, N.: Dürer. Originalausgabe, Benedikt Taschen Verlag, Köln, 1993

WIKIPEDIA-QUELLEN:
deutschsprachige WIkipedia:
Bibliografische Angaben für „Melencolia I“
[gWiki1:]
Seitentitel: Melencolia I
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[gWiki2:]
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
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Datum der letzten Bearbeitung: 23. Januar 2025, 19:29 UTC
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Bibliografische Angaben für „Lateinisches Alphabet“
Seitentitel: Lateinisches Alphabet
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Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
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Melencholia I (7):

- Beschreibung folgt baldmöglich -
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Melencholia I (6):

- Beschreibung folgt baldmöglich -
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Melencholia I (5):

REGELN FÜR DEN ZUSAMENZUWACHS bei regelmäßigen Rasterfeldern (Beispiele):

SUMMENZUWACHS
HORIZONTAL
Reihensumme + Seitenlänge = Zuwachs
Seitenlänge = Anzahl Elemente in Reihe
x = 3
h1 + x = h2
h2 + x = h3
12 + 3 = 15
15 + 3 = 18
- - -
SUMMENZUWACHS
VERTIKAL
Reihensumme + (Seitenlänge x Seitenlänge)
Seitenlänge = Anzahl Elemente in Reihe
x = 3
v1+x² = v2
v2+ x² = v3
6 + 9 = 15
15 + 9 = 24
- - -
- - -
SUMMENZUWACHS
HORIZONTAL
Reihensumme + Seitenlänge = Zuwachs
Seitenlänge = Anzahl Elemente in Reihe
x = 4
h1 + x = h2
h2 + x = h3
h3 + x = h4
- - -
SUMMENZUWACHS
VERTIKAL
Reihensumme + (Seitenlänge x Seitenlänge)
Seitenlänge = Anzahl Elemente in Reihe
X = 4
V1 +x² = v2
v2 + x² = v3
v3 + x² = v4
Melencholia I (4).jpg
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Melencholia I (4):

- Beschreibung folgt baldmöglich -
Melencholia I (3).jpg
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2025
Melencholia I (3):

Gleichmäßige Rasterfelder mit einbeschriebenen Zahlengrößen natürlicher Ordnung:
Gleichmäßige RAsterfelder natürlicher Ordnung mit in die Zellen der Rasterfelder (nach bestimmter Ordnung) einbeschriebenen natürlichen Zahlengrößen entwickeln sich nach spezifisch und relativ einfach zu ermittelnden mathematischen (bzw. mathematisch-geometrischen) Gesetzmäßigkeiten. Die Gesamtanzhal jeweiliger Zellenelemente in die z.B. deckungsgleich mit den Entwicklungsschemata Zahlengrößen einbeschrieben werden können, richtet sich dabei nach dem Entwicklungsschemata der Quadratzahlreihe (hier dargestellte Rasterfelder von Rasterfeldseitenlänge von einem bis hin zu 6 Elementen):

Rasterfelder:
bei N = {1, 2, 3, ...,}

1x1 = 1 Zellenelement (einbeschriebene natürliche Zahlengröße 1)
2x2 = 4 Zellenelemente (einbeschriebene natürliche Zahlengrößen 1 bis 4)
3x3 = 9 Zellenelemente (einbeschriebene natürliche Zahlengrößen 1 bis 9)
4x4 = 16 Zellenelemente (einbeschriebene natürliche Zahlengrößen 1 bis 16)
5x5 = 25 Zellenelemente (einbeschriebene natürliche Zahlengrößen 1 bis 25)
6x6 = 36 Zellenelemente (einbeschriebene natürliche Zahlengrößen 1 bis 36)
Melencholia I (2).jpg
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2025
Melencholia I (2):
Rasterfeld von 4x4 Zellen mit wie in A. DÜrers (d.J.) in 'Melencholia I (1514) dargestelltem 'Magischem Quadrat'
verwürfelten einbeschriebenen natürlichen Zahlengrößen von 1 bis 16 in natürlicher Ordnung (hier in nachfolgend schriftlich wiedergegebener Ordnungsrichtung von links nach rechts und von oben unten. Die Anordnung der Zahlengrößen in Dürers Magischem Quadrat ergibt sich damit mit:

HORIZONTAL:
1te Reihe: 16; 3; 2; 13
2te Reihe: 5; 10; 11; 8
3te Reihe: 9; 6; 7; 12
4te Reihe: 4; 15; 14; 1
Melencholia I (1).jpg
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2025
Melencholia I (1):
Rasterfeld von 4x4 Zellen mit unverwürfelten einbeschriebenen natürlichen Zahlengrößen von 1 bis 16 in natürlicher Ordnung (hier in Ordnungsrichtung von links nach rechts und von oben unten. Die Anordnung der Zahlengrößen ergibt sich damit mit:

HORIZONTAL:
1te Reihe: 1, 2, 3, 4
2te Reihe: 5, 6, 7, 8
3te Reihe: 9, 10, 11, 12
4te Reihe: 13, 14, 15, 16
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