Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Moderatoren: Nils B., Turms Kreutzfeldt, Hans T., Chris, ulfr

Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 21.08.2022 20:02

- BEITRAG IN BEARBEITUNG -

Allgemeine Hinweise:
Namensgebungen u. Datierungen - sofern unkommentiert - nach [von Beckerath, 1997]

(Zu den grundlegenden hypothetischen Längen der Messchnüre der altägyptischen Harpedonapten sowie zur Begriffsklärung und Verwendung des Worts Harpedonapten in dieser Abhandlung siehe noch folgendes, der Verfasser verwendet im Folgenden vereinfachend die Bezeichnung altägyptische Schnur- und Seilvermesser um altägyptische Spezialisten im Umgang mit Mewsswerkzeugen aus Schnur, Seil oder Riemen u.a. zu bezeichnen).

Mathematische Hinweise / Nomenklatur:
sqrt(x) = international übliche fachwissenschaftliche alternative Beschreibung für das Quadratwurzel-Zeichen.
/ = wird in dieser Abhandlung als mathematischer Operator für Divison verwendet, z.B. 1 / 2 = 0,5.

: = wird in dieser Abhandlung in Berechnungen und mathematischen Darstellungen als mathematischer Operator im Zusammenhang mit der Beschreibung von Proportionen verwendet, z.B. 1 : 1,6180 = Proportion des Goldenen Schnitts oder auch M 1 : 10 (Maßstabsbeschreibung. Proportionen sind in dieser Abhandlung, um Verwechselungen mit mathematischen Berechnungen zu vermeiden, stellenweise in geschweifte Klammern gesetzt, z.B. {1 : 1,6180}.

Natürliche Zahlen sind (positive) ganze Zahlen, die wir tagtäglich zählend verwenden und die sich z.B. mit den Fingern einer Hand oder z.B. etwa Kieselsteinchen ausdrücken lassen um Anzahlen gleichartiger Grundelemente zum Ausdruck zu bringen. Ob die Zahl 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gehört, ist nach internationalem Übereinkommen vorherige Definitionssache und Einigung:
N = Symbol für den Zahlenraum der natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} oder N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...}
(siehe zu den natürlichen Zahlen, ihrer Definition und ihren Eigenschaften z.B. [N\B4, S. 25 - 69])

TEIL I:

Inhaltsverzeichnis (Teil I)

0. Hypothese
0.1 Weiterführende Hinweise
1. Kontroverse Diskussionen über die Proportionen altägyptischer Pyramiden
1.1 Fehlinterpretationen über Proportionen altägyptischer Pyramiden
1.2 Wissenschaftliche Argumente schützen nicht automatisch vor Fehlinterpretationen
2. Bautechnische Forschung über das alte Ägypten
2.1 Besonders umstrittene Bautenforschung im Diskussionsfeld des alten Ägypten (Korff)
3. Generelle Problematik der modernen Bautenforschung im Diskussionsfeld altes Ägypten
4. Zugang zu Fragestellungen über die Proportionen altägyptischer Pyramiden
5. Graefe´s teilweise Kritik an bisherigen Erkenntnissen zur altägyptischen Vermessungstechnik
5.1 Einmessung sich allmählich entwickelnder Pyramidenbauweisen
5.2 Potenziell statisch bedingt angepasste Bauweise bei der Knick-Pyramide von Dahschur
5.3 Graefe´s Argument der schalenartigen Bauweisen von altägyptischen Pyramiden
5.4 Additive Bauweise wiederspricht nicht einer Anwenung des Seked zur Bau-Einmessung
5.5 Gestalterische und handwerkstechnische Relativierung von Graefe´s Annahmen
5.6 Die alten Ägypter als versierte Gestalter
5.7 Die gestalterische Verwendung von Proportionen im alten Ägypten im Übereinklang mit altägyptischer Mathematik
5.8 Das Seked-Konzept
5.9 Gestalterisch-handwerklicher Umgang mit Proportionen im alten Ägypten
5.10 Zwischenresümee´ zu Graefe´s Annahmen
5.11 Die Proportionen der Roten Pyramide von Dahschur
5.12 Die Proportionen der Cheops- und Chepren-Pyramide auf dem Platteau von Giseh
5.13 Die Anwendung des Seked-Prinzips im gestalterischen und handwerklichen Alltag altägyptischer Steinmetzen
5.14 Die Proportionierung altägyptischen Pyramiden war mit simplen Techniken möglich
5.14.1 Beispiel: Seked 5 + 1/4 (Chepren-Pyramide)
5.14.2 Maßeinheiten nach altägyptischer Königselle
5.14.3 Beispiel: Seked 5 + 1/2 (Cheops-Pyramide)
5.15 Weitere Argumente gegen Graefe´s Theorie: 12-Ellen-Schnur und 100-Ellen-Seil
5.16 Proportionale Variationen der 12-Ellen-Messchnur (ihre proportionalen Teilungen und Vervielfachungen)

0. Hypothese
Die alten Ägypter erzeugten die Proportionen der Cheops-Pyramide und Chepren-Pyramide sowie der Mykerinos-Pyramide durch planerisches modellhaftes Aufspannen der von ihnen verwendeten Messchnüre und Messseile nach verschiedenen (variierenden) Prinzipien. Die Messschnüre, Messseile (und Mess-Riemen) der alten Ägypter ergaben als zusammengeknotete Schlaufen bei Aufspannen (je nach Aufsspannart) bestimmte Proportionen, die sich arithmetisch aus den ganzzahligen Grundeinteilungen der Messwerkzeuge aus Schnur, Seil oder auch Riemen ergaben.
Mit dem Vorbild der in der Antike hypothetisch bekannten 12-streckigen-Messschnur war dies den altägyptischen Schnur- und Seilvermessern (siehe folgende Erläuterungen) möglich.
Es ist zu vermuten, dass grundlegende Einteilungs- und Streckenlängenkonzepte von den alten Ägyptern von kurzen Messschnüren (für kleine Einmessungen und z.B. den Entwurf) auf z.B. Messeile entsprechender Länge proportional verlängernd übertragen wurden ("blow up´s"), um diese als Einmesswerkzeuge für Einmessungen für längere Strecken und größere Areale zu verwenden.
Die Umsetzung von Einmessungen auch längerer Strecken und Areale wäre den alten Ägyptern jedoch ebenfalls, bei vermutlich relativ hoher Exakhtheit, mit kurzen Messchnüren oder auch Messriemen möglich gewesen (was noch zu beweisen wäre): für solchartige Einmessungen hätten sich die durchzuführenden Einmessschritte jedoch entsprechend proportional erhöht.
Mit den in der Ägyptologie diskutierten Messchnüren und Messseilen der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser war es den alten Ägyptern möglich, z.B. das Plateau von Giseh und die auf ihm befindlichen Großpyramiden (und weitere Bauwerke) proportionstechnisch in entsprechendem Maßstab im Modellentwurf zu entwerfen und schließlich in die verbaute Realität einzumessen.
Aus Maßwertphänomenen, die sich auf dem Plateau von Giseh und an den auf dem Plateau verbauten Großpyramiden (Cheops-, Chepren- und Mykerinos-Pyramide) ablesen lassen, ist hypothetisch abzuleiten, dass bestimmte Vermessungskonzepte von den altägyptischen Schnur- und Seilvermessern verwendet. Diese verwendeten sie vermutlich, um die Dimensionierungen des Areals des Plateaus von Giseh und der dort verbauten Bauwerke (Großpyramiden) zu proportionieren (in dieser Abhandlung nimmt der Verfasser mit seiner Theorie ausschließlich Bezug auf die drei Großpyramiden auf dem Plateau von Giseh).

0.1 Weiterführende Hinweise
Einen guten Überblick über das alte Ägypten im Allgemeinen gibt [Kubisch, B11]. Spezifisches zu den altägyptischen Pyramiden wird in einem guten Überblick bei [Janosi, B8] besprochen. [Tyldesley, B32] gibt anschauliche Einblicke in die Historie der Erforschung des alten Ägyptens.
Einen fundierten Überblick über die altägyptische Vermessungstechnik und zugehörige Mathematik sowie die Erforschung der generellen Bauweisen altägyptischer Pyramiden geben z.B. [Stadelmann, B30; B31], [Lehner, B14; B15; B17] [Müller-Römer, B21] (Darstellung gängiger Theorien im Abgleich mit eigener Theorie Müller-Römers, siehe hierzu auch [Müller-Römer, PDF5; PDF7; PDF8; u. B21]).
Gute Gesamtüberblicke über altägyptische Baukunst und Handwerkstechniken finden sich bei [Goyon, B6] und auch [Lehner / Hawass, B17].
Spezielle Überblicke über die altägyptische Steinbearbeitung, mit der thematisch auch vermessungstechnische Zusammenhänge stellenweise angeschnitten werden, gibt [Stocks, E3].
Erörterungen und ausführliche Beschreibungen von z.T. noch zu diskutierten Fragestellungen zur altägyptischen Vermessungstechnik finden sich bei [Roik, B26], über alte Maße und Messtechniken im Allgemeinen bei [Pfeiffer, B21; B22], im Speziellen in Bezug auf Bautechnik und Vermessungstechnik z.B. bei [Winkler, B34] und bei [Müller-Römer, B21]. Siehe zur altägyptischen Vermessungstechnik und altägyptischen Längenmaßsystemen im Allgemeinen z.B. auch [Minow, PDF4] [Müller-Römer, PDF7] [Ziegler, PDF10].
Zu empfehlen für einen guten Überblick über altägyptische Mathematik und Vermessungstechnik sind [Müller-Römer, B21] (siehe hierzu z.B. auch [Müller-Römer, PDF7] und [Ziegler, PDF10] während [Cantor, B3], [Lehmann, B13], [Minow, B20 u. PDF4], [Robins / Shute, B24] [Müller-Römer, N\PDF1] einen guten Überblick über spezifische Fragestellungen zur altägyptischen Mathematik geben. [Robins/Shute, B24] gehen dabei sehr spezifiziert und detailiert auf die altägyptische Stammbruchrechnung und daraus resultierende vermessungstechnisch-mathematische Fragestellungen und Zusammenhänge ein. Lepsius hingegen befasst sich in [Lepsius, B18] speziell mit den Fragestellungen zur altägyptischen Königselle.
[Robins, B25] erörtert interessante Zusammenhänge und Fragestellungen zu Proportion und Stil im alten Ägypten.

1. Kontroverse Diskussionen über die Proportionen altägyptischer Pyramiden
Die Proportionen altägyptischer Pyramiden waren in der Vergangenheit häufig Anlass zu mannigfaltigen, teilweise sehr obskuren Theorien und ausufernden Diskussionen. Dabei wurden manche Theorien widerlegt oder wurden von vielen Ägyptologen als untragbar abgelehnt (siehe hierzu z.B. die Veröffentlichungen von Friedrich Wilhelm Korff [Korff, B9; B10] sowie zu den Diskussionen über Korff´s Theorien [Müller-Römer, PDF6; PDF9] und auch Erwiederungen Korff´s [Korff, PDF2]).

1.1 Fehlinterpretationen über Proportionen altägyptischer Pyramiden

Aus manchen Theorien zum Bauprinzip altägyptischer Pyramiden ist abzulesen, dass die Grundlagen der bautechnischen und bautenplanerischen Errungenschaften der alten Ägypter - zu denen auch die altägyptische Mathematik gehört - häufig falsch interpretiert, teilweise ignoriert oder auch überinterpretiert werden (siehe z.B. [Korff, B9; B10]). Korff´s Theorien werden dabei von der Ägyptologie bisher weitestgehend abgelehnt (nach Ansicht des Verfassers zu Recht).

1.2 Wissenschaftliche Argumente schützen nicht automatisch vor Fehlinterpretationen
Erstaunlicherweise hat sich der nahmhafte und um die Ägyptologie verdient gemachte (siehe [Stadelmann, B30; B31]) und inzwischen verstorbene Rainer Stadelmann (1933 - 2019 [N\W7]) für Korff´s "alternative" Theorien zum altägyptischen Pyramidenbau [Korff, B9; B10] geöffnet.
(Bei Mark Lehner verhielt es sich übrigens umgekehrt: Lehner näherte sich mit einer frühen Veröffentlichung [Lehner, B16] einer sehr alternativwissenschaftlich und sogar als esoterisch wahrzunehmenden Sichtweise auf die altägptische Kultur (im Sinne des esoterischen Weltbildes des Edward Gayes) und schwenkte schließlich in den folgenden Jahrzehnten in eine streng wissenschaftliche Arbeitsweise um. Lehner (in langjähriger Zusammenarbeit mit Hawass) haben wir heute eine detailiierte Erforschung des Platteaus von Giseh in Ägypten zu verdanken [Lehner, B14; B15] [Lehner/Hawass, B17]).

2. Bautechnische Forschung über das alte Ägypten
Bautechnische Forschung im Diskussionsfeld altes Ägypten (siehe z.B. [Müller-Römer, B21] [Winkler, B34]) kann im wissenschaftlichen Sinne streng genommen nur dort ansetzen, wo wir mit den Mitteln und Methoden arbeiten, die den alten Ägypter nachweislich zur Verfügung standen: In Bezug z.B. auf die altägyptische Vermessungstechnik stehen uns heute jedoch wenige konkrete Überlieferungen zu dieser Thematik zur Verfügung. Deshalb findet in der Ägyptologie ein andauernder Diskurs über Fragestellungen zu Bautechniken, Handwerkstechniken und Innovationen (z.B. im Bereich der Vermessungstechnik und Mathematik) der alten Ägypter statt.
Die seriös forschende Auseinandersetzung mit altägyptischen Bauwerken (und z.B. ihren Proportionen) erfordert notwendigerweise einen Zugang zu altägyptischer Mathematik und zu daraus resultierender spezifischer (teilweise hypothetischer) altägyptischer Mathematik und Proportionslehre (siehe z.B. auch Rhind Paphyrus; im speziellen [Robins/Shute, B24]), siehe [Cantor, B3] im Hinblick auf die allgemeine Entstehung der frühen Mathematik und z.B. [Müller-Römer, N\PDF1] zusammenfassend über altägyptische Mathematik).
Diese Voraussetzungen (und ggf. weitere) sind notwendigerweise sinnvoll, um bei der Erforschung antiker Bauwerke stimmige Schlussfolgerungen treffen zu können, schützen jedoch trotz vorhandener Sach- und Fachkenntnis keinesfalls automatisch vor Fehlinterpretationen und falschen Schlussfolgerungen (siehe z.B. [Korff, B9; B10]).

2.1 Besonders umstrittene Bautenforschung im Diskussionsfeld altes Ägypten (Korff)
Friedrich Wilhelm Korff [B9; B10] (siehe auch [Korff, PDF2]) ist als Autor im Bereich der Erforschung der Bauprinzipien altägyptischer Pyramiden umstritten. Korff´s Veröffentlichungen zum Thema haben in der Ägyptologie hohe Wellen geschlagen.
Korff begeht den wesentlichen Fehler, bautechnisch im Hinblick auf die Bauprinzipen altägyptischer Pyramiden im Zentimeter- und Millimeterbereich zu argumentieren und zu kalkulieren und idealisierte Konzepte von Proportionierungstechnik auf das alte Ägypten anzuwenden.
Darin findet sich auch die Krux der veröffentlichten Theorien Korff´s: Für Korff existiert nur ein einziges Bauprinzip altägyptischer Pyramiden, das laut Korff seinen Ursprung in musiktheoretischer Auseinandersetzung der alten Ägypter findet (und im Hinblick auf Korff´s Veröffentlichungen schließlich von ihm erweitert wurde, siehe [Korff, B9; B10]).
So behauptet Korff z.B. dass die Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide auf dem Platteau von Giseh nahe Kairo in Ägypten (zwingend) 441 Ellen an Streckenlänge betragen müsse.
Aus der Lektüre von Korff´s Werken wird deutlich, dass Korff sich mit der vereinfachenden Anwendung des Begriffs Elle dabei wohl auf die alte ägyptische Königselle bezieht, nach Lepsius also einer Elle von etwa 0,525 m (siehe [Lepsius, B18].
Korff´s 441 Ellen für die Basiskantenlänge der Cheops-Pyramidestehen zunächst einmal für sich, denn in die Abmessungen altägyptischer Pyramiden können viele verschiedene mathematische und messtechnische Ursachen hinein interpretiert werden.
In der Ägyptologie ist die sich auf verschiedene Quellen berufende Meinung jedoch vorherrschend, dass die Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide in der ursprünglichen Bauausführung der alten Ägypter eine Länge von 440 Ellen betrug (siehe hierzu z.B. [Herodot, N\B2] [Flinders, E2]; Flinders führte für seine Zeit - Ende des 18. Jahrhunderts - hochpräzise Messungen auf dem Platteau von Giseh durch), siehe auch [Stadelmann, B. 30; B31] [Lehner, B14; B15] [Lehner/Hawass, B17]).
Mit seinen veröffentlichten Gegenreden zur Kritik an seiner Theorie versucht Korff wahrnehmbar, seine Theorie als unanfechtbar zu verteidigen: Korff´s Theorie funktioniert tatsächlich ohne eine Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide von 441 Ellen und ein darauf aufbauendes komplexes und streng idealisiertes Theoriekonzept über die (korff´sche) Proportionierungspraxis für Pyramidenbauten der alten Ägypter nicht.
Des weiteren führt Korff in seinem zweitem Werk zum Thema [Korff, B10] schließlich sogar an, dass Korff den Ursprung der Streckenlänge der alten ägyptischen Königselle mit der Machart und den Eigenschaften der Nai, einer antiken Flöte und mit "Schallmessungen" der alten Ägypter in Verbindung bringt.
Nach ägyptologischer Lehrmeinung liegt der Ursprung altägyptischer Ellenmaße jedoch in Nilpegelmessern (siehe hierzu z.B. [...]).
(Eine Besprechung der in der Ägyptologie vieldiskutierten ursprünglichen Entstehung der altägyptischen Ellenmaße würde den Umfang dieser Abhandlung sprengen, weshalb ich dieses Thema in meinen Erläuterungen zu den Proportionen altägyptischer Pyramiden generell ausklammere).
Wie ein Blick auf die Proportionen und Bauweisen altägyptischer Pyramiden im Hinblick auf Korff´s Theorie zeigt, sind eindeutige dauerhafte Konzepte in der Bautenplanung altägyptischer Pyramiden nicht auszumachen (siehe hierzu z.B. [Lehner, B15] [Stadelmann, B30; B31] [Köpp-Junk/Junk, PDF3] [Müller-Römer, B21]).
(Korff´s Theorie soll hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs nicht näher erläutert werden. Eine Übersicht über Korff´s Theorie [Korff, B9; B10] zum von Korff sogenannten musikalischen Aufbauprinzip der altägyptischen Pyramiden gibt Müller-Römer in seiner Rezension [Müller-Römer, PDF9] zu Korff´s Werk (zu [Korff, B9]).

3. Generelle Problematik der modernen Bautenforschung im Diskussionsfeld altes Ägypten
Ein im Bereich der Bautechnik im Diskussionsfeld altes Ägypten forschender Autor wie Korff geht aus handwerklicher Sicht auf eine Art und Weise vor, die als sehr kritisch einzustufen ist und vermutlich deshalb auch zu teilweise sehr fragwürdigen Schlussfolgerungen kommt (siehe z.B. [Korff, B9, B10; PDF2]).
Korff scheint außerdem keine andersartigen Argumente gelten zu lassen, Gegenrede scheint für ihn Anlass zu sein, noch vehementer auf die Richtigkeit seiner Theorie(n) zu pochen.
Stadelmann´s schließliche Unterstützung für Korff´s Theorie zum Bauprinzip der altägyptischen Pyramiden ist dabei ein wichtiges Hauptargument für Korff in seinen bisherigen (teils vehementen und nicht immer sehr freundlich formulierten) Verteidigungen seiner Theorien (siehe [Korff, B10; PDF2]).
In die Proportionen der Cheopspyramide auf dem Platteau von Giseh in Ägypten z.B. wurde bis heute alles mögliche (und z.T. unhaltbare) hinein interpretiert. Manche alternativen Theorien halten sich dabei offensichtlich hartnäckig (siehe hierzu im Allgemeinen die Radosophie (über alternative Sichweisen zu Sinn und Zweck der Pyramiden des alten Ägyptens berichten kritisch z.B. [Janosi, B8] [Lauer, B12] [Tompkins, B33]. [Sasse/Haase, B28] hingegen bereiten das Thema Erforschung altägyptischer Pyramiden und altägyptischer Handwerkskunst eher massentauglich-reisserisch mit einem wahrnehmbaren leichten Hang zur Grenzwissenschaftlichkeit auf. Sasse und Haase erlauben sich in ihrem Werk Kritik an fehlender Interdisziplinarität in der modernen ägyptologischen Forschung - und liegen damit nach Ansicht des Verfassers generell nicht verkehrt. Ihre Kritik erlauben Sasse und Haase sich zuvorderst auch im Hinblick auf die Bautenforschung an der Cheops-Pyramide und das gescheiterte (medial massenspektakelmäßig aufbereitete) UPUAUT-2-Projekt des Nicht-Ägyptologen Rudolf Gantenbrink [Sasse/Haase, B28]).

4. Zugang zu Fragestellungen über die Proportionen altägyptischer Pyramiden
Bereits ein oberflächlicher Überblick über die altägyptische Vermessungstechnik und die bestehenden gängigen (fachwissenschaftlich diskutierten) Theorien (siehe hierzu z.B. [Müller-Römer, B21]) zeigt, wie wir uns den Fragestellungen zu den Proportionen altägyptischer Pyramiden im Hinblick auf experimentalarchäologischen Anspruch nähern können:
Jedes antike Bauwerk einer gewissen bautechnischen Komplexitätsstufe bedurfte (sehr wahrscheinlich) einer gewissen bautechnischen Planung im Vorfeld. Im Hinblick auf z.B. die Cheopspyramide dürfte das zumindestens eine grundlegende Auseinandersetzung über ihre Proportionen gewesen sein. (siehe zu Informationen über die Cheops-Pyramide z.B. [Stadelmann, B30; B31] [Lehner, B14; B15 (quasi Neuauflage von B14 unter anderem Titel und Verlag)] [Lehner/Hawass, B17] und auch [Goyon, B6] [Janosi, B8].

5. Graefe´s teilweise Kritik an bisherigen Erkenntnissen zur altägyptischen Vermessungstechnik
Graefe argumentiert dahingehend, dass von einer Eindeutigkeit der Bautenplanung im Vorfeld altägyptischer Pyramiden nicht unbedingt ausgegangen werden muss [Graefe, PDF1]: In Feldversuchen haben Graefe und sein Team ermittelt, dass sich die Neigungswinkel mehrerer altägyptischer Pyramiden relativ exakt über die Einmessung einer Winkelung von 45° (bei einer einfach einzumessenden Proportion von 1 : 1 einzumessender Höhe zur Breite also) über die Kanten im Bauprozess befindlicher altägyptischer Pyramiden hätten ergeben können.
Graefes Argument kann durchaus als stichhaltig angesehen werden, weil sich die Bausubstanz vieler altägyptischer Pyramiden insgesamt in einem sehr schlechten Zustand befindet und an einigen altägyptischen Pyramiden und deren Überresten eine schalenartige Bauweise aufeinanderfolgender Baustufen zu beobachten ist, die in aufeinanderfolgenden Bauprozessen allmählich erweitert wurde.
In der Gesamtwentwicklung der altägyptischen Pyramidenbaukunst ist ein innovatives experimentelles, auf Trial and Error ausgelegtes allmähliches Vortasten entlang schließlich gut funktionierender bautentechnischer Gesamtkonzepte abzulesen (siehe hierzu insbesondere [Goyon, B6] [Stadelmann, B30] [Lehner, B15] [Lehner/Hawass, B18]).

5.1 Einmessung sich allmählich entwickelnder Pyramidenbauweisen
Die allmähliche Entwicklung von Pyramidenbauweisen im alten Ägypten verlief über große Zeiträume. Nach Stadelmann entwickelte sich die Idee, Grabanlagen pyramidenförmig monumental zu überbauen im alten Ägypten ausgehend von der ursprünglich überbauten Mastaba (Snofru) und die monumentalen Stufenpyramiden aus Lehmziegeln (Adoben) in z.B. Sakkara hin zu den schließlich mit glatten Seiten versehenen monumentalen steinernen Pyramiden des Alten Reichs (z.B. Dahschur und Giseh) [Stadelmann, B30].
Solche allmählichen bautechnischen altägyptischen Entwicklungsprozesse enbehrten dabei vermutlich auch nicht entsprechenden Rückschlägen. Solche Rückschläge, wie sie vermutlich an der Knick-Pyramide von Dashur mit ihren zwei verschiedenen Baustufen mit verschiedenen Neigungswinkeln abzulesen sind (worüber vielfach Einigkeit unter Ägyptologen herrscht; siehe z.B. [Stadelmann, B30] [Winkler, B34]), wären damit Triebfeder für eine allmählich angepasste gut funktionierende Pyramidenbauweise der alten Ägypter gewesen.

5.2 Potenziell statisch bedingt angepasste Bauweise bei der Knick-Pyramide von Dahschur
Bei der Knickpyramide von Dahschur mit ihren zwei unterschiedlichen Neigungswinkeln (...) geht die Ägyptologie - insbesondere aufgrund statischer Schäden an der Pyramide - davon aus, das die alten Ägypter den ursprünglichen Neigungswinkel der Pyramide zu steil angesetzt haben - was zu einer zu großen Auflast von Baumasse führte. Deshalb waren die alten Ägypter nach gängiger Theorie schließlich gezwungen, den Neigungswinkel im Bauprozess aufgrund statischer Probleme abzuändern (siehe z.B. [Stadelmann, B30, 95] [Winkler, B34]).
Möglicherweise begegnet uns deshalb schließlich mit den altägyptischen Kleinpyramiden (Meroe) [Hinkel, A4] eine ursprünglichere gestalterische Vision der alten Ägypter für den Pyramidenbau in Form von sehr steil aufragenden spitzwinkligen Pyramidenbauten, wenn wir diese Bauweise von den Proportionen her mit der unteren Baustufe mit steilem Neigungswinkel der Knickpyramide vergleichen.
(Zur Entstehung der Machart der Knickpyramide existieren weitere und mögliche Theorien. Diese können aufgrund des dafür erforderlichen Umfangs jedoch nicht in dieser Abhandlung thematisiert werden).

5.3 Graefe´s Argument der schalenartigen Bauweisen von altägyptischen Pyramiden
Hauptsächlich bezieht sich Graefe [Graefe, PDF1] mit seinen Überlegungen, die eine starke Ablehnung des Seked-Konzepts für das alte Ägypten ablesen lassen, auf die Tatsache, dass sich an einigen altägyptischen Pyramiden und deren Überresten schalenartige, schräg angelegte Bauweisen finden lassen, die darauf hindeuten, dass Bauwerke (siehe auch ursprüngliche Mastaba des Snofru [Stadelmann, B30]) allmählich (Schicht um Schicht) erweitert wurden (siehe z.B. auch Stadelmann über die Knickpyramide in Dahschur-Süd [Stadelmann, B30, Tafeltext zu Tafel 26]).
Die Gründe für solche altägyptischen Bauweisen werden in der Ägyptologie vielfältig diskutiert (siehe z.B. [Winkler, B34]).
Nach Graefe wäre es demnach aufgrund dieser Bauweisen nicht von vorneherein für die ursprüngliche Bautenplanung der alten Ägypter ersichtlich gewesen, welche Ausmaße bei additiver Bautechnik eine fertiggestellte Pyramide der alten Ägypter nach potenziellen diversen Bauphasen schließlich hätte annehmen können.
Auf dieser Grundlage nimmt Graefe demnach möglicherweise wohl an, dass die alten Ägypter also gar keine generellen ursprünglichen Gestaltungsvisionen für Monumentalpyramiden entwickelten, weshalb auch ein Einmessen über den Seked im Grunde überflüssig gewesen sei.
Nach Graefe hätten sich Bauwerksabmessungen an altägyptischen Pyramiden demnach
dadurch ergeben, dass aufeinanderfolgende Bauschichten von Pyramiden von den alten Ägyptern teilweise und Baustufe für Baustufe über lange Zeiträume additiv allmählich erweiternd fertiggestellt wurden, wodurch sich schließlich daraus resümierende Gesamtabmessungen der Pyramiden ergeben hätten.
Damit zielen Graefe´s Argumente auf die ursprüngliche mögliche, nicht vollständig und von vorneherein bestehende Planbarkeit eines schließlich tatsächlich vollendeten Monumentalbaus im alten Ägypten ab.
Graefe´s Argumente sind damit nicht generell abzulehnen. Wir wissen aber aus der Geschichte der Entwicklung der Baukunst, dass Baumodell und Bauentwurf eine sehr lange Tradition mit sich bringen [...]. Auch von den alten Ägyptern kann angenommen werden, dass sie Modellentwürfe für zu erbauende Bauwerke (und Areale) anfertigten. So könnten die Pyramidien altägyptischer Pyramiden nach Ansicht Winklers [Winkler, B34] Modellvorlagen für schließlich auszuführende Pyramidenbauten gewesen sein.
Markant an erhaltenen altägyptischen Pyramidien ist, das sich aus diesen laut Winkler Proportionsverhältnisse einer zugehörigen Pyaramide (im quasi verkleinerten modellhaften Maßstab) ablesen lassen, die auch für die schließlich zu erbauenden Großbauten galten. Damit wären (nach Winkler [Winkler, B34]) altägyptische Pyramidien (bei wechselnden, proportional vergrößernden Grundmaßen) quasi Modellvorentwürfe für zu erbauende Pyramiden gewesen ([siehe hierzu über Winklers Theorie auch z.B. [Müller-Römer, B21]).

5.4 Additive Bauweise wiederspricht nicht einer Anwendung des Seked zur Bau-Einmessung der alten Ägypter
Eine durchdachte Bautenplanung, die von vorneherein mit mehreren (berechenbaren und planbaren) Optionen spielt ist selbst für sich allmählich entwickelndes Baumeistertum im Altertum keine abwegige Annahme und wäre demnach auch für das bautechnisch über große Zeiträume experimentell agierende alte Ägypten vorstellbar gewesen.
Mögen es Baukosten, Materialbeschaffungsfragen, statische Fragen, sich verändernder Stil oder Zeitgründe gewesen sein, die zu einem Prinzip der aufeinanderfolgenden Bauweise von jeweils repräsentativ fertiggestellten Pyramiden-Baustufen im alten Ägypten geführt haben könnten, in denen schalenartig schräg anliegende Bauschichten aufeinanderfolgend verbaut wurden:
Solchen Bautechniken widerspricht die exakt mögliche Einmessung der jeweils äußersten (repräsentativen) Schicht einer Pyramide über den Seked jedoch nicht zwangsläufig.
Auch weil für altägyptische Pyramiden keine überlieferten Baupläne vorliegen resultiert daraus nicht zwangsläufig die Annahme, dass altägyptische Baumeister keine ursprünglichen Gestaltungsvisionen von Pyramiden entwickelten und dabei nicht auch einzumessendes Gesamtareal in das Blickfeld ihrer Aufmerksamkeit von vorneherein mit einbezogen: Vielmehr entsprechen solche Vorgehensweisen auch heute herkömmlicher gestalterischer Praxis.

5.5 Gestalterische und handwerkstechnische Relativierung von Graefe´s Annahmen
Graefes auf den bautechnischen Pragmatismus ausgerichtetes Hauptargument, dass ein Einmessen von Pyramidenbaustufen durch die alten Ägypter über die Diagonale eines Pyramidengrundrisses mit einem Steigungsverhältnis von 1 : 1 Strecken, für die alten Ägypter einfacher zu praktizieren gewesen wäre als ein (nach Graefe) komplexeres Einmessen über den Seked bedarf aus handwerklicher, bautechnischer und auch gestalterischer Sicht einer Relativierung. Die Gründe für diese Schlussfolgerung werden im Folgenden von mir erläutert.

5.6 Die alten Ägypter als versierte Gestalter
Die alten Ägypter waren versierte Gestalter. Ihre verwendeten Werkzeuge, Instrumentarien und Methoden auch im Bereich der Vermessungstechnik und proportionierenden Gestaltung entwickelten sie vermutlich über viele Jahrtausende hinweg und in Übereinkunft mit der von ihnen angewendeten speziellen Mathematik (siehe z.B. [A1] [Emilius, A2] [Gandz, A3] [Moosbrugger-Leu, A6] [Arnold, B1] [Lepsius, B18] [Goyon, B6; B7] [Lehner B15] [Lehner/Hawass, B17] [Lehmann, B13] [Mino, B20] [Müller-Römer, B21] [[Pfeiffer, B22; B23] [Robins/Shute, B24] [Robins, B25] [Roik, B26] [Rooney, B27] [Stadelmann, B30; B31] [Winkler, B34] [Flinders, E2] [W1; W3; W4]).
Z.B. die Verwendung des Einmessens mit Seil und Schnur (siehe z.B. Konstruktion eines Rechten Winkels über das summarische Tripel 3 : 4 : 5 und hypothetisch andere summarische Tripel) sowie die in Verbindung damit stehende Grundeinteilung altägyptischer Längenmaße wie die der alten ägyptischen Königselle und des Remens (Pygon) [Roik, B26] [W1] zeugen in der Detailanalyse und im Vergleich mit verschiedenen Maßwertzusammenhängen, die an altägyptischen Pyramiden ablesbar sind zu der Annahme, dass die intellektuelle innovative Leistung der alten Ägypter, ein Seked-System zur Einmessung z.B. von Pyramiden verwendet zu haben, vom Innovationsniveau her nicht abwegig ist (siehe zum Seked und zur Stammbruchrechnung der alten Ägypter z.B. [Cantor, B3] [Lepsius, B18] [Robins/Shute, B24] [Müller-Römer, N\PDF1]). Diese Annahme lässt sich insbesondere untermauern in der Kombination aus tradierten handwerklichen Vorgehensweisen sowie den Möglichkeiten der Vermessung mit Schnur, Seil, Zirkel, Richtscheit (bzw. Lineal) im Übereinklang mit arithmetischen Grundlagen, die sich z.B. in der von den alten Ägyptern verwendeten Stammbruchrechnung und der Verwendung bestimmter (arithmetisch markanter) Proportionen äußern.

5.7 Die gestalterische Verwendung von Proportionen im alten Ägypten im Übereinklang mit altägyptischer Mathematik in ihrer Übertragung auf die Vermessungstechnik
Proportionen gehörten zum Tagesgeschäft auch altägyptischer Gestalter.
Der Zugang zu grundlegenden (arithmetisch markanten) Proportionen ergibt sich aus arithmetischen Grundlagen, also aus der grundlegenden Auseinandersetzung mit den strukturbildenden Eigenschaften der Mathematik (siehe z.B. [Cantor, B3] [Crilly, B4,8-19] [Maor, B19]) beinahe von selbst und gibt damit Einblick in die "arithmetischen Verbindungen" der natürlichen Zahlen untereinander.
Ein gutes Beispiel für die Anwendung solchen mathematischen Grundlagenwissens der alten Ägypter ist die Vermessungsschnur (bzw. auch als dünnes Vermessungsseil oder Lederriemen möglich) der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser in ihren Variationen und streckentechnischen proportionalen Übertragungen (siehe z.B. [A3, Gandz] [W3] [Müller-Römer, N\PDF1]).

5.8 Das Seked-Konzept
Dass die alten Ägypter das Konzept des Berechnens und Einmessens altägyptischer Pyramiden über den Seked praktizierten, darüber herrscht in der Ägyptologie - trotz Gegenstimmen (siehe z.B. [Graefe, PDF1]) - weitgehend Einigkeit (siehe z.B. [Robins/Shute, B24]).
Das Konzept des Einmessens über den Seked passt hervorragend zu der insgesamt ablesbaren Vorgehensweise der Bewältigung mathematischer Aufgaben der alten Ägypter mittels der von ihnen praktizierten Stammbruchrechnung und der Vermessung mit Schnur und Seil.
Prinzip des altägyptischen Sekeds ist das jeweilige Einmessen eines (potenziellen) Rücksprungs gewählter Größenordnung im messtechnischen Verhältnis zu jeweils eine Elle an Bauhöhe (z.B. einer Pyramidenböschung; Prinzip des einrückenden Abschlags von der Grundmaßeinheit Elle): Wird so mit stets gleichbleibendem Rücksprung bei größer werdender Baumasse eingemessen, entsteht ein spezifischer Böschungsneigungswinkel.
Das Einmessen mit Schnur und Seil, die Verwendung von Zirkel und Richtscheit als planerisches Vermessungs- und Zeicheninstrument, das Seked-Konzept, die altägyptische Mathematik mit ihrer spezifischen Stammbruchrechnung sowie die Grundeinteilungsprinzipien altägyptischer Messtäbe (z.B. alte ägyptische Königselle, oder auch meh) in Affinität mit den Einteilungen von Messchnüren, Messseilen und Messriemen der alten Ägypter beeinflussten sich in ihrer Entwicklung vermutlich über große Zeiträume. Dabei bedingten sich solche innovativen Entwicklungslinien unseres Wissens auch in interkulturellem Austausch (siehe z.B. zum Vergleich die baylonische und altägyptische Arten und Weisen des Rechnens mit Stammbrüchen und die Diskussion über die mesopotamische Nippur-Elle [Lehmann, B13] [N\W5]).
Bei der altägyptischen Stammbruchrechnung [Lehmann, B13] [Robins/Shute, B24] resultiert eine von den Grundlagen her simple (jedoch schwierig zu beherrschende) Rechenweise vermutlich auch aus dem Umgang mit Strecken-Proportionen. Dieses Prinzip lässt sich auch aus der Grundeinteilung der altägyptischen Königselle im Abgleich mit dem Remen (Pygon) ablesen.
Dabei nimmt diese Art und Weise des Rechnens zwangsläufig insgesamt Bezug auf die grundlegende arithmetische Analyse des Zahlenraums (der heute sogenannten natürlichen Zahlen.
Arithmetische Grundlagen erschließen sich durch das experimentelle und auch spielerische Analysieren von Anzahlen von gleichartigen Grundelementen (z.B. aneinandergereihte und zu Figuren ausgelegte Anzahlen; siehe insgesamt auch die Thematiken der Arithmetik im Allgemeinen, z.B. bei [Cantor, B3] und der figurierten Zahlen z.B. bei [Crilly, B4]).
Im Zusammenhang mit der Entwicklung von mathematischen Konzepten, die von den alten Ägyptern angewendet wurden, sollte betrachtet werden, das der heute sogenannte Satz des Pythagoras im Altertum bereits vor Pythagoras bekannt gewesen sein muss [Maor, B19]).
Erwähnenswert ist außerdem, dass der Papyrus Rhind (Rhind Mathematical Papyrus oder auch kurz RMP) als eine der wenigen altägyptischen mathematischen Quellen (siehe auch z.B. Moskauer Papyrus) [Robins/Shute, B24] weit nach Ende des Alten Reichs und der Erbauung altägyptischer steinerner Monumentalpyramiden verfasst wurde.
In ihrer Gesamtheit passen hypothetische altägyptische Verfahren des Einmessens, Proportionierens und Berechnens im Hinblick auf die Anwendungsmöglichkeiten in der altägyptischen Pyramidenbaukunst stimmig zusammen und werden dabei auch durch die früh sich entwickelnde Kunst des Vermessens und Aufreissens mit Zirkel und Richtscheit (bzw. Lineal) bestätigt, die insbesondere für den Steinmetzberuf der vergangenen Epochen typisch und stilbildend war [Hecht, N\B3] und ihre Vorbilder bereits weit vor der Antike finden dürfte.

5.9 Gestalterisch-handwerklicher Umgang mit Proportionen im alten Ägypten
Der gestalterische, handwerkstechnische und bautechnische Umgang mit Proportionen ist aus vielen Bereichen gestalterischen Wirkens der alten Ägypter abzulesen (z.B. grundlegender Proportionskanon [Robins, B25], z.B. grundlegender Entwurf eines Bauwerks (nach Winkler; siehe altägyptische Pyramidien [Winkler, B24]), z.B. die Ermittlung der einmessbaren Neigung einer Pyramide über die Seitenflächen (siehe Seked, z.B. bei [Robins/Shute, B24]), z.B. zur Anfertigung von Werkstücken aus Stein mit angearbeiteten Winkelungen wie etwa Verkleidungssteinen für Pyramiden (siehe z.B. bei [Stadelmann, B30; B31]), die notwendigerweise entsprechend präzise Einmessungstechnologien für die Durchführung solcher Steinmetzarbeiten erfordert hätten (siehe hierzu z.B. [Stocks, E3] [Müller-Römer, B21] über das von den alten Ägyptern nachweislich praktizierte Einmessen der Seiten eines Natursteinblocks mit Schnüren und Stocks Theorie zur Einmessung von an Naturstein anzuarbeitenden Werksteinoberflächen mittels einer an zwei gleichlangen Stöckchen befestigten Schnur [Stocks, E3]).
Dabei geht es für den Verfasser bei der Annahme, dass die alten Ägypter Pyramiden (möglicherweise phasenweise) schwerpunktmäßig sehr wohl über den Seked über die Seitenflächen eines Pyramidenbauwerks eingemessen haben könnten, nicht um die Einmessung sämtlicher Baustufen; so z.B. der sog. "Kernbaustufen" mancher altägyptischer Pyramiden. Angesprochen ist hier damit eher die vorstellbare Umsetzung einer letzlich zu erzielenden ursprünglichen gestalterischen Gesamtvision altägyptischer Baumeister für eine Pyramide, wobei eine Einmessung über den Seked vor allem die letzte Bauphase - die repräsentative Außenfläche - einer Pyramide betroffen hätte.
Auch muss nicht automatisch und zwangsläufig für sämtliche altägyptischen Pyramiden gelten, dass sie über sämtliche Zeitperioden über den Seked eingemessen wurden: Handwerkstechniken und Stile sind Variablen, die sich über große Zeiträume durchaus verändern können.

5.10 Zwischenresümee´ zu Graefe´s Annahmen
Es gibt streng genommen gar keinen plausiblen Grund dafür, dass nicht beide Annahmen - sowohl die gängige ägyptologische Meinung, dass die alten Ägypter ihre Pyramiden über den Seked eingemessen haben als auch Graefes Annahme, dass eine vereinfachte Einmessung über die Kanten einer Pyramide im Winkel von 45° zur Kante durch die alten Ägypter hätte bewerkstelligt worden sein können, stimmig sind.
Beide messtechnischen Verfahren als für das alte Ägypten in Frage kommende Möglichkeiten sollten gleichermaßen ihre Berechtigung haben, jedoch jeweils spezifisch auf altägyptische Bauwerke angewendet werden.
Der Grund für diese Schlussfolgerung findet sich z.B. in den Proportionen der Pyramiden von Giseh und deren Abmessungs-Orientierungen zueiander: Auf dem Platteau von Giseh finden sich erstaunliche Proportionsphänomene und Exaktheiten der Einmessung (siehe z.B. die Einmessung der Cheops-Pyramide in nördliche Richtung [Flinders, E2]
Die Proportionen der Cheops-Pyramide und Chepren-Pyramide [Flinders, E2] und auch der Mykerinos-Pyramide auf dem Plateau von Giseh sowie die Abmessungen des Plateaus von Giseh (in Bezug auf die Bebauung mit den drei genannten Großpyramiden in Anlehnung an Flinders Vermessungen) wirken im Abgleich mit Einmess- und Proportionierungsmöglichkeiten in Anlehnung an altägyptische Messtechnologie, Mathematik und Gerstaltungspraxis sowie das herausragende Niveau der altägyptischen Handwerkskunst im Allgemeinen - zu auffällig, um mit einer nur ungefähren, grob annähernden Einmessung im Sinne von Graefe´s Argumenten [Graefe, PDF1] assoziiert zu werden.

5.11 Die Proportionen der Roten Pyramide von Dahschur
Mit der Roten Pyramide von Dahschur begegnet uns die annähernd einfachst mögliche vorstellbare Proportionsform eines Pyramidenbaus, wenn davon ausgegangen werden kann, dass die alten Ägypter mit der Roten Pyramide einen ursprünglichen Neigungswinkel von 45° angestrebt haben sollten. Über diese Annahme wird in der Ägyptologie diskutiert, obwohl Neigungswinkelangaben in der Fachliteratur dahingehend nicht eindeutig sind (siehe z.B. [Arnold, B1] [Stadelmann, B30] [Lehner, 2004]).
Gemäß dem Fall, dass die alten Ägypter für dieses Bauwerk tatsächlich einen ursprünglichen Neigungswinkel von 45° (also eine von der Planung her simple Quadratefigurkonstruktion mit einem einzumessenden Neigungswinkel von 1 : 1 Höhe zu Breite) angestrebt haben und die Frage ausklammernd, ob es gestalterische oder bautechnische Gründe waren, die zu einer solchen Pyramidenform der alten Ägypter geführt haben, kann im Sinne von Graefes Theorie gefolgert werden:
Bei der Roten Pyramide von Dahschur wären es die Seitenflächen gewesen, die über ein vermessungstechnisch einfachst mögliches Einmessen im Proportionsverhältnis von 1 : 1 (Breite zu Höhe) hätten eingemessen werden können (und nicht die Kanten über einen Messwinkel von 45° über die Ecken und Kanten der Pyramide).
Nach Graefe hätte sich für die Rote Pyramide von Dahschur mit ihrem hypothetisch angenommenen Neigungswinkel von annähernd 45° diagonal über die Kante gemessen ein einzumessender Neigungswinkel von ca. 54,8° ergeben. Auf dieses Bauwerk angewendet greift Graefe´s Theorie also nicht im Sinne der Diagonaleinmessung über die Kante einer Pyramide: Bei der Roten Pyramide von Dahschur wäre das Einmessen der Seitenflächen über ein Proportionsverhältnis von 1 : 1 (Breite zu Höhe) sogar direktes Vorbild für das Seked-Konzept gewesen.
Möglicherweise versteht Graefe es so, dass die alten Ägypter dieses Verfahren ursprünglich bei der Roten Pyramide (bei einer Einmessung über die Seitenflächen) anwandten, um es schließlich für spätere Pyaramidenbauten mit anderen Seitenflächen-Neigungswinkeln der Einfachheit halber ebenfalls anzuwenden, dabei jedoch diagonal einmessend über die Ecke.
Graefe´s Argumente würden auch dann an Kraft verlieren: Gemäß dem Fall, dass der Verfasser die Zusammenhänge von Graefe´s Theorie hier korrekt nachvollzogen und wiedergegeben hat, hätten die alten Ägypter tatsächlich auf diese Art und Weise vorgehen können. Die alten Ägypter hätten aber bei Anwendung dieser vorstellbaren Einmesstechnologie trotz der von Graefe vermuteten Vereinfachung des Bauprozesses einer Pyramide ohne vorherige Modellversuche o.ä. keine Hinweise darauf besitzen können, welche Form einer Pyramide im Ergebnis solcher Vermessungspraxis entstanden wäre. In solchen vorstellbaren Modellversuchen erschließen sich weiterführendere Einmessstrategien experimentell jedoch sehr rasch und weiterführend, wobei wir im Hinblick auf die Entwicklung ihrer Vermessungstechnologien durch die alten Ägypter von großen Zeiträumen und von einer stark motivierten innovativen Auseinandersetzung ausgehen können.

Fazit: Es ist den alten Ägyptern durchaus zuzutrauen, dass sie Kenntnis darüber besessen haben dürften, wie sich variable Proportionen auf Neigungswinkel z.B. eines Pyramidenbaus exakt mit den ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln und Methoden - unter Verwendung des Seked-Prinzips - im Bauprozess hätten übertragen lassen.

5.12 Die Proportionen der Cheops- und Chepren-Pyramide auf dem Platteau von Giseh
Sowohl die Cheops-Pyramide als auch die Chrepren-Pyramide auf dem Platteau von Giseh waren vermutlich ursprünglich (bis zu ihrem baulichen Verfall, der z.T. durch ihre schließliche Verwendung als Steinbruch [W3]) mit vollständig glatten Außenflächen ausgeführte, bzw. zumindestens so geplante Pyramidenbauten [Stadelmann, B31; B32] [Lehner, B15] [Lehner/Hawass, B17]. Ablesbar ist dies an den teilweise nur noch spärlich erhaltenen Verkleidungssteinen an beiden Pyramiden. Auch an der Mykerinospyramide lässt sich in den 16 unteren Lagen der Pyramide diese Baupraxis der alten Ägypter an den dort verbauten granitenen Verkleidungssteinen (granitene Platten) ablesen [Stadelmann, B31] [W6].

5.13 Die Anwendung des Seked-Prinzips im gestalterischen und handwerklichen Alltag altägyptischer Steinmetzen
Das Seked-Prinzip hätte den altägyptischen Baumeistern nicht nur bei ihrer ursprünglichen Gestaltungsvision einer Pyramide als teilweise Voraussetzung für eine erfolgreiche bautentechnische Umsetzung wertvolle Dienste geleistet. Das Seked-Konzept wäre auch für jeden im alten Ägypten tätigen Gestalter, Steinmetzen und Facharbeiter notwendige Voraussetzung gewesen, um gestalterisch erfolgreich mit an z.B. Werksteine anzuarbeitenden Winkelungen arbeiten zu können, wie wir sie z.B. an den Verkleidungssteinen der Cheops- und Chepren-Pyramide vorfinden können [(siehe z.B. Stadelmann, B30] [W2; W5]).
Vermutlich haben sich beide Einmessmethoden - die Einmessung einer Fläche und die Einmessung einer Neigung (Böschung) an Bauwerken oder Bauwerkselementen im alten Ägypten in ihrer Entwicklung gegenseitig beeinflusst und finden ihre Innovations-Vorläufer sehr wahrscheinlich in dem Aufspannen von rechtwinklig-dreieckigen und rechteckigen Schnur- und Seilfiguren. Im Aufspannen von Schnüren, Seilen und Riemen zu Vermessungszwecken waren die alten Ägypter bewandert, um z.B. die durch die alljährlichen Nilschwemmen bedingten Neueinmessungen von Ackerflächen- und Grundstücken durchführen zu können (siehe hierzu [...] und auch die altägyptische königliche Seilspann-Zeremonie, z.B. [Gandz, A3]).
Dieser Annahme könnte entgegengehalten werden, dass altägyptische Steinmetzen und Fachkräfte Steinblöcke für die Verkleidung z.B. der Cheops-Pyramide zunächst nur grob zurechthauten und verbauten um sie erst bei kompletter Verbauung von ganzen Verkleidungsbereichen zu glätten (was in der Ägyptologie gängige Meinung ist, siehe z.B. [...]). Dennoch hätte auch für solche vorstellbaren Arbeitsschritte eine Vermessung mit Referenzpunkten bei Verbauung von Steinblöcken stattfinden müssen, damit eine Anflächung entpsrechender Qualität hätte erzeugt werden können, wie sie an manchen altägyptischen Pyramiden abzulesen ist (siehe hierzu z.B. [...]).

QUELLEN:
Aufsätze:
[A1] [Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde, Band/Heft 105, S. 67 - 76; ZDB, ID: 2002097; Berlin, Leipzig; Verlag de Gruyter, Hinrichs, Akad.-Verlag]: (Autor unbekannt): Gedanken zum vermutlichen Alter der mathematischen Kenntnisse im alten Ägypten, 1978.

[A2] [Allgemeine Vermessungs-Nachrichten; Band/Heft (??), S. 610 - 615; ZDB ID: 2401800, Verlag Wichmann, VDE Verlag, Wichmann, Wichmann, Berlin (wechselnde Verlagsorte), Karlsruhe, Heidelberg, 1910]: Emilius, A: Vier Jahrtausende Vermessungs- und Katasterwesen in Ägypten, 1910.

[A3] [Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik; Band/Heft 1, Heft 3, S. 255 - 277; ZDB, ID: 1622754. Verlag Springer, Berlin, 1930] Gandz, Solomon: Die Harpedonapten oder Seilspanner und Seilknüpfer, 1930.

[A4] (Quelle: ZDB) Antike Welt (Zeitschrift), Band/Heft 2, S. 189 - 204: Hinkel, F. W.: Die Königspyramiden von Meroe - Bauaufgabe einst und jetzt. Verlag: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Raggi-Verl. von Zabern, (wechselnde Verlagsorte) Mainz, Darmstadt, Mainz, 2002.

[A5] [Mitteilungen des Deutschen Archäologischen Institus, Abteilung Kairo, Band/Heft 41; S. 109 - 143; ZDB, ID: 2060619, Wiesbaden, Berlin, New York, NY, Wiesbaden, Mainz, Berlin, Boston; Verlag Harrassowitz, de Gruyter, Harrassowitz, von Zabern]: Lehner, Marc: The Development of the Giza Necropolis, 1985.

[A6] [Mittelalter: Zeitschrift des Schweizerischen Burgenvereins. Band (Jahr) 5 (2000), Heft 1, PDF erstellt am: 05.08.2020, (persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-165007), ein Dienst der ETH-Bibliothek, Zürich / Schweiz, 2020: Moosbrugger-Leu: Die Schnurvermessung im mittelalterlichen Bauwesen, 2000.


Bücher:
[B1] Arnold, D.: Lexikon der ägyptischen Baukunst. Verlag Artemis, München ; Zürich, 1994.

[B2] Beckerath, J. von: (Münchner ägyptologische Studien ; Bd. 46 / Münchner Universitätsschriften : Philosophische Fakultät): Chronologie des pharaonischen Ägypten : die Zeitbestimmung der ägyptischen Geschichte von der Vorzeit bis 332 v. Chr. Verlag von Zabern, Mainz, 1997.

[B3] Cantor, M.: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik - Von den ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 N. Chr. Bd. 1, 3. Aufl. Verlah Teubner, Leipzig, 1907.

[B4] Crilly, T.: 50 Schlüsselideen der Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009.

[B5] Edwards, I. E. S.: Die Ägyptischen Pyramiden. MZ-Verlagsdruckerei, Memmingen, 1961.

[B6] Goyon, J.C.: La Construction Pharaonique, Verlag Picard, Paris.

[B7] Goyon, G.: Die Cheopspyramide - Geheimnis und Geschichte. Weltbild Verlag, Augsburg, 1990.

[B8] Janosi, P.: Die Pyramiden - Mythos und Archäologie, 2., durchgesehene und aktualisierte Aufl. Verlag CH Beck, München, 2010.

[B9] Korff, F.-W.: Der Klang der Pyramiden - Platon und die Cheopspyramide: Das enträtselte Weltwunder. Verlag Olms, Hildesheim, 2008.

[B10] Korff, F.-W.: Das musikalische Aufbauprinzip der ägyptischen Pyramiden. Verlag Olms, Hildesheim, 2015.

[B11] Kubisch, S.: Das Alte Ägypten - Von 4000 bis 30 v. Chr. Verlag Marix, Wiesbaden, 2017.

[B12] Lauer, J.-Ph.: Das Geheimnis der Pyramiden, Verlag Moewig, Bd. Nr. 3387, Rastatt, 1988.

[B13] Lehmann, J.: So rechneten Ägypter und Babylonier - 4000 JAhre Mathematik in Aufgaben. 1. Aufl., Urania-Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1994.

[B14] Lehner, M.: Das erste Weltwunder - Die Geheimnisse der ägyptischen Pyramiden. Verlag Econ, Düsseldorf / München, 1997.

[B15] Lehner, M.: Das Geheimnis der Pyramiden. Verlag Bassermann in Verlagsgruppe Randomhous, München, 2004.

[B16] Lehner, M.: The egyptian Heritage. Edgar Gayce Foundation (USA), 1977.

[B17] Lehner, M. / Hawass, Z.: Giza and the Pyramids. Verlag von Zabern (Imprint der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft), Darmstadt, 2017.

[B18] Lepsius, R.: Die alt-aegyptische Königselle und ihre Einteilung. Aus den Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin; Berlin, 1865.

[B19] Maor, E.: The Pythagorean theorem - a 4000-year history. Princeton University Press, New Jersey (USA) / United Kingdom, Oxfordshire, 2007.

[B20] Minow, H.: Königselle und Metermaß - Die antiken Längeneinheiten im Zusammenhang: Ein Beitrag zur Metrologie mit sechs Tabellen und zehn Abbildungen (Schriftenreihe des Förderkreises Vermessungstechnisches Museum e.V.). Bd. 22, Förderkreis Vermessungstechnisches Museum e.V. (Hrsg.), Dortmund, 1996.

[B21] Müller-Römer, F.: Der Bau der Pyramiden im Alten Ägypten, Verlag Utz, München, 2011.

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[B29] Seidel, M. / Schulz, R.: Kunst & Architektur Ägypten, Verlag Tandem, Potsdamm, 2005.

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[B31] Stadelmann, R.: (Welt der Wunder - Wunder der Welt:) Die großen Pyramiden von Giza. Akademische Druck- u. Verlagsanstalt, Graz, 1990.

[B32] Tyldesley, J.: Mythos Ägypten - Die Geschichte einer Wiederentdeckung. Verlag Reclam, Stuttgart, 2006.

[B33] Tompkins, P: Cheops - Die Geheimnisse der Grossen Pyramide. Verlag Gondrom mit Genehmigung des Scherz Verlages, Bern und München, 1973.

[B34] Winkler, R.: Logistik des Pyramiden-Baues - Untersuchung der Logistik des Planens, des Messens, des Bauens, der ägyptischen Pyramiden. genehmigte Abhandlung / vorgelegte Arbeit zur Erlangung der Dr. -Ing.-Würde), vorgelegt bei Fakultät 1 Architektur und Stadtplanung, Universität Stuttgart, 2001.

PDF-Quellen und Onlinedateien (Artikel, Abhandlungen, Rezensionen u. Monografien):
[PDF1] Graefe, E.: Über die Determinanten des Pyramidenbaus.
https://www.uni-muenster.de/imperia/md/ ... _v/pyr.pdf

[PDF2] Korff, F. W.Mathematische Berechnungen beweisen, daß die Neigungen der Pyramiden musikalischen Intervallen aus der Partial- und Obertonreihe entsprechen. Widerlegung der Rezension des Prof. Dr. Frank Müller-Römer, 2010.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... e/2010/588

[PDF3] Goethe Universität, Frankfurt a.M.: Köpp-Junk, H. / Junk, P.: Rezension zu: Frank Müller-Römer, Der Bau der Pyramiden im Alten Ägypten (München 2011).
URL: http://s145739614.online.de/fera/ausgab ... p-Junk.pdf

[PDF4] Minow, H.: Königselle und Metermaß : die antiken Längeneinheiten im Zusammenhang ; ein Beitrag zur historischen Metrologie mit sechs Tabellen und Zehn Abbildungen, 1996.
https://d-nb.info/997991038

[PDF 5] Müller-Römer, F..: Grundsätzliche Überlegungen und Feststellungen zum Bau der Pyramiden im Alten Reich, 2019.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... /2019/4403

[PDF 6] Müller-Römer, F.: Ist das Rätsel um die äußere Form der Pyramiden gelöst?
Titelzusatz: oder Der Klang der Pyramiden - Wirklichkeit oder Wunschdenken?". Vortrag am 18. Juli 2009 anlässlich der 41. Ständigen Ägyptologenkonferenz in Münster, 2009.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... e/2009/307

[PDF 7] Müller-Römer, F.: Pyramidenbau im alten Ägypten - auch eine vermessungstechnische Meisterleistung, 2011.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... e/2010/706

[PDF 8] Müller-Römer, F: Pyramidenbau mit Rampen und Seilwinden: Ein Beitrag zur Bautechnik im Alten Reich. Dissertation, LMU München: Fakultät für Kulturwissenschaften, 2008.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... te/2008/92

[PDF 9] Müller-Römer, F. : Rezension zu: Friedrich Wilhelm Korff, Das musikalische Aufbauprinzip der ägyptischen Pyramiden, 2016.
DOI: https://doi.org/10.21248/fera.29.168

[PDF 10] Ziegler, H.: Die Elle als Längenmaß in den ägyptischen Tempeln der griechisch-römischen Epoche: Edfu - Dendera - Kalabascha.
DOI: https://doi.org/10.24355/dbbs.084-201302040941-0
URN: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gb ... 3020409429

E-Books:
[E1] Platon: Nomoi - Staatstheorie: Das Ziel der Gesetzgebung + Lehren aus der Geschichte + Die Staatsgründung + Die staatliche und soziale Ordnung. Musaicum book / OK Publishing (Hrsg.), 2017.

[E2] Petrie, Flinders: The Pyramids and Temples of Gizeh, Verlag Read Books Ltd., 2020.

[E3] Stocks, Denis A.: Experiments in egyptian Archaeology - Stoneworking technology in Ancient Egypt. Verlag Routledge,
Taylor & Francis Group, London; New York, 2004.

Wikipedia (DE):
[W1]
("Alte Maße und Gewichte", 2022)
(german) Wikipedia, [online]
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Seite „Pyramiden von Gizeh“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. Januar 2022, 15:28 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =219026821 (Abgerufen: 21. August 2022, 17:15 UTC)

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Seite „Pythagoreisches Tripel“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 21. August 2022, 20:02 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =225525568 (Abgerufen: 25. August 2022, 10:31 UTC)

NACHGETRAGENE QUELLEN:
Bücher:
[N\B1] Eberlein, J. K.: Albrecht Dürer. Verlag Rowohlt Taschenbuch, Hamburg, 2003.

[N\B2] Herodot: Historien. 7. Aufl., Verlag Pathmos / Artemis & Winkler, Düsseldorf, 2006.

[N\B3] Hecht, K.: Maß und Zahl in der Gotischen Baukunst. Verlag Olms, Hildesheim, 1997.

[N\B4] Reiss, K./ Schmieder, G.: Basiswissen Zahlentheorie - Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche. 2. Aufl., Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2007.

[N\B5] du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 7. Aufl., dtv Wissen / Deutscher Taschenbuch Verlag, 2013.

[PDF´s:]
[N\PDF1] Müller-Römer, F.: Die Mathematik im alten Ägypten. 2016
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... /2016/3219

(deutsche) Wikipedia:
[N\W1] Seite „Florenz“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. September 2022, 07:00 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =226065190 (Abgerufen: 15. September 2022, 09:46 UTC)

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[N\W7] Seite „Rainer Stadelmann“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 12. März 2021, 22:32 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =209735194 (Abgerufen: 15. September 2022, 10:04 UTC)
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 22.08.2022 20:34

- BEITRAG BEFINDET SICH IN BEARBEITUNG -
- trotz sorgfältiger Prüfung keine Gewährleistung für die Korrektheit sämtlicher Berechnungen in diesem Beitrag -
- Namensgebungen / Datierungen - sofern unkommentiert - nach [von Beckerath, 1997] (folgt) -

TEIL II:

Inhaltsverzeichnis (Teil II)
5.14 Die Proportionierung altägyptischen Pyramiden war mit simplen Techniken möglich
5.15 Weitere Argumente gegen Graefe´s Theorie: 12-Ellen-Schnur und 100-Ellen-Seil
5.16 Proportionale Variationen der 12-streckigen-Messchnur (ihre proportionalen Teilungen und Vervielfachungen):
5.17. Die alte ägyptische Königselle
5.17.1. Feineinteilungen der altägyptischen Messstäbe und ihre Variationen
5.18. Sonderfall Maßeinheit Remen (Pygon)
6. Die altägyptischen Harpedonapten
6.1. Die aus dem summarischen Tripel 3 : 4 : 5 resultierende 12-streckige Schnur
7. Differenzierung zwischen verwendetem Grundmaß und proportionaler Einteilung für die 12-streckige Schnur
8. Die aus der 12-streckigen Vermessungsschnur ableitbaren ganzzahligen Proportionen
9. Potenzielle spezielle Sonderformen des Aufspannens mit der 12-streckigen Schnur
10. Das potenzielle 100-Ellenseil der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser
11. Das 100-Ellen-Seil in der Verwendung als Seilzirkel
11.1. Beispiele
12. Die Proportionen der Cheops-Pyramide
13. 13. Die Proportionen der Cheops-Pyramide mit einem 100-Ellenseil als Seilzirkel erzeugen
14. Aufspann-Option mit der Kombination aus langer Schnur (84 shep) und kurzer Schnur (60 shep)
14. Problematik der Kombination von 60-, 72- und 84-shep-Schnüren
15. Messtechnische Kompatibilität von Messschnüren und -seilen
15.1. Mit 12-streckige Schnur
15.2. Mit 100-Ellen-Messseil
15.3. Mit 50-Ellen-Messseil
15.4. Mit 12-streckiger Schnur (als Schnurzirkel)
15.5. Mit 50-streckiger Schnur (als Rechteckfigur oder als Schnurzirkel)
15.6. als Rechteckfigur
15.7. Mit 100-Strecken-Seil (als Rechteckfigur oder als Schnurzirkel)
15.8. als Rechteckfigur
15.9. Proportionale Verlängerungen und Verkürzungen von Messschnüren
16. Die Mykerinos-Pyramide auf dem Platteau von Giseh
17. Alternative Möglichkeit, die Proportionen der Chepren-Pyramide zu erzeugen
18. Die Proportionen der Chepren-Pyramide: Aufspannvariante
19. Proportion der Mykerinos-Pyramide von 1,25 : 1 mit einem Schnurzirkel erzeugen
20. Resümee´zu der Erzeugbarkeit von Proportionen altägyptischer Pyramiden
20.1. Vorstellbarer bautenplanerischer Hintergrund für das alte Ägypten

5.14 Die Proportionierung altägyptischen Pyramiden war mit simplen Techniken möglich
Die praktikable tabellenartige Gegenüberstellung zweier Zahlenreihen nach dem Prinzip des Sekeds hätte den alten Ägyptern wertvolle Alltagsdienste geleistet und ein Rechnen mit dafür zu erlernenden Berechnungsformeln für die Proportionierung einer altägyptischen Pyramide über das mathematische Prinzip des Seked theoretisch sogar überflüssig gemacht. Vielmehr ist es wahrscheinlich sogar anzunehmen, dass die alten Ägypter bei der Entwicklung der Stammbruchrechnung in Übereinkunft mit vermessungstechnischen Fragestellungen zunächst eine Arbeitsweise mit Gegenüberstellungen von Zahlenreihen entwickelten, aus denen sie schließlich vereinfachende, jedoch in der Anwendung vom Logik-Niveau her komplexere Berechnungsformeln ableiteten: Die Entwicklung der Vermessung mit Schnur und Seil, der Stammbruchrechnung und der arithmetischen Konzeptionierung der altägyptischen Längenmaße gingen wahrscheinlich Hand in Hand.
Anhand der folgenden Beispiele soll aufgezeigt werden, wie einleuchtend das Seked-Prinzip in Verbindung mit der altägyptischen Stammbruchrechnung funktioniert, um rechtwinklige Proportionsfiguren in rechnerisch-tabellarischer Rechenweise zu erzeugen (mit dieser Methode lassen sich selbst sehr umfangreiche Maßwertlisten unkompliziert erstellen; z.B. unter ausschließlicher Verwendung von Schreibgrund und z.B. Abzählsteinchen ausreichender Anzahl).
Markant an diesen simpel zu erstellenden Kalkulationsreihen sind dieselben wiederkehrenden Wiederholungsfolgen, die sich auch im alten Ägypten sehr leicht hätten abschreiben und auch mündlich überliefern lassen.
Es wäre für die alten Ägypter also gar nicht zwangsläufig notwendig gewesen, Berechnungsformeln [Robins/Shute, B24] als Logik-Leistung für die Anwendung des Seked-Prinzips zu verwenden, wenn auch diese natürlich ihren unbestreitbaren Nutzen für die Rechenkundigen im alten Ägypten besessen hätten.
Rechenformeln als vereinfachende Innovation damaliger Zeit setzten sich vermutlich eher für Rechenkundige im alten Ägypten durch. Die Existenz von Rechenformeln, wie wir aus dem Rhind Papyrus ableiten können, bedeuten jedoch keineswegs zwangsläufig, dass altägyptische Fachkräfte, die das Seked-Prinzip nutzten, auch die für die Berechnung des Seked erforderliche Formel(n) beherrschen mussten, um erfolgreich die Einmessung einer Pyramide vornehmen zu können.
(siehe Rhind Paphyrus [Robins/Shute, B24], (siehe hierzu im Hinblick auf arithmetische Berechnungsreihen zu altägyptischen Pyramidenbauten auch [Winkler, B24]):

5.14.1Maßeinheiten nach altägyptischer Königselle:
(siehe z.B. [Arnold, B1] [Lepsius, B18]) [W1])

djeba = Fingerbreite (1/28 meh)
schesep = Handbreite (4 djeba, 1/7 meh)
meh = 7 Schesep oder 28 djeba
meh = (7 * 4) djeba
schesep = (4 * 1/28) meh

5.14.2 Beispiel: Seked 5 + 1/4 (Chepren-Pyramide)
hier bei Höhe (schesep) : halbe Basisbreite (schesep) (rechtwinklige dreieckige Proportionsfigur)

Höhe : Basis/2
7 : (5 + 1/4)
14 : (10 + 1/2)
21 : (15 + 1/2 + 1/4)
28 : 21 {Chepren-Pyramide}
35 : (26 + 1/4)
42 : (31 + 1/2)
49 : (36 + 1/2 + 1/4)
56 : 42
63 : 47 + 1/4
70 : 52 + 1/2
usw. usf.

5.14.3 Beispiel: Seked 5 + 1/2 (Cheops-Pyramide)
hier bei Höhe (schesep) : halbe Basisbreite (schesep) (rechtwinklige dreieckige Proportionsfigur)

Höhe : Basis/2
7 : (5 + 1/2)
14 : 11
21 : (16 + 1/2)
28 : 22 {Cheops-Pyramide}
35 : 27 + 1/2
42 : 33
49 : (38 + 1/2)
56 + 44
63 + (49 + 1/2)
70 : 55
usw.

5.15 Weitere Argumente gegen Graefe´s Theorie: 12-Ellen-Schnur und 100-Ellen-Seil
Von besonderem Interesse im Hinblick auf Argumente gegen Graefe´s Theorie der Wahrscheinlichkeit der Überflüssigkeit des Seked beim Pyramidenbau im alten Ägypten sind die Möglichkeiten der Schnur- und Seilvermessung innerhalb eines in sich stimmigen und auf die altägyptische Mathematik abgestimmten Maß- und Proportionssystems. Dies lässt sich u.a. aus der Grundeinteilung der alten Ägyptischen Königselle (meh) [Lepsius, B18] im Abgleich mit den Messschnüren, Messeilen und Messriemen der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser ablesen, wie noch aufgezeigt werden wird.

5.16 Proportionale Variationen der 12-streckigen-Messchnur (ihre proportionalen Teilungen und Vervielfachungen):
Mit den Messwerkzeugen der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser, zu denen hypothetisch
auch das das 100 Ellen lange Messseil (als vermutliche Ableitung des altägyptischen Hohlmaßes chet gehörte (siehe hierzu [W3] [W4]), ist das Aufspannen markanter rechteckiger und rechtwinklig-dreieckiger Proportionsfiguren (Grundproportionen) möglich. Verschiedene spezielle Techniken erzeugen darüber hinaus Spezial-Variationen des Aufspannens (siehe z.B. [Moosbrugger-Leu, A5] oder z.B. die Verwendung der Vermessungswerkzeuge aus Schnur oder Seil als einfacher oder gedoppelter Schnur- oder Seilzirkel (es existieren diverse vermessungstechnische Varianten, die sich mit Schnüren. Seilen und Riemen durchführen lassen, auf die aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs in dieser Abhandlung nicht in Gänze eingegangen werden kann).

Die hypothetischen Messschnüre, Messeile und Messriemen der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser:
(nach [W3] [W4])
60 schesep = kurze Schnur; nach [W4] aufgeteilt in Teilstrecken von jeweils 5-schesep
(60 + 10) = 70 schesep = verlängerte kurze Schnur; nach [W4] aufgeteilt in Teilstrecken von jeweils 5 schesep
72 schesep Schnur = mittlere Schnur; nach [W4] aufgeteilt in Teilstrecken von jeweils 6-schesep
84 schesep = lange Schnur; nach [W4] aufgeteilt in Teilstrecken von jeweils 7 schesep

240 djeba = 5 * 12 schesep = 60 schesep = 8 + 1/2 + 1/14 meh

280 djeba = 60 + 10 schesep = 70 schesep = 10 meh

288 djeba = 6 * 12 schesep = 72 schesep = 10 + 1/14 meh

336 djeba = 7 * 12 schesep = 84 schesep = 12 meh

2800 djeba = 700 schesep = 100 meh

5.17 Die alte ägyptische Königselle
Die alte ägyptische Königselle (meh) besteht aus Teilstrecken von 28 Fingern (djeb, bzw. djeba) [W1] wobei 4 djeba der altägyptischen Königselle eine Handbreite (schesep) ergeben. 7 schesep ergeben nach Lespius eine alte ägyptische Königselle. Eine alte ägyptische Königselle ummisst nach Lepsius etwa 52,5 cm [Lepsius, B18].

5.17.1 Feineinteilungen der altägyptischen Messstäbe und ihre Variationen
[Roik, B26]:
"kleine Elle" von 6/7 meh = 24 djeba
Remen (rmn) von 5 schesep = 20 djeba
und weitere, auf die hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs nicht explizit weiter eingegangen wird (siehe zum Thema [Roik, B26, S. 13] und [Lepsius, B18]).
In der Gesamtheit verfügten die alten Ägypter mit den von ihnen verwendeten Grundmaßen und deren Einteilungen über einen beachtlichen "Werkzeugkasten" an Proportionierungs- und Einmess-Möglichkeiten, die z.B. durch den Einsatz des Senklots sowie des Senklotdreiecks (...) der alten Ägypter (siehe z.B. [Stocks, E3]) und die Anwendung des Seked-Prinzips sowie der altägyptischen Stammbruchrechnung komplettiert wurden. Die altägyptische Maßeinheit Remen stellte dabei einen Sonderfall aufgrund ihrer Kompatibilität zur alten ägyptischen Königselle und zur Quadratfigur-Konstruktion dar.

5.18 Sonderfall Maßeinheit Remen (Pygon)
Die Maßeinheit altägyptisches Remen (rmn) (oder auch altgr. Pygon) (siehe z.B. [Roik, B26] steht mit der alten ägyptischen Königselle über die Quadratfigur-Konstruktion in Verbindung: Die alte ägyptische Königselle bildet zum Remen (als Näherungskonstruktion) das annähernd mathematische Verhältnis zwischen Diagonale und Grundseite einer Quadratfigur. Der (messtechnisch begründbare) Näherungswert für die Quadratwurzel aus 2, die sich aus dem Proportionsgefüge der Quadratfigur ergibt, beläuft sich dabei im Proportionsverhältnis zwischen Remen und alter ägyptischer Königselle auf 5 : 7 was einem dezimalen Faktor von glatt 1,4 entspricht.
Auffällig sind dabei die Zahlenwerte 5 und 7, die addiert den Zahlenwert 12 ergeben; 5 + 7 = 12. Damit widerum nehmen Remen und alte ägyptische Königselle hypothetisch direkten Bezug auf die Vermessung mit Schnur und Seil der alten Ägypter., denn das Prinzip der 12-streckigen Schnur mit den Streckenlängen 3 : 4 : 5 lässt sich (spezifisch) direkt auf die Quadratfigurkonstruktion anwenden.

6. Die altägyptischen Harpedonapten
Die altägyptischen Harpedonapten waren versiert im Aufspannen von Schnüren (und Seilen) zum Zwecke der Vermessung im alten Ägypten (so wird es zumindestens in der Ägyptologie diskutiert und teilweise auch benannt (siehe z.B. [Gandz, A6].
Diskussionen in der Ägyptologie über die korrekte Herkunft der Begrifflichkeit "Harpedonapten" und deren konkrete Tätigkeitsfelder und die Frage, ob Harpedonapten tatsächlich im Aufspannen Rechter Winkel zur Bauflächenergründung versiert und tätig waren (siehe Gandz Gegenrede hierzu [Gandz, A3]) klammert der Verfasser in den in diesen vorliegenden Beiträgen zum Thema Proportionen altägyptischer Pyramiden generell aus, weil die Erörterung dieser Diskussion in diesem Beitrag zu weit führen würde (siehe [Gandz, A3], siehe hierzu auch [W4]).
Auch geht der Verfasser nicht näher auf eine Spezifizierung der konkreten hypothetischen Betätigungsgebiete der altägyptischen Harpedonapten ein, die im Zusammenhang mit der Verwendung der Begrifflichkeit Harpedonapten in der Ägyptologie diskutiert werden. Die Quellenlage hierzu erscheint dem Verfasser aktuell uneindeutig.

Aus Proportionsphänomenen, die sich aus den Abmessungen des Plateaus von Giseh ableiten lassen (siehe Flinders präzise Vermessungen, über die im Jahre 1883 veröfentlicht wurde [Flinders, E2]) lässt sich die Hypothese ableiten, dass die alten Ägypter zur Zeit der Erbauung der Pyramiden von Giseh (Altes Reich) die technologische Möglichkeit der 12-Streckenschnur und die draus resultierende Möglichkeit, mit einem Streckenprinzip von 3 : 4 : 5 Strecken als summarisches Tripel Rechte Winkel aufzuspannen, gekannt haben müssen. Die Proportionen auf dem Plateau von Giseh deuten mit sehr großer Wahrscheinlichkeit darauf hin.
Mit dem Einsatz der in der Antike weitverbreiteten 12-streckigen Schnur (siehe z.B. [Gandz, A3]) wären die altägyptischen Schnur- und Seilvermesser dazu befähigt gewesen, zahlreiche Vermessungstricks mit Schnüren und Seilen anzuwenden.
Für die Anwendung der 12-streckigen Schnur im alten Ägypten existieren jedoch offenbar lediglich Indizien und keine konkreten Nachweise (siehe [Gandz, A6] versus [W4]). Müller-Römer z.B. nimmt allerdings konkreten Bezug auf die Annahme, dass die alten Ägypter die 12-streckige Vermessungsschnur (bzw. ein solcehs Seil) gekannt haben und auch für Einmessungen verwendeten (siehe [Müller-Römer, N\PDF1]).

Einmessung mit Schnur und Seil wie sie die alten Ägypter nachweislich praktizierten [W4] wäre ohne das naheliegendste summarische Tripel 3 : 4 : 5 aus dem die Einteilung der 12-streckigen Schnur resultiert, unter eine gänzlich differezierendere Gesamtuntersuchung zu stellen. Die 12-streckige Schnur war im Altertum jedoch weit verbreitet (siehe z.B. [Gandz, A3] und summarische Tripel stellen eine spezielle - im Zahlenraum der natürlichen Zahlen eher seltene - Phänomenik dar. Das summarische Tripel ist als arithmetisches Beziehungsgefüge jedoch relativ einfach zu entdecken:

Hierfür genügt es, die sogenannten Dreieckszahlen zu analysieren. Dies ist ganz einfach zu bewerkstelligen unter Verwendung gleichartiger Elemente (z.B. Körner, Steinchen, Fingerstupser im Sand) in Affinität zu den aus der Zahlentheorie bekannten sogenannten Dreieckszahlen.:

o = einzelnes Element

Verfielfachung des Grundelements nach dem Prinzip k{1} + 1 = k{2}; k{2} + 1 = k{3} usw.:
o
oo
ooo
oooo
ooooo
usw.

oder auch:

1
1 + 1
1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1
usw.

Werden die Elemente der einzelnen Reihen in Aufeinanderfolge addiert (summiert) entsteht die Reihe der Dreieckszahlen (siehe z.B. [Crilly, B4]):

0 + 1 = 1
1 + 2 = 3
3 + 3 = 6
6 + 4 = 10
10 + 5 = 15

Diese Vorgehensweise lässt sich innerhalb der sich ergebenden Anordnung der Grundelemente in Anlehnung an die Entstehung der Reihe der Dreieckszahlen verschieben. Es entsteht folgende von unendlich zahlreichen Möglichkeiten:

ooo
oooo
ooooo

oder auch:

3 (nach Dreieckszahlenreihenentwicklung eigentlich resultierender Zahlenwert 6)
4 (nach Dreieckszahlenreihenentwicklung eigentlich resultierender Zahlenwert 10)
5 (nach Dreieckszahlenreihenentwicklung eigentlich resultierender Zahlenwert 15)

Werden die aufgezeigten Elemente jedoch in Aufeinanderfolge und losgelöst von dem stringenten System der Reihe der Dreieckszahlken betrachtet, entsteht die folgende Summierungsmöglichkeit:

3 + 4 + 5 = 12

Das summarische Tripel 3 : 4 : 5 ist im Abgleich mit zusätzlicher arithmetischer und vermessungstechnischer Analyse also als recht naheliegend zu entdecken, wenn man sich intensiver mit den Eigenschaften gleichartiger Anzahlen auseinandersetzt: Diese Art der mathematischen Auseinandersetzung ist ür die Antike dabei sehr wahrscheinlich, weil sie auf das Prinzip der sogenannten figurierten Zahlen übertragen werden kann (siehe hierzu z.B. [Crilly, B4]), denn die Elementen-Konstallation

ooo
oooo
ooooo

lässt sich simpel umformen zu

oooo
oooo
oooo

also zu einer sogenannten Rechteckzahl mit den daraus resuliterenden Abmessungen einer Rechteck-Flächenkonstellation von 3 * 4 Elementen = 12 Elementen (mehr zu den Möglichkeiten, aus dieser Konstellation altägyptische Vermessungspraktiken abzuleiten, folgt später).

Das nächste summarische Tripel nach dem Tripel 3 : 4 : 5 wäre das Tripel 20 : 21 : 29 [W6]. Nach [W6] wurde dieses Tripel von den alten Ägyptern ebenfalls zur Einmessung von Böschungswinkeln bei einigen altägyptischen Pyramiden verwendet [W6].
(Summarische Tripel werden häufig als pythagoräische Tripel[i] (siehe z.B. [Maor, B19] [W6]), bezeichnet, waren aber hypothetisch bereits weit vor Pythagoras Zeit und Wirken bekannt.
Die Anwendungsmöglichkeiten der 12-streckigen Schnur dürften ihre Auswirkungen auf die Bautenplanung und grundlegende Vermessungstechnik der Antike auch im alten Ägypten gehabt haben (z.B. Einteilungen von Grundmaßen wie bei der alten ägyptischen Königselle im Abgleich mit dem Remen (Pygon) (siehe z.B. [Lepsius B18] [Roik, B26]).

6.1 Die aus dem summarischen Tripel 3 : 4 : 5 resultierende 12-streckige-Schnur
Die sog. 12-streckige Schnur ist eine durch gleichmäßige exakte Abknotungen in 12 gleich lange Teilstrecken aufgeteilte Messschnur (also in manchen Fällen eine sogenannte 12-Knoten-Schnur oder auch 13-Knoten-Schnur, je nachdem, wie geknotet und wie benannt wird).
Aufgespannt zum rechtwinkligen Dreieck für Vermessungs- und Gestaltungszwecke wird die 12-streckige Schnur über die Streckenverteilung 3 : 4 : 5 Strecken (summarisches Tripel). Darüber hinaus sind verschiedene andere Aufspannarten möglich (mehr dazu später).
Die weiteren möglichen ganzzahligen Aufspannmöglichkeiten der 12-streckigen Schnur sind

2 : 2 : 5 (spitzwinklige gleichseitige Dreiecksfigur)

und

4 : 4 : 4 (gleichseitige Dreiecksfigur)

Nachweise für die 12-streckige Schnur und ihre Verwendung existieren seit der Antike (siehe z.b. [...]).

7. Differenzierung zwischen verwendetem Grundmaß und proportionaler Einteilung für die 12-Strecken-Schnur
Für die 12-Strecken-Schnur der alten Ägypten wird in der Ägyptologie offenbar noch darüber diskutiert [W4] ob die alten Ägypter die Harpedonaptenschnur tatsächlich in 12 gleichlange Teilstrecken abknoteten (bzw. markierend unterteilten, z.B. mit Farbmarkierungen), oder ob sich die Abknotung der Harpedonaptenschnur lediglich auf Teilstrecken nach dem summarischen Tripel 3 : 4 : 5 Strecken belief, mit dem sich eine rechtwinkliges Dreiecksfigur aufspannen ließ. Festgemacht wird diese These wohl an dem Fehlen deutlich erkennbarer Abknotungen auf der Darstellung altägyptischer Schnur- und Seilvermesser bei der alltäglichen Arbeit (siehe [...]). Gandz geht sogar so weit und fragt aufgrund der Überlieferungslage (zunächst einmal berechtigterweise) ob die altägyptische königliche Seilspann-Zeremonie überhaupt mit auf irgendeine Art und Weise streckenmäßig eingeteilten Messschnüren oder Messeilen vollzogen wurd, oder ob diese überlieferte altägyptische lediglich zur Absteckung (Markiertung) von Baugrund und der Einnordnung diente [Gandz, A3].
Dem kann allerdings entgegengehalten werden, dass die Grundeinteilung der 12-streckigen Schnur sich in den Konzepten ihrer proportionalen Verlängerungen von 60 shesep (kurze Schnur), 72 shesep (mittlere Schnur) und 84 shesep (lange Schnur) wiederfindet, die jeweils in Abschnitte (Staffelungs-Prinzip) von 5, 6 und 7 shesep (in Bezug auf die Reihenfolge der genannten Vermessungsschnüre) unterteilt sind. Aus diesen Staffelungen resultiert letzendlich für jede Schnurart stets eine Grundeinteilung in 12 gleichlange Streckenabschnitte: kurze Schnur = (5 * 12) schesep; mittlere Schnur = (6 * 12) schesep; lange Schnur = (7 * 12) schesep.
Auf Grund dieses Zusammenhangs kann auch geschlussfolgert werden, dass es (z.B. für Entwürfe für Pyramidenbauwerke der alten Ägypter) zunächst einmal keine Rolle spielte, wie lang eine für z.B. den Modellentwurf einer Pyramide tatsächlich verwendete Teilstrecke war: Hier hätte z.B. die individuelle Daumenbreite des jeweiligen Gestalters (oder Baumeisters) genügt, um eine Messschnur für Entwürfe in 12 gleichlange Streckenabschnitte einzuteilen. Ganz gleich, in welchem altägyptischen Streckenmaß (z.B. djeba, shep, meh) ein altägyptischer Baumeister anschließend geplant hätte: Die Möglichkeiten der proportionalen Gestaltung bei Verwendung einer 12-streckigen Schnur wären aus arithmetischen Gründen im ganzzahligen Bereich stets dieselben gewesen.
Dieser Zusammenhang lässt sich bedingungslos auf sämtliche von den alten Ägyptern nachweislich (oder auch nur potenziell) verwendeten Messschnüren und Messeile (bzw. Messriemen) übertragen: Eine arithmetische Streckengrundeinteilung ist nicht gleich resultierendes tatsächliches Streckenmaß: Die Streckengrundeinteilung entscheidet über die grundlegenden proportionstechnischen Möglichkeiten der Verwendung z.B. einer 12-streckigen Messschnur, während das spezifisch verwendete Grundmaß festlegt, welche Abmessungen mit der spezifischen 12-streckigen Schnur tatsächlich erzielt werden.
Beim Umgang mit der 12-streckigen Schnur muss zwischen der proportionalen Einteilung der Schnur (durch Abknotung) und der verwendeten Grundmaßeinheit unterschieden werden: Eine in12 gleichlange Teilstrecken abgeknotete Vermessungsschnur kann (relativ) beliebig lang sein und ein beliebiges Grundmaß verwenden. Die mit der 12-Strecken-Schnur erzielbaren Grundproportionen bleiben jedoch stets dieselben.

8. Die aus der Vermessungsschnur der Harpedonapten ableitbaren ganzzahligen Proportionen
Aus der 12-streckigen Schnur lassen sich folgende Grundproportionen durch Aufspannen zu Dreiecksformen erzeugen; durch Umschlagen der aufgespannten Dreiecksformen (entlang der Schnurddiagonalen einer aufgespannten rechtwinkligen Dreiecksfigur) kann schließlich das jeweilige spezische Proportionsrechteck als Figur aufgespannt werden:

8.1 Wesentliche Aufspannmöglichkeiten der Harpedonaptenschnur
2 : 5 : 5 (spitzwinkliges gleichschenkliges Dreieck)
3 : 4 : 5 (rechtwinklige Dreieckskonstruktion)
4 : 4 : 4 (gleichseitige Dreieckskonstruktion)

9. Potenzielle spezielle Sonderformen des Aufspannens mit der 12-Strecken-Schnur:
[Moosbrugger-Leu, A5] weist darauf hin, dass für die Verwendung der auch im Mittelalter - neben der generellen Verwendung der gleichseitigen Vermessungsfigur aus Schnur oder Seil (o.ä.) - verwendeten 12-streckigen Schnur eine Sonderform des Aufspannens existiert habe, mit der sich Flächeneinmessungen tatsächlich besonders praktikabel hätten bewerkstelligen lassen. Hierbei handelt es sich um den so benennbaren "Überkreuzschlag":
Eine 12-streckige Schnur wird zunächst zu einer (ggf. auch "verschobenen" Rechteckfigur der Proportionen a = 2 und b = 4 aufgespannt (also aufgespannt bei 2 : 4 : 2 : 4 Teilstrecken). Durch anschließendes Verdrehen der Schnurfigur und Überlagerung der entstehenden Mittenknoten entsteht eine punktgespiegelt symetrische Schnurfigur die aufgebaut ist wie zwei gleichartige gleichseitige sich gegenüberliegende Dreiecksfiguren, die sich an den Spitzen berühren.
Wie [Moosbrugger-Leu, A5] aufzeigt, lässt sich mit dieser Aufspannfigur ein Grundmuster entlang einer gespannten Fluchtschnur erzeugen, dass dem Prinzip der [i]Hexagon-Proportion
(Breite zu Höhe) entspricht und damit automatisch Bezug zur Quadratwurzel aus 3 nimmt. Je nach Exakheit der Knotung und der Materialeigenschaften des Vermessungsmaterials und Dimensionierung der Vermessungsschnüre lassen sich mit dieser Schnuraufspanntechnik relativ exakte Rechte Winkel erzeugen.
Die Aufspannfigur weist damit einen Proportionszusammenhang von 2 : 2 : 2 zu 2 : 2 : 2 (in Bezug auf Seitenlängen) auf die gleichseitigen sich gegenüberliegenden Dreiecke auf. Vom Proportionszusammenhang Breite zu Höhe ergibt sich aus dieser Aufspannfigur das (theoretisch-rechnerische) Proportionsverhältnis (Breite : Höhe) von 1 : ((2/sqrt(3))/3) = 1 : 1,154700 (gerundet).

10. Das potenzielle 100-Ellenseil der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser
Die Fachliteratur verwendet die Begriffe Harpedonapten und altägyptische Landvermesser bzw. Geometer u.a. nicht eindeutig siehe z.B. [Gandz, A3] im Vergleich zu [...]) und es ist teilweise nicht nachzuvollziehen, ob bestimmte Fachliteratur automatisch davon ausgeht, dass Harpedonapten und altägyptische Landvermesser (und andere Begrifflichkeiten) von der Verwendung der Begrifflichkeiten her ein und Dasselbe meinen, oder ob im Hinblick auf mit Schnur und Seil (und Riemen) vermessende Spezialisten im alten Ägypten zwischen verschieden "Berufsgruppen" und auch Ständen differenziert werden muss (siehe z.B. auch die vermutlich durch altägyptische Königsherrscher durchgeführte Seilspannzeremonie (z.B. [Gandz, A3]).
Um jede irreführende Verwendung dieser Begrifflichkeiten und unnötige Diskussionen hierüber zu vermeiden, verwende ich als Verfasser dieses Beitrags für beide Begrifflichkeiten als inhaltlich zusammenfassende Bezeichung "altägyptische Seil- und Schnurvermesser" (und erspare mir jeweils die explizite Erwähnung, dass sich Vermessungen, die mit chnur und Seil durchgeführt werden können, ebanfalls mit Riemen möglich sind).
Altägyptische Schnur- und Seilvermesser verwendeten vermutlich auch ein 100 Ellen langes Messseil. Die Streckeneinheit von 100 Ellen war den alten Ägyptern in Form des Chet (als Streckenmaß als Variante zum Hohlmaß) bekannt und fand nach [W3] auch Verwendung.
Ein 100 Ellen lange Vermessungsseil ist im Hinblick auf die Proportionen der Cheopspyramide auf dem Platteau von Giseh von besonderem Interesse. Die folgende Theorie kann im wissenschaftlichen Sinne zwar nicht bewiesen werden, soll jedoch ebenfalls (als starkes Indiz) angeführt werden um aufzuzeigen, dass sich die Proportionen der Cheops-Pyramide (und anderer altägyptischer Pyramiden mit simplen Aufspanntechniken von Schnüren oder Seilen erzeugen lassen.
Diese Art der hypothetischen altägyptischen Bautenplanung (als zu vermutender ursprünglicher Impuls für die Entwicklung einer altägyptischen Proportionenlehre liegt meiner Meinung nach (und nach dem Prinzip des Ockham´schen Rasiermessers) wesentlich näher als jede andere mir bekannte Möglichkeit, die Proportionen altägyptischer Pyramiden zu erklären:

11. Das 100-Ellen-Seil in der Verwendung als Seilzirkel
Ein 100-Ellenseil kann bei entsprechend vorliegender Einteilung in relativ exakt gleichlange Teilstrecken (z.B. durch Abknotung oder entsprechend farbige Markierung) auch zweckentfremdet im Sinne eines Seil- bzw. Schnurzirkels verwendet werden.
Gleiches Prinzip lässt sich natürlich auf die 12-streckige Schnur und ihre sämtlichen Variationen übertragen.
Die Verwendung als aufgespannter "Zirkel" erzeugt dabei im Ergebnis im Hinblick auf erzeugbare deckungsgleiche Proportionen die gleiche geometrische Phänomenik wie mit Schnur oder Seil aufgespannte Rechteckfiguren.

11.1 Beispiele:
Legen wir ein 100-Ellenseil als (zusammengeknotete) Seilschlaufe zusammen und straffen es, erhalten wir eine Seilstrecke von 50 Ellen. Eine Strecke von 50 Teilstrecken lässt sich (unabhängig vom verwendeten Grundmaß; hier: Elle) nach folgender Systematik in Rechteckfiguren bestimmter Einheiten-Proportionsverhältnisse aufspannen (hier Breite : Höhe : Breite : Höhe):

a und c = Breite
b und d = Höhe

a : b : c : d
1 : 49 : 1 : 49
2 : 48 : 2 : 48
3 : 47 : 3 : 47
4 : 46 :4 : 46
5 : 45 : 5 : 45
6 : 44 : 6 : 44
7 : 43 : 7 : 43
8 : 42 : 8 : 42
9 : 41 : 9 : 41
10 : 40 : 10 : 40
11 : 38 : 11 : 39
12 : 38 : 12 : 38
13 : 37 : 13 : 37
14 : 36 : 14 : 36
15 : 35 : 15 : 35
16 : 34 : 16 : 34
17 : 33 : 17 : 33
18 : 32 : 18 : 32
19 : 31 : 19 : 31
20 : 30 : 20 : 30 (Chepren-Pyramide?; Basisbreite : Höhe)
21 : 29 : 21 : 29
22 : 28 : 22 : 28 (Cheops-Pyramide?; halbe Basisbreite : Höhe)
23 : 27 : 23 : 27
24 : 26 : 24 : 26
-------------------
25 : 25 : 25 : 25 (Quadratekonstruktion) - Spiegelungsachse
-------------------

(auf die Spiegelung der Zahlenreihen wird hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs verzichtet.)

12. Die Proportionen der Cheops-Pyramide
Nach Ansicht sehr vieler Autoren betragen die Proportionen der Cheopspyramide 440 : 280 Ellen (Breite : Höhe) (siehe z.B. [...]). Daraus würde eine Proportion von 220 : 280 Ellen resultieren, wenn wir das halbierte vertikale Haupt-Querschnittsdreieck der Cheopspyramide als Proportionsfigur annehmen. Um den Faktor 10 gekürzt resultiert daraus eine Proportion von 28 : 22 die sich ganzzahlig weiter zu 14 : 11 kürzen lässt und - wie hier aufgezeigt - mit simplen Mitteln erzeugen lässt.

siehe auch:
14 + 11 = 25, 25 * 4 = 100; daraus folgt: (14 * 4) : (11 * 4) = 56 : 44 (als Proportion).

13. Die Proportionen der Cheops-Pyramide mit einem 100-Ellenseil als Seilzirkel erzeugen
Alternativ verwendet als Schnur- oder Seilzirkel lässt sich ein in Teilstrecken in Ellenschritten aufgeteiltes 100-Ellenseil in folgende auffällige Kombinatorik auflösen (hier nach Radius 1 : Radius 2 in Bezug auf eine Kreisringkonstruktion, in die sich Proportionsfiguren geometrisch einbeschreiben lassen):

R1 : R2
20 : 30 (Chepren-Pyramide?)
22 : 28 (Cheops-Pyramide?)
25 : 25

Als Variante lassen sich die Proportionen der Cheops-
Pyramide auch mit einer 72 shesep langen Schnur aufspannen (vollständige Konstruktion Rechteckfigur Höhe Pyramide : Basisbreite):

a = 14 shesep; b = 22 shesep

A = (14 * 22) schesep

U = (14 + 22 + 14 + 22) schesep
U = 72 shesep

(bei Ignorieren der 7-shesep-Staffelung der Messschnur)

Aus der Verwendung der 72 shesep langen Messschnur (nach [W4] mittlere Schnur) der altägyptischen Harpedonapten resultiert eine weitere Aufspannvariante, mit der sich die Proportionen der Cheops-Pyramide erzeugen lassen. Diese im Folgenden beschriebene Methode ist besonders interessant im Hinblick auf den Fund eines in eine vertikale Felswand geritzten bautechnischen seitlichen Aufrisses für eine Klein-Pyramide in der Nekropole von Meroe [Hinkel, A4].

[ZITAT, Müller-Römer, PDF9, S. 5]:
1979 fand Hinkel auf der Nordwand der Kapelle BEG N8 in Begrawija (Meore) eine von ihm in die Zeit um ca. 40 v.Chr datierte Ritzzeichnung, in welche die linke Hälfte eines Pyramidenstumpfes vom Typ X mit 48 horizontalen Steinschichten über eine Höhe von 168 cm dargestellt ist.
[Zitat Ende]

Müller-Römer veröffentlicht eine grafische Abbildung dieser Ritzzeichnung mit der Abbildungsunterschtrift "Anlage 2 Ritzzeichnung zum Bau der Pyramide Nr 2 im Nordfriedhof von Meroe." [Müller-Römer, PDF6, S. 16].

Markant an dieser Art und Weise der Anfertigung eines Pyramidenaufrisses, der über 2000 Jahre nach Erbauung der Cheops-Pyramide im alten Reich (...) angefertigt wurde ist, dass sich dieses Aufrissprinzip unter Verwendung der 72 shep langen Schnur der altägyptischen Schnur- und Seilspanner im Maßstab von (...) zur erbauten Cheops-Pyramide unter Anwendung einer speziellen Aufrisstechnik auch auf die Proportionen der Cheops-Pyramide anwenden lässt.
Hierfür wird an einem vertikalen Aufrissgrund (z.B. geglättete Felswand) zunächst eine waagrechte Linie ausreichender Länge aufgerissen. Dies ist z.B. unter Verwendung des altägyptischen Merchets (Lot-Setzwaage) problemlos durchführbar. Anschließend wird rechtwinklig zur waagrechten Linie eine Vertikale Linie aufgerissen (z.B. unter Zuhilfenahme einer Senklotschnur (...).
Waagrechte Nivellierlinien herzustellen, war den alten Ägyptern möglich, wie einerseits die von Hinkel gefundene Ritzzeichnung von Meroe aufzeigt und z.B. die von Borchardt dokumentierten Nivellierlienien an der Pyramide des Niuserre nachweisen, über die Müller-Römer in [Müller-Römer, B21, S. ] berichtet.

[Zitat, Müller-Römer, B21, S.122]
So weist Borchardtbei der Pyramide des Niuserre auf Nivellierlinien auf dem Kernmauerwerk an der Ostseite (SO-Ecke) hin.
[Zitat Ende]
(dies bezieht sich auf die Abb. bei [Müller-Römer, B21], Anm. des Verf.)

Das Herstellen von waagrechten und vertikalen Linien, die von den alten Ägyptern auch präzise in Rechte Winkelungen zueinander gebracht werden konnten, dürfte handwerkliche "Kernkpompetenz" altägyptischer Gestalter, Steinmetzen, Baumeister, aber auch Schreiber (z.B. für die Wandflächengestaltung) u.a. gewesen sein.
Sind waagrechte linie und im Rechten Winkel dazu stehende vertikale Linie aufgerissen, wird auf der vertikalen Linie, ausgehend vom Schnittpunkt der vertikalen und der waagrechten Linie im Rechten Winkel eine Strecke von 28 shesep Höhe abgetragen und markiert.
Die 72 shesep lange Schnur wird nun mit dem einen (z.B. durch Knoten markierten) Streckenende exakt in den Schnittpunkt des Rechten Winkels und mit dem anderen markierten Streckenende an den (mit 28 shesep Höhe zum Rechten Winkel) markierten Punkt auf der vertikalen Linie angehalten. Anschließend wird die Messschnur in der proprtionalen Aufteilung a : b : a = (halbe Basisbreite : Höhe : halbe Basisbreite = 22 : 28 : 22 Strecken (shesep) zur Schnurfigur aufgespannt und an der Unterseite der Figur in Deckungsgleichheit mit der Waarechten gebracht: Es entsteht unter Verwendung der 72 shesep-Schnur in Kombination mit der zuvor aufgerissenen und im Rechten Winkel stehenden Waagrechten und Vertikalen eine aufgespannte Schnurfigur mit den Proportionen a : b : a : b von 22 shesep : 28 shesep : 22 shesep : 28 shesep mit einem Umfang von 100 shesep, was den Proportionen des halbierten vertikalen Proportionsschnitts durch die Cheops-Pyramide (parallel zur Basiskante) entspricht.
Gemessen in Metern resultiert aus dieser Aufspanntechnik eine rechteckige Proportionsfigur von a : b : a : b = (22 * 0,075 m) : (28 * 0,075 m) : (22 * 0,075 m) : (28 * 0,075 m) = 1,65 m : 2,1 m : 1,65 m : 2,1m was einem Umfang der Aufspannfigur von 1,65 m + 2,1 m + 1,65 m + 2,1m = 7,5 Metern entspricht (bei 1 meh = ca. 0,525 m, 1 shep = 1/7 meh = 0,525/7 m = 0,075 m).

14.1 Problematik der Kombination von 60-, 72- und 84-shesep-Schnüren
Beide zuvor genannten Aufspannoptionen weisen eine Problematik auf, die ein ordentliches Beweisen der hier genannten (beispielhaften) Theorien zum Aufspannen der Schnüre nicht möglich macht. Gleichzeitig liefert diese Problematik jedoch einen Ausblick für die ägyptologische Forschung:
Für die von den altägyptischen Schnur- und Seilvermessern hypothetisch verwendeten Schnüren mit den Längen 60 shep (kurze Schnur), mittlere Schnur (72 shep) und lange Schnur (84 shep) liegen keine (mir bisher bekannten) Nachweise darüber vor, ob diese Schnüre im alten Ägypten hypothetisch über die jeweilige spezifische Staffelung von (5-shep-Schritten, 6-shep-Schritten und 7-shep-Schritten (in Bezug auf die Reihenfolge der genannten Schnüre) von den alten Ägyptern durchmarkiert wurden, oder ob für diese Schnüre im alten Ägypten auch eine generelle grundeinteilende Staffelung (z.B. durch präzise Markierung oder Abknotung) in 1-shep-Schritten in Frage kommt.
Spezifische zuvor erläuterte alternative Aufspanntechniken funktionieren ausschließlich mit Schnüren, die grundlegend in 1-shesep-Schritten (1-shesep-Staffelung) abgestreckt und entsprechend markiert sind.
Dieses "logische Hindernis" für die genannten Thesen zur Aufspannung von Schnüren zwecks Erzeugung von Proportionen zeigt jedoch gleichermaßen auf, welche Fragen im Zusammenhang mit den genannten Thesen von der Ägyptologie noch zu diskutieren wären (da hierfür meines Wissens bisher keine definitiven Nachweise vorzuliegen scheinen):

Teilten die altägyptischen Schnur- und Seilvermesser die von ihnen verwendeten Messschnüre; dies sind die 60 shep lange (kurze) Schnur, die 72 shep lange (mittlere) Schnur und die lange 84 shep lange (die lange) Schnur (sowie das 100-Ellen-Messeil) grundeinteilend in Staffelungen von 1-shep-Schritten (bzw. Ellenschritten) auf, oder nicht, sofern die alten Ägypter die genannten Schnüre überhaupt nachweislich verwendeten?

Logisch naheliegend und handwerklich machbar wäre dies ohne weiteres für die alten Ägypter gewesen, jedoch ist solch eine Annahme und auch die handwerkstechnische Möglichkeit ihrer Existenz kein Beweis im wissenschaftlichen Sinne.
Würde die Ägyptologie sich jedoch darauf einigen, dass diese Möglichkeit mit sehr großer Wahrscheinlichkeit für das alte Ägypten als "wahr" angesehen werden kann, bestünde in puncto "Rätselraten" um die Erzeugung der Proportionen (bestimmter) altägyptischer Pyramiden nach dem Prinzip des Ockham´schen Rasiermessers (auf Grundlage der diversen, hier aufgezeigten Möglichkeiten, mit solchen Vermessungsschnüren und -seilen Proportionsfiguren aufzuspannen) keine Notwendigkeit mehr.

15. Messtechnische Kompatibilität von hypothetischen altägyptischen Messschnüren und -seilen
Die verschiedenen hypothetischen Messschnüre und Messeile der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser (hier: Messchnüre der Längen 60shep, 72 shep unmd 84 shep sowie um 2 shep verlängerte 6-shep-Schnur zu einer Schnur von 70 shep, was einer Schnur von einem meh entspricht) sowie das 100 Ellen lange Messeil der alten Ägypter [nach W3] [W4] sind aufgrund der Kongruenz-Eigenschaften der binären Summe der direkt aufeinanderfolgenden Quadratzahlen 9 und 16 teilweise vermessungstechnisch direkt kompatibel (im Hinblick auf ganze Einheitenschritte).
Der Begriff Kongruenz wird in der Mathematik häufig für die Deckungsgleichheiten der Summe der Längen a+b zu der Länge der Seite c einer rechtwinkligen Dreiecksfigur verstanden. Von Bedeutung sind Kongruenzen z.B. im Bereich der Zahlentheorie [Maor, B19]. Ergibt die binäre ganzzahlige Summe aus a+b eines rechtwinkligen Dreiecks exakt und ganzzahlig c, kann von der Kongruenz von ab zu c und insgesamt von einem in kongruenter Disposition befindlichen rechtwinkligen Dreieck gesprochen werden.
(Zum Thema Kongruenz [Maor, B19] siehe auch Satz des Pythagoras und summarische Tripel - häufig, jedoch fälschlicherweise als "pythagoräische Tripel" benannt: Bereits die alten Ägypter kannten summarische Tripel, wie auch dieser Beitrag aufzeigt, siehe hierzu auch [Maor, B19] und z.B. [W6]).
Das Prinzip der Kongruenz zwischen ab und c erzeugt unter Verwendung der direkt aufeinanderfolgenden Quadratzahlen 9 und 16 den Zusammenhang, dass bestimmte Messtricks, die mit Messschnüren der alten Ägypter ausgeführt werden können, ebenfalls mit dem 100 Ellen langen Messseil sowie dem doppelt zu einer Länge von 50 Ellen zusammengelegten (halbierten) 100 Ellen langen Messseil durchgeführt werden können und ebenfalls auf das geviertelt zusammengelegte 100-Ellenseil von 25 Ellen Länge trifft dies bei hypothetischer Grundeinteilung des Messseils in Ellen-Schritte zu. Daraus resultiert ein Proportionszyklus wie folgt:

12-streckige Messschnur = 3 + 4 + 5 Ellen = 12 Einheiten Länge (als Grundeinteilung)
100-Ellen-Messseil = (2 * 9) + (2 * 16) + (2 * 25) Ellen = 18 + 32 + 50 Ellen = 100 Ellen
50-Ellen-Messseil (z.B. als gedoppelt zusdammmgelegtes 100-Ellen-Messseil = (9 + 16) + 25 = 25 + 25 Ellen = 50 Ellen Länge

Daraus folgt, dass sich die mit der 12-streckigen Messschnur aufspannbare rechtwinklig-dreieckige Proportionsfigur mit proportional entsprechend längeren (oder kürzeren) Schnüren oder Seilen (oder Riemen und ggf. auch z.B. Bindfäden) bei derselben Grundeinteilung aufspannen lässt.
Auf diese Art und Weise sind diverse, entsprechend komplex zu berechnende Aufspannfiguren möglich, auf die hier aufgrund des dafür erforderlichen Umfangs insgesamt nicht eingegangen werden kann; hier deshalb nur eine kleine Auswahl:

15.1 Mit 12-streckiger Schnur:
(in Ellen)
2 : 5 : 5 (spitzwinkliges gleichschenkliges Dreieck)
3 : 4 : 5 (Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks)
4 : 4 : 4 (gleichseitiges Dreieck, Triangulaturdreiecksform)

15.2 Mit 100-Ellen-Messseil:[/]
(in Ellen)
18 + 32 + 50 Ellen (Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks)

[u]15.3 Mit 50-Ellen-Messseil:

(in Ellen)
9 : 16 : 25 Ellen (Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks)
(zu beachten ist hier das ausschließlich aus Quadratzahlen bestehende summarische Tripel, wobie die Quadratzahlen in ihrer natürlichen Ordnung direkt aufeinanderfolgen, weshalb von einer kongruenten Quadratzahl-Konstellation gesprochen werden kann.

Im Hinblick auf den altägyptischen Pyramidenbau lässt sich aus diesem Zusammenhang ableiten, dass sich die Proportionen sämtlicher 3 Großpyramiden auf dem Platteau von Giseh (unabhängig von tatsächlich verwendeten Grundmaßeinheiten) als Hauptproportionen aus Vermessungswerkzeugen aus Schnur oder Seil von 12 und/oder 50 Einheiten und/oder 100 Einheiten Länge im jeweils entsprechenden Maßstab erzeugen lassen:

15.4 Mit 12-streckiger Schnur (als Schnurzirkel):
Mykerinos-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 5 Einheiten : 4 Einheiten

15.5 Mit 50-streckiger Schnur (als Rechteckfigur oder als Schnurzirkel):
als rechtwinklig zueinander stehendes Streckenverhältnis:
Cheops-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 28 : 22
Chepren-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 30 : 20
Mykerinos-Pyramide: mittels Schnurzirkel nach Aufspannen einer rechtwinkligen Dreiecksfigur mit 9 : 16 : 25 Strecken über R1 = 16 Strecken, R2 = 25 Strecken (Kreisringkonstruktion)

15.6 Als Rechteckfigur:
Cheops-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 14 : 11
Chepren-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 15 : 10

15.7 Mit 100-Strecken-Seil (als Rechteckfigur oder als Schnurzirkel):
als rechtwinklig zueinander stehendes Streckenverhältnis:
Cheops-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 56 : 44
Chepren-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 60 : 40
Mykerinos-Pyramide: mittels Schnurzirkel nach Aufspannen einer rechtwinkligen Dreiecksfigur mit 18 : 32 : 50 Strecken über R1 = 32 Strecken, R2 = 50 Strecken (Kreisringkonstruktion)

15.8 als Rechteckfigur:
Cheops-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 28 : 22
Chepren-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 30 : 20

15.9. Proportionale Verlängerungen und Verkürzungen von Messschnüren und Messseilen
Wird die alte ägyptische Königselle z.B. proportional "verlängert" (blow up), lässt sich das Gleiche Einteilungskonzept ideal auf eine 3 Ellen lange Strecke (3 * ca. 0,525 m = ca. 1,575 m) übertragen:
3 meh ergeben 3 * 28 djeba = 84 djeba. Da sich die Zahl 84 durch den Faktor 12 teilen lässt, lassen sich sämtliche Einmessmöglichkeiten, die aus der Einteilung der alten ägyptischen Königselle resultieren, auf eine 3 Ellen lange (in diesem Fall proportional verlängerte ("blow up") Vermessungsschnur übertragen (dies war im Alten Ägypten möglicherweise sinnvolle Praxis, z.B. für verkleinerte Modellentwürfe z.B. von Bauwerken und die generelle Arbeit mit Maßstäben, lässt sich aber vermutlich nicht ordentlich beweisen):

1 meh = 28 djeb
1 meh = 7 schesep
1 schesep = 4 djeba

3 meh = 3 * 28 djeba
3 * 28 djeba = 84 djeba
84 djeba = (84/7) schesep
(84/7) schesep = 12 schesep
84 djeba = 12 schesep
12 schesep = 3 meh

(84/12 * 3) djeba : (84/12 * 4) : (84/12 * 5) = 3 : 4 : 5 Strecken von (3 * 7) djeba : (4 * 7 djeba) : (5 * 7) djeba = 21 djeba : 28 djeba : 35 djeba

oder auch:

1 schesep = 1/7 meh
4 djeba = 1 schesep
(4 * 7) djeba = 28 djeba
(4 * 7) djeba = 1 meh

deshalb:
(84/12 * 3) djeba = 21 djeba
21 djeba = (5 + 1/4) schesep
28 djeba = 7 schesep
35 djeba = (8 + 1/2 + 1/4) schesep

Aus der proportionalen Verlängerung ("blow up") der alten ägyptischen Königselle um den Faktor 3 resultiert im Ergebnis in der Maßeinheit Remen also eine Messschnur von 3 * 7 schesep. Da die Zahl 84 sich auch durch den Faktor 4 teilen lässt, resultiert daraus, dass 1 meh = 3 * 7 schesep in alternativer Schreibweise (84/4) schesep entspricht.
Eine Messschnur von 3 meh Länge lässt sich also ausgedrückt in der Maßeinheit schesep in eine rechtwinklig-dreieckige Proportionsfigur von (5 + 1/4) schesep : 7 schesep : (8 + 1/2 + 1/4) schesep aufspannen, was einer dezimalen Streckenverteilung von 5,25 : 7 : 8,75 Einheiten entspräche.
Aus dem Beispiel einer 3 meh langen Messschnur kann abgelesen werden, wie durchdacht das altägyptische Ellen-System in Kombination mit der Stammbruchrechnung und dem Seked von den alten Ägyptern angewendet werden konnte: Das Seked-Konzept im alten Ägypten kann - wie dieses Beispiel hier sehr deutlich macht - hypothetisch in seiner Entwicklung durch das Aufspannen und Hantieren mit Messschnüren, Messseilen, Riemen oder sogar Fäden beeiflusst worden sein.
Der Sinn von proportionalen Verlängerungen und Verkürzungen der von den alten Ägyptern verwendeten Grundmaße mit ihren spezifischen Einteilungen hätte darin gelegen, dass sich gleich bleibende Proportions-Phänomeniken auf beliebige spezifische Abmessungen von z.B. zu bebauenden Arealen und Bauwerken hätten übertragen lassen und so hat sehr wahrscheinlich auch der planerische Alltag eines altägyptischen Baumeisters mitunter ausgesehen:
Mit kurzen Messchnüren oder ggf. Messtäben (z.B. alte ägyptische Königselle als Messstab) wurde die grundlegende Proportionierung und Durchmaßung z.B. eines einzumessenden Areals oder Bauwerks festgelegt. Im anschließenden Planungsschritt wurde quasi der Vergrößerungsfaktor, also der Maßstab festgelegt, nach dem in tatsächlich verbaute Realität eingemessen wurde. Hierfür wären die verwendeten Grundmaße einfach nach entsprechendem Berechnungsschlüssel verlängert, also proportional hochgerechnet worden, oder aber es wurde einfach ein Einheitenwechsel vollzogen, fiktives Beispiel:

Ein geplantes einzumessendes rechtwinkliges Areal wird im Modellentwurf mit kurzer Messschnur von 84 schesep als rechtwinklig-dreieckige Fläche geplant mit:

a : b : c
(3 * 7) shesep : (4 * 7) schesep : (5 * 7) schesep = 21 schesep : 28 schesep : 35 schesep
bei
21 schesep + 28 schesep + 35 schesep = 84 schesep
84 schesep = 84/7 meh
84/7 meh = 12 meh

in Metern:
bei
1 meh = 0,525 m
1 schesep = 0,525/7 m
1 schesep = 0,075 m

21 schesep : 28 schesep : 35 schesep = (21 * 0,075) m * (28 * 0,075) m : (35 * 0,075) m
(21 * 0,075) m * (28 * 0,075) m : (35 * 0,075) m = 1,575 m : 2,100 m : 2,625 m

(Die Messschnurlänge entspricht nach [W4] der langen Schnur der altägyptischen Harpedonapten). Anschließend vollzieht der fiktive altägyptische Baumeister einen Einheitenwechsel von schesep zu meh, was einer Multiplikation der Maßwerte mit dem Faktor 7 entspricht. So werden aus geplanten schesep schließlich für die geplante Verbauung tatsächlich einmessbare meh:

Geplantes einzumessendes rechtwinkliges Areal bei Faktorisierung des Modellentwurfs mit kurzer Messschnur von 84 schesep als rechtwinklig-dreieckige Fläche; geplant mit schesep, für die Ausführung geplant in meh (Maßstab 7 : 1 Original zu Modellentwurf)

bei
7 schesep = 1 meh

a : b : c
(7 * (3 * 7)) shesep : /7 * (4 * 7)) schesep : (7* (5 * 7)) schesep = (7 * 21) schesep : (7 * 28) schesep : (7 * 35) schesep
(7 * 21) schesep : (7 * 28) schesep : (7 * 35) schesep = 147 schesep : 196 schesep : 245 schesep

in Metern:
bei
1 meh = 0,525 m
1 schesep = 0,525/7 m
1 schesep = 0,075 m

147 schesep : 196 schesep : 245 schesep = (147 * 0,075) m * (196 * 0,075) m : (245 * 0,075) m =
(147 * 0,075) m * (196 * 0,075) m : (245 * 0,075) m = 11,025 m : 14,700 m : 18,375 m

Vergleich (vorher / nachher):

vorher:
a : b : c
21 schesep : 28 schesep : 35 schesep
1,575 m : 2,100 m : 2,625 m

21 schesep + 28 schesep + 35 schesep = 84 schesep
84 schesep = 1,575 m + 2,100 m + 2,625 m
1,575 m + 2,100 m + 2,625 m = 6,300 m

nachher:
a : b : c
147 schesep : 196 schesep : 245 schesep
11,025 m : 14,700 m : 18,375 m

147 schesep + 196 schesep + 245 schesep = 588 schesep
11,025 m : 14,700 m : 18,375 m = 44,100 m

(Mathematischer Hinweis: Die alten Ägypter hätten solche Kalkulationen mittels der Stammbruchrechnung natürlich auf ihre ganz eigene und spezifische Art und Weise durchgeführt, auf die hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs nicht eingegangen werden kann. Als weiterführende Lektüre zu diesem Thema siehe [Lehmann, B13] [Robins / Shute, B24]; zu den Proportionen der um den Faktor 3 verlängerten alten ägyptischen Königselle siehe auch noch folgenden Abschnitt zum Thema Proportionen der Chepren-Pyramide).

16. Die Mykerinos-Pyramide auf dem Platteau von Giseh
Die Proportionen der Mykerinos-Pyramide auf dem Platteau von Giseh lassen sich aufgrund verschiedener Angaben für die Basislänge der Mykerinos-Pyramide in der Literatur nicht eindeutig auflösen, obwohl Flinders bei seinen aufwändigen Vermessungen des Plateaus von Giseh Messwerte nahe im Bereich des von ihm schließlich festgelegten Durchschnittswerts für die Basiskantenlänge der Mykerinos-Pyramide von umgerechnet ca. 105,500 m ermittelt hat [Flinders, E2].
Aufgrund dieser Problematik macht es bisher keinen Sinn, die Mykerinos-Pyramide proportionstechnisch schlüssig analysieren zu wollen. Proportionstechnisch soll dennoch aufgezeigt werden, dass sich die Proportionen der Mykerinos-Pyramide, ausgehend von den von Flinders ermittelten Abmessungen (Höhe : Breite) von ca. 65,5 m : 105,5 m zu der gestalterisch einfach zu bewerkstelligende Proportion 1,25 : 1 umrechnen lässt (sieh hierzu [Flinders, EB2]. Daraus resultiert eine hier angenommene Proportion für die Mykerinos-Pyramide von 10 : 8 Einheiten Höhe : halber Basisbreite (siehe hierzu auch [...]).
Für einen altägyptischen Baumeister hätte es also erfahrungsbedingt genügt, mit der Proportion 5 meh : 4 meh, was einer Proportion von 35 schesep : 28 schesep oder z.B. 20 djeba : 25 djeba entspricht, eine rechtwinklige dreieckige Proportionsfigur zu erzeugen, um eine verbauungstaugliche Vorlage für die Proportionen der Mykerinos-Pyramide zu erhalten.

35 schesep : 28 schesep entsprechen einer Proportion von (35 * 4 djeba) : (28 * 4 djeba) = 140 djeba : 112 djeba, was einer Proportion von 10 : 8 entspricht.

Aufgrund des Proportionszusammenhangs 1,25 : 1 der sich aus der Proportion der Mykerinos-Pyramide bei halber Basisbreite von ca. 105,5/2 m und einer Höhe von etwa 65,5 m ableiten lässt
[Flinders, EB2] resultiert folgendes Proportionsgefüge bei

a = halbe Basisbreite Mykerinos-Pyramide
b = Höhe Mykerinos-Pyramide

a = 1 Einheitenschritten = 1,25 Einheiten

a + b + a + b = (1 + 1,25 + 1 + 1,25) Einheiten = 4,5 Einheiten

hypothetische mittlere Schnur der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser = 72 shesep

72 shesep / 4,5 = 16

daraus folgt:

(16 * 1) shesep + (16 * 1,25) shesep + (16 * 1) shesep + (16 * 1,25) shesep = 16 shesep + 20 shesep + 16 shesep + 20 shesep

dieser Zusammenhang ist gleichbedeutend mit einer rechteckigen Proportionsfigur von 16 * 20 shesep bei a = 16 shesep und b = 20 shesep.

Die modellhafte Poroprtionsfigur (entsprechenden Maßstabs) für die Mykerinos-Pyramide lässt sich also alternativ (unter der genanten Bedingung der Staffelung in 1-shesep-Schritte) mit der hypothetischen 72 shesep langen Messschnur der alten Ägypter aufspannen.

17. Alternative Möglichkeit, die Proportionen der Chepren-Pyramide zu erzeugen
Die aus den Bauabmessungen der Chepren-Pyramide (1,5 : 1, siehe [Flinders, EB2]) ableitbaren Grundproprtionen lassen sich als Schnur-Rechteck unter Verwendung der hypothetischen 60 shep langen Schnur der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser aufspannen.
(bei Ignorieren der 5-shesep-Staffelung der Messschnur bei einer Grundeinteilung in 1-shesep-Strecken).

Bauabmessungen der Chepren-Pyramide (nach [Flinders, EB2])
Basisbreite = ca. 215,5 m
Höhe = ca. 143,5 m

Proportion Chepren-Pyramide
Basisbreite : Höhe = 215,5 m / 143,5 m = 1.5017421603 = ca. 1,5
a = Höhe
b = Basisbreite

Proportion
1,5 : 1 : 1,5 : 1 = b : a : b : a

Umfang der zugehörigen Rechtecksfigur
U = b + a + b + a = 1,5 + 1 + 1,5 + 1 = 5 Einheiten

hypothetische kurze Messschnur der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser = 60 shesep

60 shesep = 12 * 5 shesep

Berechnung
(12 * 1) shesep + (12 * 1,5) shesep + (12 * 1) shesep + (12 * 1,5) shesep = 12 shesep + 18 shesep + 12 shesep + 18 shesep = 60 shesep

Die halbierte vertikale Proportionsfigur (vertikaler Schnitt parallel zur Basiskante der Pyramidenfigur für die Chepren-Pyramide) lässt sich also nach diesem Schema mit einer 60 shesep langen Schnur (hypothetische mittlere Schnur der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser) unter den genannten Bedingungen aufspannen.

Die Proportionen der Chepren-Pyramide: Aufspannvariante
Als beispielhafte Aufspannvariante lassen sich die Proportionen der Chepren-Pyramide (als Modellentwurf) mit einer Schnur von der Länge einer alten ägyptischen Königselle aufspannen:

1 alte ägyptische Königselle = 28 djeba

Eine rechteckige Proportionsfigur von:

A = 3 * 4

U = 6 djeba + 4 djeba + 4 djeba + 6 djeba + 4 djeba + 4 djeba = 28 djeba = 1 meh

oder auch gekürzt:
U = 3 djeba + 2 djeba + 2 djeba + 3 djeba + 2 djeba +2 djeba = 14 djeba = 1/2 meh

ergibt die Proportionen der Chepren-Pyramide.

Die Proportionen der Chepren-Pyramide: Aufspannvariante mit 3 meh langer Schnur
Mit einer 3 meh langen Messchnur lässt sich das rechtwinklige Proportionsdreieck des halben Querschnitts der Chepren-Pyramide in entsprechendem Maßstab von (5 + 1/4) schesep : 7 schesep : (8 + 1/2 + 1/4) schesep erzeugen.

19. Proportion der Mykerinos-Pyramide von 1,25 : 1 mit einem Schnurzirkel erzeugen
Die Höhe der Mykerinos-Pyramide im Verhältnis zur halben Basisbreite entspricht einer Proportion von etwa 1,25 : 1:
Exakt diese Proportion lässt sich mit simplen Mitteln unter Verwendung der Harpedonaptenschnur von 12 meh Länge erzeugen:
Eine zu einer rechtwinkligen Dreiecksfigur mit den Proportionen 3 : 4 : 5 Strecken aufgespannte Schnur von 12 meh Länge lässt sich - angepflockt in der spitzesten Ecke der Dreiecksfigur wie ein Schnurzirkel verwenden. Erzeugen wir auf diese Art und Weise eine gezirkelte Kreisringfigur mit den Radien R1 = 4 Streckeneinheiten und R2 = 5 Streckeneinheiten, erhalten wir eine in den Kreisring einbeschreibbare rechtwinklig-dreieckige Proportionsfigur mit den Proportionen 1,25 : 1 (die den Proportionen der Mykerinos-Pyramide in Bezug auf den halbierten vertikalen Hauptquerschnitt der Pyramide entsprechen).

20. Resümee´zu der Erzeugbarkeit von Proportionen altägyptischer Pyramiden
Nach dem Prinzip des Ockham´schem Rasiermessers genügen die in dieser Abhandlung aufggezeigten Möglichkeiten (unter den genannten Einschränkungen und Bedingungen) um aufzuzeigen, dass es den alten Ägyptern mit den ihnen hypothetisch zur Verfügung stehenden Mitteln und Methoden möglich war, Proportionen von Pyramiden nach in sich schlüssigen und simplen Konzepten zu erzeugen und ganze bebaute Areale wie z.B. das Plateau von Giseh durchzuplanen.
Aus wissenschaftlicher Sichtweise ist es deshalb (bei weiterhin fehlenden konkreten Überlieferungen zur altägyptischen Praxis des Gestaltens von Pyramidenproportionen, bzw. zur planerischen Durchgestaltung von Arealen) weder erforderlich, noch sinnvoll, nach komplizierteren Lösungen zu suchen, die trotz fehlender handfester Überlieferungen komplexe Theoriekonzepte postulieren (siehe z.B. Korff, B9; B10]): Für jede komplexere Methode wird es (bei weiterhin fehlenden Überlieferungen) keine sinnvolle, aus wissenschaftlicher Sichtweise akzeptable, Begründung geben, denn selbst die hier aufgezeigten Möglichkeiten können bisher aufgrund der genannten Bedingungen nicht ordentlich bewiesen werden: Hierfür fehlt (wie bereits erwähnt) z.B. der konkrete (defintive) Nachweis, dass die alten Ägypter ihre Messschnüre Messseile und Messriemen generalisiert (oder in bestimmten Fällen) mit einer messtechnischen Staffelung in 1-Einheiten-Schritten versahen.
Kann dieser Nachweis jedoch (möglicherweise eines Tages oder auch schon heute) anhand von Fundlagen und Überlieferungen geführt werden, die dem Verfasser aktuell nicht bekannt sind, wäre entsprechender (vollständiger Nachweis) für die Thesen des Verfassers erbracht.
Aus vorliegenden Erkenntnissen kann auch abgelesen werden, dass die altägyptische Gestaltungspraxis im Hinblick auf die Gestaltung altägyptischer Pyramiden und den Pyramidenbau sich insgesamt ablesbar über entsprechend lange Zeiträume äußerst variabel, dynamisch und innovativ entwickelte.

20.1. Vorstellbarer bautenplanerischer Hintergrund für das alte Ägypten
Es fällt nicht schwer, sich Generationen altägyptischer Baumeister vorzustellen, die beim systematischen Probieren mit den Möglichkeiten von Vermessungsinstrumenten aus Schnur oder Seil (oder Riemen) sowie Messstäben (z.B. alte ägyptische Königselle) und den Möglichkeiten des Zirkelns - also nachweislich im alten Ägypten verwendeten Vermessungs-Werkzeugen [...] - innovativ lernend zu dem Schluss kamen dass sich bestimmte Pyramiden-Proportionen schließlich besonders gut für eine bautechnische Umsetzung eigneten und auch vom gestalterisch-ästhetischen Aspekt (und bautechnisch bedingten Aspekten, siehe potenzieller Fehlversuch Knickpyramide von Dashur) [...] her interessant waren. Hierbei dürfte auch die individuell-optische Wahrnehmung von Formen und Figuren eine Rolle gespielt haben (siehe hierzu z.B: Müller-Römer über das Proportionsphänomen "Goldener Schnitt" in [Müller-Römer, PDF 6]).
Die breit geführte Diskussion über den vorgeblich bewusst in den Proportionen der Cheops-Pyramide (und z.B. die Kleinpyramide des Niuserre in Meroe) verbauten Goldenen Schnitt [Müller-Römer, PDF6] lässt sich trotz allen Für´s und Wieder´s und aller naheliegenden potenziellen Möglichkeiten nach dem Ockham´schem Rasiermesser also mit ganz einfachen Faden-Aufspanntricks widerlegen:
Die alten Ägypter müssen (auch wenn das nicht auszuschließen ist) keine tieferen Einblicke und Erkenntnisse in das Prinzip des Goldenen Schnitts (Proportionsverhältnis 0,618... : 1 : 1,618...) besessen haben und schon gar nicht in die Kreiszahl Pi, wie manche Theorien aus dem Bereich der Radosophie behaupten (siehe z.B. [Tompkins, B33]); Annäherungen wie 3,16 für die Kreiszahl Pi (siehe z.B. [Robins/Shute, B24]) genügten den alten Ägyptern völlig, um Aussagen über die Kreiszahl zu treffen.
Jeder Versuch, aus den Bautenabmessungen altägyptischer Pyramiden übertrieben hohe Exaktheiten in Kalkulationen abzuleiten ist nicht nur aufgrund des schlechten Erhaltungszustands der Baububstanz altägyptischer Pyramiden sinnlos und wirkt erher irreführend.
Es kann anhand vielfältiger (und korrekt zu interpretierender) Zusammenhänge geschlussfolgert werden, dass das gesamte Thema "Proportionen altägyptischer Pyramiden" insgesamt überwertet wird und dies in einem solchen Maße, dass die Pyramiden von Giseh u.a. wohl auch aufgrund der intensiven Beforschung ihrer Proportionen zu den am häufigsten und stärksten (jedoch häufig völlig falsch und missverstanden) beforschten Bauwerken der Welt gehören.

QUELLEN:
(Zu den Quellenangaben siehe die Quellenliste im ersten Beitrag in diesem Thema)
Zuletzt geändert von Sculpteur am 16.09.2022 20:27, insgesamt 36-mal geändert.
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 26.08.2022 16:32

(Trotz sorgfältiger Prüfung übernimmt der Verfasser dieses Beitrags keine Gewährleistung für die Korrektheit von Berechnungen und für evtentuelle inhaltliche Fehler in diesem Beitrag; gilt auch für Übersetzungen.)


TEIL IIb

15.7. Die Proportionen der Großpyramiden auf dem Plateau von Giseh
Im Hinblick auf den altägyptischen Pyramidenbau lässt sich aus diesem Zusammenhang ableiten, dass sich die Proportionen sämtlicher 3 Großpyramiden auf dem Platteau von Giseh (unabhängig von tatsächlich verwendeten Grundmaßeinheiten) als Hauptproportionen aus Vermessungswerkzeugen aus Schnur oder Seil von 12 und/oder 50 Einheiten und/oder 100 Einheiten Länge im jeweils entsprechenden Maßstab erzeugen lassen und teilweise (variabel und variantenreich) auch unter Verwendung von Vermessungswerkzeugen aus Schnur mit den Längen 60 schesep, 72 schesep oder 84 schesep erzeugt werden können:

15.7.1. Mit 12-streckiger Schnur (als Schnurzirkel):
Mykerinos-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 5 Einheiten : 4 Einheiten

15.7.2. Mit 50-streckiger Schnur (als Rechteckfigur oder als Schnurzirkel):
als rechtwinklig zueinander stehendes Streckenverhältnis:
Cheops-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 28 : 22
Chepren-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 30 : 20
Mykerinos-Pyramide: mittels Schnurzirkel nach Aufspannen einer rechtwinkligen Dreiecksfigur mit 9 : 16 : 25 Strecken über R1 = 16 Strecken, R2 = 25 Strecken (Kreisringkonstruktion), bei einer angenommenen Proportion für die Mykernions-Pyramide von 5 : 4 (Höhe zu halber Basisbreite)

15.7.2. Mit 25-streckiger Schnur (Als Rechteckfigur):
(Zur Erzielung dieser Proportionierung würde es genügen, das zur Seilschlaufe zusammengeknotete 100 Ellen lange Messseil gedoppelt zusammenzulegen und als gedoppelte Schlaufe aufzuspannen)
Cheops-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 14 : 11
Chepren-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 15 : 10

15.7.3. Mit 100-Strecken-Seil (als Rechteckfigur oder als Schnurzirkel):
als rechtwinklig zueinander stehendes Streckenverhältnis:
Cheops-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 56 : 44
Chepren-Pyramide: Proportionsverhältnis Höhe : halber Basisbreite = 60 : 40
Mykerinos-Pyramide: mittels Schnurzirkel nach Aufspannen einer rechtwinkligen Dreiecksfigur mit 18 : 32 : 50 Strecken über R1 = 32 Strecken, R2 = 50 Strecken (Kreisringkonstruktion); bei einer angenommenen Proportion für die Mykernions-Pyramide von 5 : 4 (Höhe zu halber Basisbreite), weil:
(2*(3*3)) + (2*(4*4)) + (2*(5*5)) = (2*9) + (2*16) + (2*25) = 18 + 32 + 50

15.8. Proportionale Verlängerungen und Verkürzungen von Messschnüren und Messseilen
Wird die alte ägyptische Königselle z.B. proportional "verlängert" (blow up), lässt sich das Gleiche Einteilungskonzept ideal auf eine 3 Ellen lange Strecke (bei 0,525 m für eine Elle nach [Lepsius, B18] = 3 * ca. 0,525 m = ca. 1,575 m) übertragen:
3 meh ergeben 3 * 28 djeba = 84 djeba. Da sich die Zahl 84 durch den Faktor 12 teilen lässt, lassen sich sämtliche Einmessmöglichkeiten, die aus der Einteilung der alten ägyptischen Königselle resultieren, auf eine 3 Ellen lange (in diesem Fall proportional verlängerte) Vermessungsschnur übertragen. Dies war im Alten Ägypten hypothetisch sinnvolle Praxis, z.B. für verkleinerte Modellentwürfe z.B. von Bauwerken und die generelle Arbeit mit Maßstäben, lässt sich aber anhand heutigen vorliegenden Wissens über das alte Ägypten nicht ordentlich beweisen:

1 meh = 28 djeba
1 schesep = 4 djeba
1 meh = 7 schesep

3 meh = 3 * 28 djeba
3 * 28 djeba = 84 djeba
84 djeba = (84/7) schesep
(84/7) schesep = 12 schesep
84 djeba = 12 schesep
12 schesep = 3 meh

(84/12 * 3) djeba : (84/12 * 4) : (84/12 * 5) = 3 : 4 : 5 Strecken von (3 * 7) djeba : (4 * 7 djeba) : (5 * 7) djeba = 21 djeba : 28 djeba : 35 djeba

oder auch:

1 schesep = 1/7 meh
4 djeba = 1 schesep
(4 * 7) djeba = 28 djeba
(4 * 7) djeba = 1 meh

deshalb:
(84/12 * 3) djeba = 21 djeba
21 djeba = (5 + 1/4) schesep
28 djeba = 7 schesep
35 djeba = (8 + 1/2 + 1/4) schesep

Aus der proportionalen Verlängerung ("blow up") der alten ägyptischen Königselle um den Faktor 3, also aus einer Streckenlänge von 3 alten ägyptischen Ellen resultiert im Ergebnis in der Maßeinheit Remen also eine Messschnur von 60 schesep, weil:

3 * 7 schesep = (3 * (7 * 4)) djeba
(3 * (7 * 4)) djeba = (3 * 28) djeba
(3 * 28) djeba = 84 djeba

((84 / 7) * 5) djeba = (12 * 5) djeba
(12 * 5) djeba = 60 djeba

Da die Zahl 84 sich auch durch den Faktor 4 teilen lässt, resultiert daraus auch, dass 1 meh in alternativer Schreibweise (84/4) schesep entspricht, weil:

1 meh = 7 schesep
3 meh = (3 * 7) schesep
3 * 7 schesep = 21 schesep
21 schesep = 84/4 schesep
84/4 = 21

Eine Messschnur von 3 meh Länge lässt sich also ausgedrückt in der Maßeinheit schesep in eine rechtwinklig-dreieckige Proportionsfigur von (3 * 7) : (4 * 7) : (5 * 7) schesep aufspannen, was einem Proportionsverhältnis ausgedrückt in Stammbrüchen von 5 + 1/4 schesep : 7 schesep : 8 + 1/2 + 1/4 schesep entspricht und damit einer dezimalen Streckenverteilung von 5,25 : 7 : 8,75 Streckeneinheiten entspräche.

Aus dem Beispiel einer 3 meh langen Messschnur kann abgelesen werden, wie durchdacht das altägyptische Ellen-System in Kombination mit der Stammbruchrechnung und dem Seked von den alten Ägyptern angewendet werden konnte: Das Seked-Konzept im alten Ägypten kann - wie dieses Beispiel hier sehr deutlich macht - hypothetisch in seiner Entwicklung durch das Aufspannen und Hantieren mit Messschnüren, Messseilen, Riemen oder sogar Fäden beeiflusst worden sein.
Der Sinn von proportionalen Verlängerungen und Verkürzungen der von den alten Ägyptern verwendeten Grundmaße mit ihren spezifischen Einteilungen hätte darin gelegen, dass sich gleichbleibende Proportions-Phänomeniken auf beliebige spezifische Abmessungen von z.B. zu bebauenden Arealen und Bauwerken hätten übertragen lassen und so hat sehr wahrscheinlich auch der planerische Alltag eines altägyptischen Baumeisters mitunter ausgesehen:
Mit kurzen Messchnüren oder ggf. Messtäben (z.B. alte ägyptische Königselle als Messstab) wurde die grundlegende Proportionierung und Durchmaßung z.B. eines einzumessenden Areals oder Bauwerks festgelegt. Im anschließenden Planungsschritt wurde der Vergrößerungsfaktor, also der Maßstab festgelegt, nach dem in tatsächlich verbaute Realität eingemessen wurde. Hierfür wären die verwendeten Grundmaße einfach nach entsprechendem Berechnungsschlüssel verlängert, also proportional hochgerechnet worden, oder aber es wurde einfach ein Einheitenwechsel vollzogen; fiktives Beispiel:

Für die Einmessung eines rechteckigen Areals wird im Modellentwurf mit einer Messschnur von 84 schesep gepkant, eine rechtiwnklige Drieecksfigur für die Einmessung zu verwenden, die durch anschließendes Umschlagen und exaktes Aneienaderfügen der Aufrisse ein rechteckiges Areal erzeugt (Hypothenuse an Hypothenuse) mit:

a : b : c
(3 * 7) shesep : (4 * 7) schesep : (5 * 7) schesep = 21 schesep : 28 schesep : 35 schesep
bei
21 schesep + 28 schesep + 35 schesep = 84 schesep
84 schesep = 84/7 meh
84/7 meh = 12 meh

in Metern:
(bei Lepsius angenommener alter ägyptischer Königselle von ca. 0,525 m [Lepsius, B18])
1 meh = 0,525 m
1 schesep = 0,525/7 m
1 schesep = 0,075 m

21 schesep : 28 schesep : 35 schesep = (21 * 0,075) m * (28 * 0,075) m : (35 * 0,075) m
(21 * 0,075) m * (28 * 0,075) m : (35 * 0,075) m = 1,575 m : 2,100 m : 2,625 m

entspricht in meh:

(1,575 / 0,525) meh : (2,100 / 0,5236) meh : (2,625 / 0,525) meh = 3 meh : 4 meh : 5 meh

(Die Messschnurlänge entspricht nach [W4] der langen Schnur der altägyptischen Harpedonapten).

Anschließend vollzieht der fiktive altägyptische Baumeister einen Einheitenwechsel von schesep zu meh, was einer simpeln Auswechslung des Einheitenzeichens entspricht. So werden aus geplanten schesep schließlich für die geplante Verbauung tatsächlich einmessbare meh:

21 schesep : 28 schesep : 35 schesep werden umgewandelt in 21 meh : 28 meh : 35 meh

daraus resultier bei
7 schesep = 1 meh

21 meh : 28 meh : 35 meh = (7 * 21) schesep : (7 * 28) schesep : (7 * 35) schesep

(7 * 21) schesep : (7 * 28) schesep : (7 * 35) schesep = 147 schesep : 196 schesep : 245 schesep

Vergleich Abmessungen in der fiktiven Arealsplanung (vorher zu nachher

Arealsplanung im Modellentwurf (vorher):
Maßstab 1 : 7
a = 21 schesep
b = 28 schesep
c = 35 schesep

a = 3 meh
b = 4 meh
c = 5 meh

a = 1,575 m
b = 2,100 m
c = 2,625 m

es resultieren die Proportionsverhältnisse von:
21 schesep : 28 schesep : 35 schesep = 84 schesep
entsprechen
3 meh : 4 meh : 5 meh
entsprechen
1,575 m : 2,100 m : 2,625 m = 6,300 m

Arealsplanung im Modellentwurf (nachher):
Maßstab 1 : 1
a = 147 schesep
b = 196 schesep
c = 245 schesep

a = 21 meh
b = 28 meh
c = 35 meh

a = 11,025 m
b = 14,700 m
c = 18,375 m

es resultieren die Proportionsverhältnisse von:
147 schesep : 196 schesep : 245 schesep
entsprechen
21 meh : 28 meh : 35 meh
entsprechen
11,025 m : 14,700 m : 18,375 m

(Mathematischer Hinweis: Die alten Ägypter hätten solche Kalkulationen mittels der Stammbruchrechnung natürlich auf ihre ganz eigene und spezifische Art und Weise durchgeführt, auf die hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs nicht eingegangen werden kann. Als weiterführende Lektüre zu diesem Thema siehe z.B. [Crilly, B4] [Lehmann, B13] [Robins / Shute, B24] [Müller-Römer, N\PDF1]; zu den Proportionen der um den Faktor 3 verlängerten alten ägyptischen Königselle siehe auch noch folgenden Abschnitt zum Thema Proportionen der Chepren-Pyramide).

16. Die Mykerinos-Pyramide auf dem Platteau von Giseh
Die Proportionen der Mykerinos-Pyramide auf dem Platteau von Giseh lassen sich aufgrund verschiedener Angaben für die Basislänge der Mykerinos-Pyramide in der Fachliteratur nicht eindeutig ermittlen, obwohl Flinders bei seinen aufwändigen Vermessungen des Plateaus von Giseh Messwerte nahe im Bereich des von ihm schließlich festgelegten Durchschnittswerts für die Basiskantenlänge der Mykerinos-Pyramide von umgerechnet ca. 105,500 m ermittelt hat [Flinders, E2].
Aufgrund dieser Problematik macht es nach Ansicht des Verfassers bisher keinen Sinn, die Mykerinos-Pyramide proportionstechnisch schlüssig analysieren zu wollen. Proportionstechnisch soll dennoch aufgezeigt werden, dass sich die Proportionen der Mykerinos-Pyramide, ausgehend von den von Flinders ermittelten Abmessungen (Höhe : Breite) von ca. 65,5 m : 105,5 m (siehe hierzu [Flinders, EB2]) auf die gestalterisch einfach zu bewerkstelligende Proportion 1,25 : 1 reduzieren lassen. Daraus resultiert eine hier angenommene Proportion für die Mykerinos-Pyramide von 10 : 8 Einheiten Höhe : halber Basisbreite die auch von manchen Autoren verwendet wird (siehe z.B. [...] und auch [...]).
Für einen altägyptischen Baumeister hätte es also theoretisch zunächst einmal genügt, für den Modellentwurf der Mykerinos-Pyramide bei diesen angenommenen Abmessungen mit der proportion 5 : 4 (Höhe zu halber Basisbreite der fiktiven Pyramide) eine rechteckige Proportionsfigur zu erzeugen, die folgende beispielhafte Abmessungen aufweist und in die sich eine rechtwinklig-dreieckige Proportionsfigur im Verhältnis von 5 : 4 (Höhe zu Breite) einbeschreiben lässt:

Proportionsfigur (rechtwinkliges Dreieck):
a = 32 schesep
b = 40 schesep

(diese modellhaften Abmessungswerte lassen sich nicht in ganzzahlige Werte in meh umformen)

benötigte Schnurstrecke zum Aufspannend der Proportionsfigur:
bei Schnurstrecke = bei a + b + a + b und unter der Voraussetzung, dass die Entwurfsschnur in gleichlange Teilstrecken von je einem schesep Länge unterteilt ist)
a + b + a + b = 32 schesep + 40 schesep + 32 schesep + 40schesep
32 schesep + 40 schesep + 32 schesep + 40schesep = 144 schesep

Die angenommene modellhafte Proportionsfigur (entsprechenden Maßstabs) für die Mykerinos-Pyramide lässt sich also alternativ (unter der genanten Bedingung) mit der hypothetischen 72 shesep langen Messschnur der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser aufspannen und besitzt damit Affinität zum hypothetisdchen Modellentwurf der Cheops-Pyramide:
Wie bereits erwähnt lässt sich eine modellhafte Proportionsvorlage für die Cheops-Pyramide ebenfalls mit einer 72 Einheiten (z.B. 72 schesep) langen Messschnur als Entwurfsschnur aufspannen:

16.1. Proportionen Cheops-Pyramide zum Vergleich, hypothetischer modellhafter Entwurf mit Schnur von 72 schesep Länge
bei a = Höhe zu b = Breite)
a = 22 schesep
b = 28 schesep

Für diese Art des Entwurfs wird die Messschnur entlang einer zuvor errichteten Linie (Vertikale) orientiert, d.H. Anfang und Ende der Messchnur werden auf die Vertikale angehalten im zuvor zu ermittelten Abstand von 28 schesep, es resultiert der Umfang der erzeugten Proportionsfigur von:
a + b + a + b = 22 schesep + 28 schesep + 22 schesep + 28 schesep
wobei
22 schesep + 28 schesep + 22 schesep + 28 schesep = 100 schesep (voller Umfang)
und
22 schesep + 28 schesep + 22 schesep = 72 schesep (Umfang von a + b + a)

daraus resultiert, wie berteits aufgezeigt, dass sich die Proportionen (als modellhafte Proportionsfigur mit Vollumfang und bei Darstellung des Gesamtquerschnitts; also auf der Hypothenuse als Basis stehende Dreiecksfigur) mit einer Messschnur von 72 schesep Länge erzeugen lässt, wenn die Messschnur in Teilstrecken von jeweils 1/2 schespe (entspricht jeweils 2 djeba) eingeteilt ist, denn (mehr dazu siehe im entsprechenden Abschnitt zu den Proportionen der Cheops-Pyamide).

17. Alternative Möglichkeit, die Proportionen der Chepren-Pyramide zu erzeugen
Die aus den Bauabmessungen der Chepren-Pyramide (1,5 : 1, siehe [Flinders, EB2]) ableitbaren Grundproprtionen lassen sich als Schnur-Rechteck unter Verwendung der hypothetischen 60 shesep langen Schnur der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser aufspannen.
(bei Ignorieren der 5-shesep-Staffelung der Messschnur bei einer Grundeinteilung in 1 Teilstrecken von jeweil 1 shesep).

Bauabmessungen der Chepren-Pyramide (nach [Flinders, EB2])
Basisbreite = ca. 215,5 m
Höhe = ca. 143,5 m

Proportion Chepren-Pyramide
Basisbreite : Höhe = 215,5 m / 143,5 m = 1.5017421603 = ca. 1,5
a = Basisbreite
b = Höhe

Proportion
a : b : a : b
1,5 : 1 : 1,5 : 1

Umfang der zugehörigen Rechtecksfigur
U = a + b + a + b = 1,5 + 1 + 1,5 + 1 = 5 Einheiten

hypothetische kurze Messschnur der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser = 60 shesep nach [W4], dort als kurze Messschnur der Harpedonapten benannt)

60 shesep = 5 * 12 schesep

Da in einer Messchnur von 60 schesep der Faktor 5 enthalten ist, lässt sich ein Schnurumfang von 5 Einheiten mit solcher Schnur auflösen:

Berechnung Proportionsfigur
U = a + b + a + b
U = (12 * 1,5) shesep + (12 * 1) + (12 * 1,5) shesep + (12 * 1)
(12 * 1,5) shesep + (12 * 1) + (12 * 1,5) shesep + (12 * 1) = 18 schesep + 12 schesep + 18 schesep + 12 schesep
18 schesep + 12 schesep + 18 schesep + 12 schesep = 60 schesep

Proportionsverhältnis:
18 schesep = (12 * 1,5) schesep
12 * 1,5 =18

Die halbierte vertikale Proportionsfigur (vertikaler Schnitt parallel zur Basiskante der Pyramidenfigur für die Chepren-Pyramide) lässt sich also nach diesem Schema mit einer 60 shesep langen Schnur unter den genannten Bedingungen aufspannen.

Die Proportionen der Chepren-Pyramide: Aufspannvariante
Als beispielhafte Aufspannvariante lassen sich die Proportionen der Chepren-Pyramide (als Modellentwurf) mit einer Schnur von der Länge einer alten ägyptischen Königselle aufspannen, wenn die Schnur in 28 gleichlangen Teilstrecken von je 1 djeba Länge aufgeteilt ist oder eine zur aufzuspannenden Proportion passende Aufteilung aufweist:

1 meh (alte ägyptische Königselle) = 28 djeba

Rechteckige Proportionsfigur:
bei
a = 3 djeba
b = 4 djeba

A = a * b
A = (3 * 4) djeba
A = 12 djeba

U = a + b + a + b
U = 3 djeba + 4 djeba + 3 djeba + 4 djeba
U = 3 djeba + 4 djeba + 3 djeba + 4 djeba = 14 djeba
14 djeba = 28/2 djeba
28/2 djeba = 1/2 meh

daraus resultiert:
bei
U = 2a + 2b + 2a + 2b
2a + 2b + 2a + 2b = (2 * 3) + (2 * 4) + (2 *3) + (2 * 4)
(2 * 3) + (2 * 4) + (2 *3) + (2 * 4) = 6 + 8 + 6 + 8
6 + 8 + 6 + 8
U = 6 djeba + 4 djeba + 4 djeba + 6 djeba + 4 djeba + 4 djeba = 28 djeba = 1 meh
28 djeba = 1 meh
U = 1 meh

Die Proportionen der Chepren-Pyramide: Aufspannvariante mit 3 meh langer Schnur
Mit einer 3 meh langen Messchnur lässt sich das rechtwinklige Proportionsdreieck des halben Querschnitts der Chepren-Pyramide in entsprechendem Maßstab von (5 + 1/4) schesep : 7 schesep : (8 + 1/2 + 1/4) schesep erzeugen.
bei
a = 5 + 1/4 schesep
b = 7 schesep
c = 8 + 1/2 + 1/4 schesep

dezimal:
a = 5,25 Einheiten
b = 7 Einheiten
c = 8,75 Einheiten

Kontrollberechnung (dezimal; Satz des Pythagoras):
c = sqrt(a² + b²)
c = sqrt((5,25 * 5,25) + (7 * 7))
c = sqrt(27,5625 + 49)
c = sqrt(76.5625)
c = 8,75

19. Proportion der Mykerinos-Pyramide von 1,25 : 1 mit einem Schnurzirkel erzeugen
Die Höhe der Mykerinos-Pyramide im Verhältnis zur halben Basisbreite entspricht einer Proportion von etwa 1,25 : 1 (bei Annahme der von Flinders ermittelten und in Meter umgerechneten Maßwerte) [Flinders, E2])

a = Basisbreite Mykerinos-Pyramide
b = Höhe Mykerinos-Pyramide

a = 105,50144 m (Mittelwert)
b = zwischen ca. 65,1256 m und 65,55232 m bei +/-2 0,0508 m

bei Annahme von gerundet
a = 105,50 m
b = 65,50 m

lässt sich die proportion der Mykerinos-Pyramide unter Verwendung einer Messchnur von 12 meh Länge erzeugen, wenn die Schnur mindestens in die Teilstreckenlängen von 3 : 4 : 5 Strecken aufgeteilt ist.
Eine zu einer rechtwinkligen Dreiecksfigur mit den Proportionen 3 : 4 : 5 Strecken aufgespannte Schnur von 12 meh Länge lässt sich - angepflockt in der spitzesten Ecke der Dreiecksfigur wie ein Schnurzirkel verwenden. Erzeugen wir auf diese Art und Weise (während die rechtwinklige Schnurfigur aufgespannt wird) eine gezirkelte Kreisringfigur mit den Radien R1 = 4 Streckeneinheiten und R2 = 5 Streckeneinheiten, erhalten wir eine in den Kreisring einbeschreibbare rechtwinklig-dreieckige Proportionsfigur mit den Proportionen 1,25 : 1 (die den Proportionen der Mykerinos-Pyramide in Bezug auf den halbierten vertikalen Hauptquerschnitt der Pyramide entsprechen; siehe noch folgende Abbildung).

20. Resümee´ zu der Erzeugbarkeit von Proportionen altägyptischer Pyramiden
Nach dem Prinzip des Ockham´schem Rasiermessers (in der Auslegung des Verfassers genügen die in dieser Abhandlung aufggezeigten Möglichkeiten (unter den genannten Einschränkungen und Bedingungen) um aufzuzeigen, dass es den alten Ägyptern mit den ihnen hypothetisch zur Verfügung stehenden Mitteln und Methoden möglich war, Proportionen von Pyramiden nach in sich schlüssigen und simplen Konzepten zu erzeugen und ganze bebaute Areale wie z.B. das Plateau von Giseh vermessungstechnisch durchzuplanen.
Aus wissenschaftlicher Sichtweise ist es deshalb (bei weiterhin fehlenden konkreten Überlieferungen zur altägyptischen Praxis des Gestaltens von Pyramidenproportionen, bzw. zur planerischen Durchgestaltung von Arealen) weder erforderlich, noch sinnvoll, nach komplizierteren Lösungen zu suchen, die trotz fehlender handfester Überlieferungen komplexe Theoriekonzepte postulieren (siehe z.B. Korff, B9; B10]): Für jede komplexere Methode wird es (bei weiterhin fehlenden Überlieferungen) keine sinnvolle, vom Standpunkt der wissenschaftlichen Sichtweise aus akzeptable Begründung geben, denn selbst die hier aufgezeigten Möglichkeiten können bisher aufgrund der genannten Bedingungen nicht ordentlich bewiesen werden: Hierfür fehlt (wie bereits erwähnt) z.B. der konkrete (defintive) Nachweis, dass die alten Ägypter ihre Messschnüre Messseile und Messriemen grundsätzlich (oder in spezifischen Fällen) für Entwurfs- und Vermessungszwecke mit einer Unterteilung in Teilstrecken von jeweils einer Grundeinheit eines jeweils verwendeten Grundmaßes unterteilten.
Kann dieser Nachweis jedoch (möglicherweise eines Tages oder auch schon heute) anhand von Fundlagen und Überlieferungen geführt werden, die dem Verfasser aktuell nicht bekannt sind, wäre entsprechender (vollständiger Nachweis) für die Thesen des Verfassers erbracht.

20.1. Vorstellbarer bautenplanerischer Hintergrund für das alte Ägypten
Es fällt nicht schwer, sich Generationen altägyptischer Baumeister vorzustellen, die beim systematischen Probieren mit den Möglichkeiten von Vermessungsinstrumenten aus Schnur oder Seil (oder Riemen) sowie Messstäben (z.B. alte ägyptische Königselle) und den Möglichkeiten des Zirkelns - also nachweislich im alten Ägypten verwendeten Vermessungs-Werkzeugen [...] - innovativ lernend zu dem Schluss kamen dass sich bestimmte Pyramiden-Proportionen schließlich besonders gut für eine bautechnische Umsetzung eigneten und auch vom gestalterisch-ästhetischen Aspekt (und bautechnisch bedingten Aspekten her, siehe potenzieller Fehlversuch Knickpyramide von Dashur; siehe z.B. [Stadelmann, B30]) interessant waren. Hierbei dürfte auch die individuell-optische Wahrnehmung von Formen und Figuren eine Rolle gespielt haben (siehe hierzu z.B: Müller-Römer über das Proportionsphänomen "Goldener Schnitt" in [Müller-Römer, PDF 6]).
Die breit geführte Diskussion über den vorgeblich bewusst in den Proportionen der Cheops-Pyramide (und z.B. die Kleinpyramide des Niuserre in Meroe) verbauten Goldenen Schnitt [Müller-Römer, PDF6] lässt sich trotz allen Für´s und Wieder´s und aller naheliegenden potenziellen Möglichkeiten nach dem Ockham´schem Rasiermesser also mit ganz einfachen Faden-Aufspanntricks widerlegen:
Die alten Ägypter müssen (auch wenn das nicht generell auszuschließen ist) keine tieferen Einblicke und Erkenntnisse in das Prinzip des Goldenen Schnitts (Proportionsverhältnis 0,618... : 1 : 1,618...) besessen haben und auch kein konkreteres Wissen über die Zusammenhänge, die mit der Kreiszahl (Pi = 3,1415...) in Verbindung stehen, wie manche Theorien aus dem Bereich der Radosophie behaupten (siehe z.B. [Tompkins, B33]); Annäherungen wie 3,16 für die Kreiszahl (siehe z.B. [Robins/Shute, B24]) genügten den alten Ägyptern völlig, um Aussagen über die für sie interessanten Aussagen über die Kreiszahl zu treffen.
Jeder Versuch, aus den Bautenabmessungen altägyptischer Pyramiden übertrieben hohe Exaktheiten in Kalkulationen abzuleiten ist nicht nur aufgrund des schlechten Erhaltungszustands der Baububstanz altägyptischer Pyramiden sinnlos und wirkt erher irreführend.
Es kann anhand vielfältiger (und korrekt zu interpretierender) Zusammenhänge geschlussfolgert werden, dass das gesamte Thema "Proportionen altägyptischer Pyramiden" insgesamt überwertet wird und dies in einem solchen Maße, dass die Pyramiden von Giseh u.a. wohl auch aufgrund der intensiven Beforschung ihrer Proportionen zu den am häufigsten und stärksten (jedoch in Bezug auf ihre Proportionen häufig missverstanden) beforschten Bauwerken der Welt gehören.
Besonders deutlich wird dies bei Auseinandersetzung mit verschiedenen Theorien zu der Frage, was aus den Proportionen der Cheops-Pyramide herauszulesen sei (siehe hierzu grob zusammenfassend
[Janosi, B8] und z.B. [Tompkins, B33]; an dieser Stelle sei angemerkt, dass der Verfasser unmöglich einen Querschnitt durch die unzähligen alternativen Theorien zum Thema geben kann. Dies würde nicht nur den Umfang dieser Abhandlung, sondern auch des zugehörigen Literaturverzeichnisses sprengen).
Zur Frage über den Ursprung, Sinn und Zweck über die Proportionen der Cheops-Pyramide lässt sich jedoch - neben den bereits genannten Aspekten - ein simples Resumee´ herleiten, dass bautechnischen und damit auch vermessugnstechnischen Aspekten geschuldet ist:

Die Proportionen der Cheops-Pyramide lassen sich arithmetisch im Zusammenhang mit der Verwendung der Stammbruchrechnung, die von den altern Ägyptern praktiziert wurde, besonders gut berechnen. Diese gute Berechenbarkeit wäre in Bezug auf bautechnische und damit auch vermessungstechnische Aspekte im Vergleich zu den aus anderen altägyptischen Pyramiden ableitbaren Proportionen besonders praktikabel gewesen. Die gute Berechenbarkeit der Proportionen der Cheops-Pyramide (wie sie im folgenden noch aufgezeigt wird) deutet darüber hinaus auf die hypothetische Verwendung einer ganz besonderen Einmessungspraxis altägyptischer Baumeister hin:


20.2. Hypothetische baumeisterliche Praxis im alten Äypten in Anwendung auf die Planung und Erbauung der Cheops-Pyramide
Aus zwei besonderen Argumenten zum altägyptischen Pyramidenbau (von denen eines ein konkretes Indiz darstellt) lässt sich eine Hypothese für eine besondere altägyptische baumeisterliche Praxis im Pyramidenbau ableiten. Diese Argumente sind:

1) Borchardt fand an den Außenseiten der Überreste eines altägyptischen Pyramidenbauwerks aufgebrachte Nivellierlinien. (siehe [Müller-Römer, B21 u. PDF7])

2) Winkler argumentiert dahingehend, dass die gefundenen Pyramidien quasi maßstäblich verkleinerte Modellentwürfe altägyptischer Pyramiden darstellen (durch einen Einheitenwechsel wurden an Pyramidien messbare Abmessungen nach Winkler zu am verbauten Original durch die altern Ägypter einzumessenden Original-Abmessungen; sieh hierzu [Winkler, B34] und Müller-Römer über Winklers Theorie [Müller-Römer, PDF6] und generell zu den Herausforderungen der Einmessung von Pyramidenbauköpern im alten Ägypten und daraus resultierenden Leistungen der alten Ägypten [Müller-Römer, B21 u. PDF7]).

Die beiden genannten Argumente sind besonders interessant im Hinblick auf die vieldiskutierte Frage, wie der allmählich wachsende, stellenweise über mehrere (verschiedenene) aufeinanderfolgende Bauphasen entstandene Baukörper einer altägyptischen Pyramide überhaupt eingemessen werden konnte, wenn es sich z.B. um eine Pyramide handelt, die nach dem Prinzip des Aufbaus mehrerer aufeinanderfolgender Schalen (allmählich erweiternde Schalenbauweise) entstanden sind (siehe hierzu z.B. [Stadelmann, B30] [Lehner, B15] [Müller-Römer, B21] [Graefe, PDF1] u.a.; Müller-Römer weist z.b. in [Müller-Römer, PDF7] auf die grundsätzlichen Problematiken beim Einmessen eines Pyramidenbauwerks hin). Im Zusammenhang mit dieser Fragestellung im Abgleich mit den zuvor genannten Argumenten steht die folgende Hypothese zu altägyptischer Baumeisterlicher Praxis, die Müller-Römer (in [Müller-Römer, B21]) bereits ähnlich formuliert, jedoch nicht konkret in die folgende Richtung spezifiziert hat:

Altägyptische Baumeister nutzten die Streckeneinmessung über die geböschten Seiten eines allmählich wachsenden Pyramidenbaukörpers als wesentliche (und unentbehrliche) Einmessungspraxis: Wiederholte Kontrolleinmessungen eines Pyramidenbaukörpers über längere Strecken (vertikal, je nach Achsenansicht) über die Böschung eines allmählich wachsenden Pyramidenbaukörpers stellten im alten Ägypten vermutlich eine wichtige Kontrolle zur Maßhaltigkeit der Einmessung über mittels des Seked von Lage zu Lage z.B. verbauter Steinblocklagen dar: Bei vielen aufeinanderfolgenden Einmessungen kleiner Strecken, wie sie z.B. bei der Verlegung von Verkleidungssteinen bei Erbauung der Cheops-Pyramide in Bezug auf einzumessende Breiten- und Höhenmaße von den alten Ägyptern praktiziert wurden, führten vermutlich zu einer starken Aufaddierung von Messfehlern (siehe [Müller-Römer, B21 u. PDF7]). Dieses Verlassen bestimmter Einmesstoleranzen durch aufaddierte Messfehler hätte vermutlich schließlich zu einer unbeabsichtigten Verformung des Pyramidenbauköroers geführt und entsprechende Probleme wie z.B. ästhetische und statische Probleme mit sich bringen können (siehe [Müller-Römer, B21 u. PDF7]). Die Einmessung längerer Kontrollstrecken über die Seiten eines wachsenden Pyramidenbaukörpers (als Böschungseinmessungen) hätte diese Problematik bei Verwendung entsprechend qualitativer Einmessschnüre und Seile (oder auch Messlatten) verkleinern können.
Handwerkstechnisch wären solche Einmessungen problemlos möglich gewesen und es hätten den alten Ägyptern hierfür verschiedene vorstellbare Verfahren zur Verfügung gestanden. Es kann davon ausgegangen werden, dass den alten Ägyptern bekannt war, wie sich die zur vertikalen Hauptachse der Pyramide im Achsenschnitt lotrechte Böschungsstreckenlänge einer Pyramide berechnen ließ. Ableiten lässt sich eine sehr wahrscheinliche Bekanntheit der dafür erforderlichen mathematischen Prinzipien aus dem Konzept der 12-streckigen Messschnur:
Wird eine Messschnur bei Aufteilung in 12 gleichlange Teilstrecken zur Schnurschlaufe zusammengeknotet und zur rechtwinkligen Dreiecksfigur mit den Abmessungen 3 : 4 : 5 Strecken aufgespannt, entsteht automatisch eine Vergleichsmöglichkeit zwischen den Streckenlängen a, b und c bei a = 3 Streckeneinheiten, b = 4 Streckeneinheiten und c = 5 Streckeneinheiten.
Die 12-streckige Messschnur spricht damit auch Fragen über die Entstehung des Seked-Prinzips an:
Hätte sich ein fiktiver altägyptischer Baumeister fragen müssen, wie sich zwischen sämtlichen Seiten einer erzeugbaren Schnurfigur mit den Streckenabmessungen 3 : 4 : 5 eine berechenbare Proportionsbeziehung herstellen lässt, wäre er z.B. bei systematischer Suche und systematischem vermessenden Vergleichen von Schnurstreckenlängen vielleicht früher oder später zu folgendem Ergebnis gekommen (das genannte Ergebnis ist beispielhaft, es gibt viele verschiedenene Möglichkeiten, auf diese Art und Weise die Proportionszusammenhänge der zu einem rechtwinkligen Dreieck aufgespannten 12-streckigen Schnur zu ermitteln):

a = 3 meh
b = 4 meh
c = 5 meh

U = 3 + 4 + 5 meh
U = 12 meh

Proportionsverhältnisse
{a : b}= {3 : 4} (entspricht dezimal 0,75)
{b : a} = {4 : 3} (entspricht dezimal 1,33...)

{a : c} = {3 : 5} (entspricht dezimal 0,600)
{c : a} = {5 : 3} (entspricht dezimal 1,66...)

{b : c} = {4 : 5} (entspricht dezimal 0,8)
{c : b} = {5 : 4} (entspricht dezimal 1,25)

Diese Proportionszusammenhänge lassen sich mit der von den alten Ägyptern verwendeten Stammbruchrechnung bedingungslos z.B. auf das von ihnen verwendete Grundmaß Remen und dessen Grundeinteilung übertragen:

In Anwendung der Proportionsanalyse auf eine 12 meh lange Messschnur:
bei
1 meh = 7 schesep

12 meh = (7 * 12) schesep
(7 * 12) schesep = 84 schesep

1 meh = 7 schesep
bei
1 schesep = 4 djeba
1 meh = 4 *7 djeba
1 meh = 28 djeba

12 meh = (12 * 28) djeba
(12 * 28) djeba = 336 djeba
12 meh = 336 djeba

bei rechtwinkliger Proportionsfigur mit der Streckenverteilung
a = 3 meh
b = 4 meh
c = 5 meh

bei
U = 12 meh

{a : b} = {3 : 4}
{a : b} in meh = {3 meh : 4 meh}

{b : a} = {4 : 3}
{b : a} in meh = {4 meh : 3 meh}

bei Analyse der folgenden Proportionen zeigt sich, dass sie sich nicht sinnvoll (ökonomisch) auf das Einteilungskonzept der alten ägyptischen Königselle und ihre Grundeinteilung anwenden lassen.
Eine Umschreibung der Streckengrundeinteilung der alten ägyptischen Königselle zur von den alten Ägyptern verwendeten Maßeinheit Remen ermöglicht jedoch eine mögliche mathematische Ausdrucksweise der folgenden Proportionen. Solche alternative variable Anwendung altägyptischer Grundmaße zeigen eines der sinnvollen Argumente dafür auf, weshalb die alten Ägypter alte ägyptische Königselle und Remen so konzipierten, dass sie aufeinander anwendbar waren:

bei
1 Remen = 20 djeba
1 Remen = 5 schesep
1 meh = (1 + 1/4 + 1/10 + 1/20) Remen
1 Remen = (1/2 + 1/7 + 1/14) Remen
1 Remen = 5/7 meh
1 meh = 7/5 Remen

{a : c} = {3 : 5}
{3 : 5} in meh = {3 meh : 5 meh}
{3 meh : 5 meh} in Remen = {(4 + 1/5 Remen) : 7 Remen}
{a : c} in Remen ={(4 + 1/5 Remen) : 7 Remen}

{c : a} = {5 : 3}
{5 : 3} in meh = {5 meh : 3 meh}
{5 meh : 3 meh} in Remen = {7 Remen : (4 + 1/5 Remen)}
{c : a}in Remen = 7 Remen : (4 + 1/5 Remen)}

- - -
{b : c} = {4 : 5}
{4 : 5} in meh = {4 meh : 5 meh}
{4 meh : 5 meh} in Remen = {(5 + 1/2 + 1/10) Remen : 7 Remen}
{b : c} in Remen = {(5 + 1/2 + 1/10) Remen : 7 Remen}

{c : b} = {5 : 4}
{5 : 4} in meh = {5 meh : 4 meh}
{5 meh : 4 meh} in Remen = {7 Remen : (5 + 1/2 + 1/10) Remen}
{c : b} in Remen = {7 Remen : (5 + 1/2 + 1/10) Remen}

Es resultiert bei Schreibweise ohne Klammern in Stammbruchschreibweise:
{a : b} = {3 : 4}
{a : b} in meh = {3 meh : 4 meh}

{b : a} = {4 : 3}
{b : a} in meh = {4 meh : 3 meh}
- - -
{a : c} = {3 : 5}
{a : c} in Remen = {4 + 1/5 Remen : 7 Remen}

{c : a} = {5 : 3}
{5 : 3} in Remen = {7 Remen : 4 + 1/5 Remen}
- - -
{b : c} = {4 : 5}
{4 : 5} in Remen = {5 + 1/2 + 1/10 Remen : 7 Remen}

{c : b} = {5 : 4}
{5 : 4} in Remen = {7 Remen : 5 + 1/2 + 1/10 Remen}

Die Besonderheit der Proportionen der Cheops-Pyramide
Die vielbeforschten Proportionen der Cheops-Pyramide stellen im arithmetischen Sinne eine Besonderheit dar, die ihre annähernden Entsprechungen auch in der Geometrie finden. Bei Anwendung von z.B. zeichnerischen (oder wahllosen) Zusammenhänge auf die Analyse der Proportionen der Cheops-Pyramide kann diese arithmetische Besonderheit leicht zu Irrtümern und Fehlschlüssen führen.
Erklärt werden kann die Besonderheit der Proportionen der Cheops-Pyramide mit einem Effekt, der sich herauskristallisiert, wenn Stammbruchrechnung der alten Ägypte und die hypothetische Rechenweise der alten Ägypter zur Berechnung von Böschungswinkel an (z.B.) Pyramiden in Kombination analytisch betrachtet und auf die Abmessungen der Cheops-Pyramide angewendet werden:

Nach gängiger Meinung in der Ägyptologie beträgt die Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide 440 Ellen (siehe z.B. [...]), während die Höhe der Cheops-Pyramide i.d.R. mit 280 Ellen angenommen wird. Dieser angenommene Ellenwert für die Höhe der Cheops-Pyramide resultiert wiederum aus der Annahme, dass die alten ägypter bei Anwendung des Seked-Prinzips ein jeweils einzumessendes Breitenmaß (mit oder ohne abzuschlagender Einrückung ausgehend von einer ganzen Ellenstreckenlänge) jeweils auf eine Elle Höhe bezogen (siehe z.B. [Robins / Shute, B24]).
(Diese Annahme ist auch insofern interessant, dass sich die Länge einer alten ägyptischen Königselle ganzzahlig und glatt in den angenommenen Höhenabmessungen der Cheops-Pyramide auflösen lassen:

bei
1 alte ägyptische Königselle = 28 djeba
Höhe der Cheops-Pyramide = 280 Ellen

280 / 10 = 28

Es hätte für einen Modellentwurtf also z.B. genügt, die Cheops-Pyramide z.B. mit einem Ellenmessstab in ungefährer Länge der alten ägyptischen Königselle zu planen, weil auch die halbe Basisbreite der Cheops-Pyramide so (z.B. zeichnerisch) hätte festgelegt werden können bei einem Abschlag in horizontaler Messrichtung von 1 + 1/2 schesep (entspricht 6 djeba), woraus im Modellentwurf die halbe Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide mit einer Länge von 5 + 1/2 schesep entstanden wäre.

Die Sonderstellung der Proportionen der Cheops-Pyramide ergibt sich nun hypothetisch aus dem Zusammenhang, dass der Seked von 5 + 1/2, der hypothetisch für das Verhältnis zwischen halber Basisbreite und Höhe der Cheops-Pyramide verwendet wurde, sich rechnerisch ebenfalls auf das Verhältnis zwischen Höhe der Cheops-Pyramide und die Böschungslänge der Cheops-Pyramide anwenden lässt:

Bei der geometrischen Analyse eines angenommenen rechtwinkligen Dreiecks als Proportionsfigur für die hypothetischen planerischen Abmessungen der Cheops-Pyramide wird dieser Zusammenhang deutlich:

Hypothetische planerische Proportionsfigur der Cheops-Pyramide
bei angenommener Grundeinteilung einer Elle in 28 gleichlange Teilstrecken
bei
1 Elle = 7 schesep
1 schesep = 4 djeba
28 djeba = 1 Elle

a = Basis der Proportionsfigur (entspricht hypothetisch halber Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide)
b = Höhe der Cheops-Pyramide
c = resultierende Böschungslänge der Proportionsfigur

Kontrollberechnung der Proportionsfigur (mathematisch; Satz des Pythagoras):
a = 220
b = 280

c = sqrt((220*220) + (280*280))
c = sqrt(48400 + 78400)
c = sqrt(126800)
c = 356,0898763

Berechnung der Proportionsfigur (Vergleichsberechnung bei Seked 5 + 1/2):
Seked 5 + 1/2 = Seked 5,5 (dezimal)
a = 220

b = (220 * 7) / 5,5
b = 1540 / 5,5
b = 280

c = (280 * 7) / 5,5
c = 1960 / 5,5
c = 356,363636...

Fehlertoleranzermittlung
Die folgende Fehlertoleranzermittlung ermittelt unabhängig von den Materialeigenschaften verwendeter Vermessungswerkezuge aus Seil oder Schnur nach dem Vorbild altägyptischer Vermessungswerkzeuge dierser Art, inwieweit sich zwischen mathematisch korrekt ermittelter Schnrulänge für berechnetes c und mittels Seked von 5 + 1/2 ermittelter Schnurlänge für c ergeben würde über eine einzumessende Gesamtstrecke von über 356 m (bei theoretischer Schnur dieser Länge)

c_1 (arithmetisch) = 356,363636...
c_2 (mathematisch) = 356,0898763

Differenz
c_1 - c_2 = Differenz
356,363636... - 356,0898763 = Differenz
356,363636... - 356,0898763 = 0,2737597
Differenz = 0,2737597 (dezimal)

Differenz in Prozent
356,363636... = 100%
356,0898763 = (100 - x)%
(100 - x)% = 356,0898763 / ((356,363636...)/100) (gerundet)
356,0898763 / ((356,363636...)/100) (gerundet) = 99,92317968 %
100% - 99,92317968 % = 0,07682032%

Messfehler bei Verwendung des Seked von 5 + 1/2 im Vergleich zur Berechnung mit Satz des Pythagoras = 0,07682032%

Ermittlung des Messfehlers in Metern
bei
1 Elle = ca. 0,525 m (nach [Lepsius, B18])

c_1 = 356,363636... Ellen
c_1 = ((((220*7)/5,5)*7)/5,5)
((((220*7)/5,5)*7)/5,5) = 356,363636... Ellen
356,363636... Ellen = 356,363636... * 0,525 m
356,363636... * 0,525 m = 186,9471851 m (gerundet)
c_1 = 187,090909... m

- - -

c_2 = 356,0898763 Ellen (gerundet)
c_2 = sqrt((220*220) + (280 * 280)) Ellen
sqrt((220*220) + (280 * 280)) Ellen = sqrt((220*220) + (280 * 280)) * 0,525 m
sqrt((220*220) + (280 * 280)) * 0,525 m = 186,9471851 m (gerundet)
c_2 = ca. 186,9471851 m

Differenzermittlung zwischen c_1 und c_2:
Die folgende Differenzermitllung dient einer Aussagemöglichkeit darüber, inwieweit die alten Ägypter unter Verwendung des Seked von 5 + 1/2 eine relativ exakte Bauteneinmessung der Cheops-Pyramide über die Böschungsstrecke im Vergleich mit den mathematisch ermittelten Werten der hierfür hypothetisch zugrundeliegenden rechtwinkligen Dreiecksfigur als Proportionsfigur hätten durchführen können:

Berechnung der Differenz zwischen c_1und c_2
c_1 = 187,090909... m
c_2 = ca. 186,9471851 m

Differenz wischen c_1 und c_2 in Metern:
c_1 - c_2 = Differenz in Metern
c_1 - c_2 = 187,090909... m - ca. 186,9471851 m
187,090909... m - ca. 186,9471851 m = ca. 0,1437239 m

Differenz wischen c_1 und c_2 in Prozent:
c_1 = 100%
c_2 = (100 - x)%
Differenz wischen c_1 und c_2 in Prozent = (100 - x)%
(100 - x)% = (c_2 (c_1 / 100))
(c_2 (c_1 / 100)) = c_2 / (187,090909... m / 100)
ca. 186,9471851 m / (187,090909... m / 100) = 99,9231796 (gerundet)
(100 - x)% = 99,9231796 %(gerundet)
Differenz wischen c_1 und c_2 in Prozent = 99,9231796 % (gerundet)

x = 100% - (100 - x)%
100% - (100 - x)% = c_1 - 99,9231796 % (gerundet)
c_1 - 99,9231796 % (gerundet) = 100% - 99,9231796 % (gerundet)
100% - 99,9231796 % (gerundet) = ca. 0,0768204%

Fazit:
Es zeigt sich, dass eine Berechnung der einzumessenden Böschungsstreckenlänge der Cheops-Pyramide im Hinblick auf die Verwendung von Vermessungswerkzeugen aus Schnur und Seil bei einer Messungenauigkeit im Hinblick auf theoretisch-mathematische Vergleichsberechnungen als ausreichend exakt erachtet werden kann. Da heute nicht mit Gewissheit gesagt werden kann, inwieweit die Materialeigenschaften der hypothetischen Vermessungeswerkzeuge aus Schnur und Seil der alten Ägypter im Hinblick auf Maßtoleranzen und Messfehler zu bewerten sind, kann eine Differenz von ca. 0,0768204% im Hinblick auf die Ergebnisse von Berechnungen mit einem Seked von 5 + 1/2 zu theoretisch-mathematischen Vergleichsberechnungen für die zugrundegelegte Proportionsfigur als verschweindend gering erachtet werden.

Gründe für eine Böschungslängeneinmessung an Pyramidenbauwerken im alten Ägypten
Mit Blick auf die verschiedenartig ablesbaren, variablen Pyramidenbauweisen im alten Ägypten (siehe z.B. Müller-Römer, B21]) kann festgstellt werden, dass es für die alten Ägypter eine messtechnische, aber nicht unlösbare Herausforderung darstellte, einen Pyramidenbauköroer möglichst exakt einzumessen. Bei einer altägyptischen Pyramide, die nach dem Prinzip der Aufeinanderfolge von Schalenbauweisen in verschiedenen aufeinanderfolgenden Bauprozessen quais nach einem "Zwiebelschalenprinzip" allmählich errichtet worden wäre (siehe z.B. [Lehner, B15] [Stadelmann, B31] [Graefe, PDF1] [Müller-Römer, B21]), wäre es den alten Ägyptern damit unmöglich gewesen, den Pyramidenbaukörper nach dem Prinzip eines einheitlich allmählich bautechnisch wachsenden Pyramidenstumpfes einzumessen: Damit hätte bei solchen Bauwerken die Möglichkeit der Kontrolleinmessung der jeweils obersten Bauplattform über eine quadratische Kontroll-Einmessfigur gefehlt, wie sie sich bei einem allmählich wachsenden Pyramidenstumpfjeweils möglich gewesen wäre.
Die alten Ägypter praktizierten neben der herkömmlichen Einmessung der einzelnen Lagen eines Mauerwerks aus z.B. Verkleidungssteinen von Steinblocklage zu Steinblocklage, wie wir es an den Pyramiden von Giseh beobachten können, hypothetisch zusätzliche Kontrolleinmessungen über die sich im Bauprozess jeweils ergebende Böschungslänge eines Pyramidenbauwerks: Kontrolleinmessungen über die jeweils sich ergebende Böschungslänge hätten die Einmessung eines Pyramidenbauwerks für die alten Ägypter insgesamt zuverlässiger gestaltet. Die Einmessung kürzerer Strecken, die jeweils mehrere Steinlagen z.B. verbauter Verkleidungssteine umfassten, hätten bei Verwendung relativ kurzer Messchnüre oder Messeile hypothetisch entsprechend ausreichend präzise Einmessergebnisse erzeugt, mit denen Messfehler und Fehlertoleranzen bei Versetzen der Steinlagen hätten kompensiert werden können:
Die Böschungslängeneinmessung von Pyramidenbauwerken wäre damit für die alten Ägypter eine wichtige Kontrollfunktion für die Maßhaltigkeit eines wachsenden Pyramidenbauwerks gewesen (siehe zur Problematik der Maßhaltigkeit eines Pyramidenbauwerks auch [Müller-Römer, PDF7]).
Der Böschungslängeneimessung für eine Pyramidenbaustufe hätte hypothetisch eine Berechnung der Böschungslänge für eine Pyramidenbaustufe im alten Ägypten zugrunde gelegen:
Theoretisch und auch praktisch hätte es jedoch z.B. für einen altägyptischen Baumeister genügt, eine Proportionsfigur für eine jeweilige Pyramide in entsprechend ausreichendem Maßstab aufzureissen (...) und Abmessungen für z.B: Messschnüre direkt an einem solchen Aufriss abzunehmen. Durch proportionale Verlängerung (Verfielfachung des Grundmaßes) hätten so auch für Einmessungen über längere Strecken zuverlässige Messschnüre entsprechender Länge hergestellt werden können. Wie präzise größere geometrische Aufrisse dabei hergestellt werden können, zeigt uns z.B. die Praxis der Steinmetzen der Gotik, Maßwerk im Maßstab 1 : 1 für Bauprojekte aufzureissen (siehe [Hecht, N\B3]).
Die Berechnung der Böschungslänge einer Pyramide soll hier jedoch am Beispiel der Cheops-Pyramide aufgezeigt werden, weil sie detaillierter Auskunft über die Sonderstellung der Proportion der Cheops-Pyramide geben kann und einen Ausblick auf potenzielle baumeisterliche Praxis im alten Ägypten gibt:

Berechnung der Böschungslänge der Cheops-Pyramide über den Seked in Stammbruch-Rechenweise
bei rechtwinklig-dreieckiger Proportionsfigur (halbierter Vertikalschnitt parallel zur Basiskante) der Cheops-Pyramide

Abessungen der Proportionsfigur
bei
a = theoretisch-planerische halbierte Basiskantenlänge Cheops-Pyramide
s_5,5 = theoretisch-planerischer Seked der Cheops-Pyramide von 5 + 1/2
b = theoretisch-planerische Höhe der Cheops-Pyramide, zu ermitteln über Seked s_5,5
c = theoretisch-planerische Böschungslänge der Cheops-Pyramide, zu ermitteln über Seked s_5,5

a = 220
b = 220 * s_5,5
c = (220 * s_5,5) * s_5,5

Theoretisch-mathematische Vergleichsberechung
(Das hypothetische Seked-Prinzip der alten Ägypter nimmt bei i.d.R. einzumessendem Rücksprung hier jeweils Bezug auf 1/4 Elle Höhe; siehe z.B. [Robins / Shute, B24])

bei angenommener Höhe von 280 Ellen für die Cheops-Pyramide:
b = 280
280 / (1/4) = 1120 * 1/4 Elle

a = 220
b = 220 * s_5,5
c = (220 * s_5,5) * s_5,5

b = (220 * 7) / 5,5
(220 * 7) / 5,5 = 1540 / 5,5
1540 / 5,5 = 280
b = 280

c = ((((220 * 7) / 5,5) * 7) / 5,5) Ellen
((((220 * 7) / 5,5) * 7) / 5,5) Ellen = (((1540/ 5,5) * 7) / 5,5) Ellen
(((1540/ 5,5) * 7) / 5,5) Ellen = ((280 * 7) / 5,5) Ellen
((280 * 7) / 5,5) Ellen = (1960 / 5,5) Ellen
(1960 / 5,5) Ellen = 356,363636 Ellen

Berechnung der hypothetischen Proportionen der Cheops-Pyramide über den Seked mittels Stammbruchrechnung

Die aus der Aufgabe Nr. 57 des Papyrus Rhind entnehmbare Rechenanweisung zur Bestimmung der Höhe einer Pyramide (siehe [Robins/Shute, B24,47]) wird im Folgenden verwendet, um die Höhe der Cheops-Pyramide nachvollziehend zu berechnen (siehe hierzu auch den Beitrag des Verfassers im Archaeoforeum, der spezifisch die Aufgabe Nr. 57 des Rhind Papyrus bespricht [A1]).
Anschließend wird auf Grundlage derselben Berechnungsanweisung die Böschungslänge der Cheops-Pyramide in Ellen berechten. Hierfür kann die Höhe der Cheops-Pyramide wie die Basisläneg einer Pyramide angesehen werden. Dies ist aufgrund des besonderen Umstands möglich, dass das proportionale Verhältnis zwischen Höhe zu Basislängenhälfte und Böschungslänge zu Höhe der Cheops-Pyramide rechnerisch-proportional aus der Anwendung desselben seked von 5 + 2 resultieren. Wie bereits aufgezeigt ist diese Berechnungsart der dreieckigen rechtwinkligen Proportionsfigur für die Cheops-Pyramide von

a = halbe Basislänge Cheops-Pyramide
b = Höhe Cheops-Pyramide
c = Böschungslänge Cheops-Pyramide

mathematisch nicht absolut korrekt. Im Hinblick auf die Anwendung in hypothetischen Vermessungen mit Vermessungswerkzeug aus Schnur oder Seil (oder anderen) ist die Differnez zwischen mathematisch korrekt berechneten Werten und mittels seked ermittelten Werten jedoch unerheblich, wie bereits aufgezeigt wurde.
Zur Berechnungsvorschrift für die Ermittlung der Höhe einer Pyramide ausgehend von der Basislänge der Pyramide berichten Robins&Shute über den Papyrus Rhind:

[ZITAT]
In no. 57 the pyramid has a base of 140 cubits and it is required to find the height. This is obtained by dividing 7 by twice the seked to get /3, which is then multiplied by 140 to give a height of 93 + /3 cubits.
[ZITAT ENDE] [B1, 47]

In der Übersetzung des Verfassers kann aus dem Zitat von Robins/Shute, dass die Aufgabe Nr. 57 des Rhind Papyrus bespricht, der folgende mathematische Zusammenhang in etwa wie folgend abgeleitet werden:

Teile den Zahlenwert 7 durch den verdoppelten seked (von 5 + /4; Anm. des Verf.) um Drittel (einer Elle) zu erhalten und multipliziere anschließend mit der Basisbreite (der Pyramide) von 140 Ellen und Du erhälst die Höhe (der Pyramide) von 93 + /3 Ellen.

Janosi beschreibt das Prinzip des seked folgendermaßen:

[ZITAT]
Der Neigungswinkel wurde auf einfache und doch präzise Weise bestimmt, nämlich durch die Messung des Rücksprunges zu einer Elle Höhe (1 Elle = 7 Handbreit = 0,525 m); die alten Ägypter nannten dieses Verhältnis ein seked.
[ZITAT Ende] [Janosi, B8,51]

[Berechnung: Höhe der Cheops-Pyramide ermittel[/u]
bei
2a_p = Basis Cheops-Pyramide = 440 Ellen
2a_p = 440 Ellen

a_p = 220 Ellen

h_p = Höhe Pyramide
h_p (Cheops-Pyramide) = 280 Ellen (nach üblicher Lehrmeinung, siehe z.B. [...])

s_p = seked Pyramide
s_p (Cheops-Pyramide) = 5 +/2

Berechnungsanweisung (siehe Aufgabe Nr. 57 des Papyrus Rhind):
Die Höhe einer Pyramide wird ermittelt, indem der Zahlenwert 7 durch den verdoppelten seked dividiert und anschließend mit der Anzahl an Ellen der Basiskantenlänge der Pyramide multipliziert wird:

(7 / (2 * s_p)) * 2a_p = h_p

(Hinweis: Die folgenden Berechnungen werden mit einer eigenen, Stellenweise modifizierten Methode des Verfassers durchgeführt. Für die konkreten Berechnungsmethoden mit Stammbrüchen, der alten Ägypter wie Robins&Shute sie erörtert haben, siehe [Robisn/Shute, B24]. Der bei Robins&Shute bei Stammbrüchen verwendete Überstreich kann hier aus Formatierungsgründen nicht angezeigt werden. Der Verfasser wählt stattsessen den Schrägstrich von Rechts nach Links; engl. [i]slash[Ii], was dem teilweie üblichen alternativen Divisionszeichen entspricht. Für die folgende Berechnung ist es nach Erfahrung des Verfassers einfacher, die Berechnungsformel und zunächst den Zahlenwert 7 mit dem Faktor der Basislänge in Ellen zu multiplizieren und anschließendn durch den verdoppelten seked zu teilen. Die Schwierigkeit, imit einem seked von 5 + /2 zu rechnen, ist in der Charakteristik der miteiander zu verrechnenden Zahlenwerte 7 und 11 begründet, denn bei beiden Zahlenwerten handelt es sich um eine Primzahl.

herkömmliche Formel für die Berechnung der Höhe einer Pyramide über den seked:

(7 / (2 * seked)) * Basislänge in Ellen = Höhe Pyramide

umgestellte Formel:
(7 * Basislänge in Ellen) / (2 * seked) = Höhe Pyramide

[/u]Berechnung: Höhe Cheops-Pyramide über seked ermitteln

[u]Berechnung a: Zahlenwert 7 mit Basislänge 440 Ellen multiplizieren


(multipliziere 7 mit 440)
1 ; 7
2 ; 14
4 ; 28
40 ; 280 ; (Zwischenergebnis I)
400 ; 2800 ; (Zwischenergebnis II)
- - -
(addiere Zwischensumme I und II)
40 ; 280 ; (Zwischenergebnis I)
400 ; 2800 ; (Zwischenergebnis II)
- - -
440 ; 3080 ; (total)

Ergebnis: Die Multiplikation der Bassislänge der Cheops-Pyramide von 440 Ellen mit dem Zahlenwert 7 ergibt eine Anzahl von 3080 Ellen.

Berechnung b: Zahlenwert 3080 Ellen durch den verdoppelten seked von 5 + /2 teilen
bei
seked = 5 + /2
verdoppelter seked = 2 * (5 + /2)
2 * (5 + /2) = 11
verdoppelter seked = 11

(teile 3080 durch 11)
1 ; 11
2 ; 22
4 ; 44
8 ; 88
16 ; 176
160 ; 1760 ; (Rest = 3080 - 1760 = 1320) (Zwischenergebnis I)
- - -
(teile Rest 1320 durch 11)
8 ; 88
80 ; 880 ; (Rest = 1320 - 880 = 440) (Zwischenergebnis II)
- - -
(teile Rest 440 durch 11)
4 ; 44
40 ; 440 ; (Rest = 440 - 440 = 0) (Zwischenergebnis III)
- - -
(addiere die Zwischensummen)
160 ; 1760 (Zwischenergebnis I)
80 ; 880 (Zwischenergebnis II)
40 ; 440 (Zwischenergebnis III)
- - -
280 ; 3080 ; (total)

Ergebnis: Die Höhe der Cheops-Pramide beträgt bei seked 5 + /2 280 Ellen weil sich der Zahlenwert 3080 exakt 280 mal durch den Faktor 11 teilen lässt.

Auf die gleiche Art und Weise kann nun über die Ermittlung der Höhe der Cheops-Pyramide die Böschungslänge der Cheops-Pyramide (in einer idelaisierten Berechnung) ermittelt werden. Hierfür wird zunächst die ermittlete Höhe verdoppelt. Anschließend wird bei vorstehend aufgezeigter Formelstellung so gerechnet, als würde es sich bei dem verdoppelten Höhenwert um eine Basiskantenlänge einer Pyramide handeln:

[/u]Berechnung: Böschungslänge Cheops-Pyramide über seked ermitteln (idealisierte Berechnung)

[u]Berechnung: Verdopplung der ermittelten Höhe von 280 Ellen

Höhe Cheops-Pyramide = 280 Ellen
verdoppelte Höhe Cheops-Pyramide = 280 * 2
280 * 2 = 560

Berechnung a: der verdoppelten Höhe mittels Stammbruchrechnung (beispielhaft):

(verdopple 280)
1 ; 28
2 ; 56
20 ; 560
- - -
20 ; 560 ; (total)

Berechnung b: Zahlenwert 7 mit verdoppelter Höhe von 560 Ellen multiplizieren

(multipliziere 7 mit 560)
1 ; 7
2 ; 14 ; (Zwischenberechnungswert I)
- - -
1 ; 7
10 ; 70
5 ; 35 ; (Zwischenberechnungswert II)
- - -
(addiere Zwischenberechnungswert I und II)
2 ; 14 (Zwischenberechnungswert I)
5 ; 35 (Zwischenberechnungswert II)
- - -
7 ; 49 ; (Zwischenberechnungssumme)
- - -
(löse nach ermittelter Zwischenberechnugssumme auf)
7 ; 49
14 ; 98
28 ; 196
56 ; 392
560 ; 3920
- - -
560 ; 3920 ; (total)

Ergebnis: Aus der Multiplikation des Zahlenwerts 7 mit der (fiktiven) Basiskantenlänge von 560 Ellen ergibt eine Anzahl von 3920 Ellen.

Berechnung c: Zahlenwert 3920 Ellen durch den verdoppelten seked teilen
(beispielhafte Berechnung)
bei
seked = 5 + /2
verdoppelter seked = 2 * (5 + /2)
2 * (5 + /2) = 11
verdoppelter seked = 11

(teile 3920 durch 11)
1 ; 11
2 ; 22
20 ; 220
200 ; 2200 ; (Rest =3920 - 2200 = 1720) (Zwischenergebnis I)
- - -
(teile den Rest 1720 durch 11)
1 ; 11
10 ; 110
100 ; 1100 ; (Rest = 1720 - 1100 = 620) (Zwischenergebnis II)
- - -
(teile den Rest 620 durch 11)
2 ; 22
4 ; 44
40 ; 440 ; (Rest = 620 - 440 = 180) (Zwischenergebnis II)
- - -
(teile den Rest 180 durch 11)
1 ; 11
10 ; 110 ; (Rest = 180 - 110 = 70) (Zwischenergebnis III)
- - -
(teile den Rest 70 durch 11)
1 ; 11
3 ; 33
6 ; 66 ; (Rest = 70 - 66 = 4) (Zwischenergebnis IV)
- - -
(teile den Rest 4 durch 11)
/4 ; 2 + /2 + /4 ; (Rest = 4 - (2 + /2 + /4) = 1 + /4) (Zwischenergebnis V)
- - -
(teile den Rest 1 + /4 durch 11)
1 ; 11
/16 ; /2 + /8 + /16 ; (Rest = (1 + /4) - (/2 + /8 + /16) = /2 + /16 ) (Zwischenergebnis VI)
- - -
(addiere die Zwischenergebnisse)
200 ; 2200 ; (Zwischenergebnis I)
100 ; 1100 ; (Zwischenergebnis II)
40 ; 440 ; (Zwischenergebnis III)
10 ; 110 ; (Zwischenergebnis IV)
6 ; 66 ; (Zwischenergebnis V)
/4 ; 2 + /2 + /4 ; (Zwischenergebnis VI)
/16 ; /2 + /8 + /16 ; (Zwischenergebnis VI)
- - -
356 + /4 + /16 ; 3919 + /4 + /8 + /16 ; (total mit Rest 3920 - (3919 + /4 + /8 + /16) = /2 + /16)

Ergebnis: 3920 Ellen geteilt durch 11 ergibt den Wert 356 + /4 + /16 Ellen bei einem verbleibenden Rest von /2 + /16 Ellen.

(Die erzielte Exaktheit des Ergebnisses soll hier aus Gründen des Umfangs und der besseren Übersicht genügen.)

[/u]Pyramidenbauplanung: Hypothetisches Vorgehen eines altägyptischen Baumeisters[/u]
Für die Bauplanung einer Großpyramide im alten Ägypten wären für einen altägyptischen Baumeister vielfältige Aspekte in der Planung zu berücksichtigen gewesen. Einer dieser wesentlichen Aspekte kristallisiert sich in der Planung der Höhen verschiedener, Steinblockschichten des Kernmauerwerks einer Pyramide heraus, wie es z.B. an der Cheops-Pyramide zu beobachten ist: Die Höhen der von den alten Ägyptern immer wiedr nivellierten (siehe z.B: [Müller-Römer, B21]) ]Steinblockschichten weisen teilweise stark voneinander ab und sind generell sehr variabel gehalten (siehe z.B. [Flinders, E2] [Goyon, B6]).
Der Grund für die unterschiedlichen Höhen der Steinblockschichten des Kernmauerwerks der Cheops-Pyramid (und so lässt es sich für altägyptische Bauwerke vermutlich - bis auf spezielle Ausnahmen - generalisieren) liegt in der Materialökonomie: Wäre ein Monument wie die Cheops-Pyramide auch in den Bereichen des Kernmauerweks mit einheitlichen Steinbloch-Schichthöhen ausgeführt worden, hätte dies zu einem exorbitanten Bedarf an geeignetem Natursteinmaterial geführt: Die alten Ägypter hatten aber beim Abbau von Naturstein - so wie es noch heute ist - mit den ganz normalen Parametern der Natursteingewinnung zu kämpfen: Es musste überhaupt geeignetes Natursteinmaterial in geeigneten Schichthöhen in ausreichenden Mengen gefunden und
abgebaut werden. Die Erschließung ganzer Steinbruchareale (siehe z.B. [Lehner, A5]) sind deshalb auch auf dem Plateau von Giseh abzulesen, weil zu einer gesunden Bautechnischen Ökonomie für die alten Ägypter zwangsläufig auch die Frage nach Transportwegen und nach Transportlogistik im Allgemeinen gehörte:
Teilweise musste von den alten Ägyptern für die Erbauung von Großpyramiden favorisiertes "exotischeres" Material wie z.B. für die Verkleidungssteine unterer Schichtbereiche der Mykerinos-Pyramide zunächst in aufwändigeren Expeditionen gewonnen werden (siehe [...]).
All diese Vorbedingungen vor Verbauung von Steinblöcken in eine Pyramide stand voran, dass für jede variable vertikale Steinblockschichthöhe aus vermessungstechnischen Gründen eine korrekt dazu stehende, proportional korrekte, einzumessende horizontale Messstrecke ermittelt werden musste.
Nun wäre es einem altägyptischen Baumeister natürlich möglich gewesen, die dafür erforderlichen Berechnungen jeweils durchzuführen, je nachdem, mit welcher Höhe eine gleichhohe Lage von Steinblöcken von Fachkräften produziert worden wäre: Viel sinnvoller wirkt aber die Vorstellung, dass der fiktive altägyptische Baumeister sich vor Festlegung der in Steinbrüchen abzubauenden Steinblockschichthöhen Gedanken darüber machte, wie sich der anschließende Einmessungsprozess bei Verbauung der Steinblocklagen vereinfachen ließe. Dies wäre z.B. von besonderem Interesse für aufwändige Steingewinnungsexpeditionen gewesen: Für an Steingewinnungsexpeditionen Beteilitge wäre es sinnvoll gewesen, vorab Informationen darüber zu erhalten, in welcher Schichthöhe Steinblöcke und ganze lagen von Steinblöcken abgebaut werden sollten.
Tatsächlich wäre der für den fiktiven altägyptischen Baumeister erforderlriche Aufwand, sich zuvor Gedanken über diese Thematik zu machen, wesentlich geringer gewesen, als der Aufwand, den es bedeutet hätte, jede einzelne Schichthöhe von für den Pyramidenbau angelieferten Steinblockschichthöhen jeweils einzeln zu berechnen: Einzelberechnungen wären zwar an einem Bauwerk wie der Cheops-Pyramide stets unverzichtbarer Alltag gewesen, eine wesentliche Ersparnis an Arbeitszeit, Überprüfungszeit und zeit für Kommunikation mit Fachkräften hätte sich der fiktive altägyptische Baumeister jedoch ersparen können, wenn er zuvor entsprechende (verbindliche) Schichthöhenlisten angefertigt hätte. Solche Listen wären dabei auch von besonderer Bedeutung für Fachkräfte (z.B. Steinbrecher und Steinmetzen) gewesen, die zwar des Lesens aber nicht des Rechnens im Hinblick auf die Einmessung über den seked mächtig gewesen wären.
Wie die vorstehenden Berechnungen zur Ermittlung der Höhe und der Böschungslänge der Cheops-Pyramide aufgezeigt haben, ist dies über standartisierte Formelstellungen möglich, die den alten Ägyptern vermutlich auch zur Zeit des Großpyramidenbaus (Altes Reich) zur Verfügung standen.
Es wäre aber mit ein wenig Schreibaufwand verbunden, jedoch mathematisch einfacher gewesen, im Hinblick auf die Anwendung eines spezifischen seked entsprechende Abmessungs-Listen anzufertigen. Der Vorteil solcher Listen hätte eindeutig darin gelegen, das sie auf einfache Art und Weise schriftlich zu kopieren gewesen wären, oder sogar hätten auswendig gelernt werden können - womit sie in beiden Fällen überlieferbar gewesen wären. BEsonders interessant hierbei ist aber der Aspekt, dass solche Listen z.B. Vorarbeitern in Steinbrüchen als wertvolle Planungsgrundlage gedient hätten und auch Steingewinnungsexpeditionen hätten zur Verfügung gestellt werden können.
Das Anfertigen von solchen - für das alte Ägypten vorstellbaren - "Schichthöhenlisten" - für zu gewinnende und einzumessende Steinblockhöhen wäre relativ simpel zu bewerkstelligen gewesen und hätte bei entsprechend präzisen Vorkalkulationen sogar sich ergebende einzumessende Böschungslängen berücksichtigen können.
Hierfür hätten lediglich entsprechende Ausgangwerte für die Höhe und die nach dem seked über den Rücksprung einzumessende Breite zu Beginn der Liste angesetzt werden, und anschließend jeweils aufaddiert werden müssen. Bei Festlegung einer entsprechenden Feinmaßigkeit (im Toleranzbereich von z.B. einem djeb, was einer einzumessenden Strecke von etwa (52,25/ 28) cm (nach [Lepsius, B18]) entspricht) hätten so entsprechend umfangreiche, aber sehr praxistaugliche Maßwertlisten erstellt werden können. Ein Schreibaufwandwand, der - gemessen an den Gesamterfordsernissen eines Großpyramidenbaus - als verschwindend gering zu erachten wäre, Dies, zumal eine solche Schreibarbeit nur ein einziges Mal gekoppelt mit entpsrechenden Berechnungen hätte durchgeführt werden müssen. Anschließend hätten die vollständigen Listen einfach abgeschrieben werden können.
Dateianhänge
Plateau von Giseh Proportionsdreieck T2.jpg
Abb. 9. Die Distanz zwischen der Chepren-Pyramide (Mittelpunkt Basiskantenlänge Südkante) und der Mykerinos-Pyramide (Nordostkante) lässt sich planerisch hypothetisch mti einer Messschnur von 72 Einheiten Länge (bei Grundeinteilung in 1-Streckenschritte) planen und bei Verwendung entsprechender Grundmaßeinheiten (Remen = 0,374 m) in die auf dem Plateau von Giseh verbaute Realität umsetzen.
Das summarische Tripel 25 : 60 : 65 für a, b und c einer rechtwinkligen Dreiecksfigur erzeugt dabei eine Streckenaufteilung von proportional (1/2 * 1000 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) : (1/2 * 1000 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) bei 1 Remen = 0,3704 m nach [Flinders E2].
Einmessung mit 12-Strecken-Schnur nach Moosbrugger-Leu und Variationen.jpg
Abb. 8: Einmessung mit 12-Strecken-Schnur nach Moosbrugger-Leu (und Variationen)

Informationen für Abb. I; II und III nach Moosbrugger-Leu (vorbehaltlich möglichen und noch zu klärenden Irrtümern zur Datierung bei Abb. II)

Quelle [Moosbrugger-Leu, A6]: Mittelalter: Zeitschrift des Schweizerischen Burgenvereins. Band (Jahr) 5 (2000), Heft 1, PDF erstellt am: 05.08.2020, (persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-165007), ein Dienst der ETH-Bibliothek, Zürich / Schweiz, 2020: Moosbrugger-Leu: Die Schnurvermessung im mittelalterlichen Bauwesen, 2000
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
;öglicher Proportionsreigen 12-Streckenschnur, Beispiel.jpg
Abb. 7: Proportionsreigen des Hexagons und der 12-Strecken-Schnur (Beispiel)
(bei Aufspannart der 12-Strecken-Schnur nach Moosbrugger-Leu (als "Kreuzschlag" benennbar), siehe [Moosbrugger-Leu, A2020]
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh, potenzielles Einmessprinzip Ausdehnung Nord-Süd mit Harpedonaptenschnur.jpg
Abb. 6: Platteau von Giseh, Ägypten: Potenzielle Einmessung in Richtung Nord-Süd (Beispiel)
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh, spezifisches Proportionsdreieck T1 und Harpedonaptenschnur.jpg
Abb. 4: Platteau von Giseh, Ägypten: Dreieckssegment T 1 und Prinzip Harpedonaptenschnur
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh, spezifisches Proportionsdreieck T1.jpg
Abb. 4: Platteau von Giseh, Ägypten: Dreieckssegment T 1
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh spezifisches Hexagon.jpg
Platteau von Giseh, Ägypten:
Spezifisches Hexagon (r = 500 RC)
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
AKE = alte ägyptische Königselle
500 AKE bei einer AKE von ca. 52.388 cm sind:
500 · 0.52388 m = ca. 261.94 m
© me Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau Giseh Ausdehnung in Inches.jpg
Abb. 2: Platteau von Giseh, Ägypten: Ausdehnungen in Inches
M 1 : 5000 Maßeinheit: Inches (britisches Zoll, 1“ = 2,54 cm)
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau Giseh Ausdehnung in Metern.jpg
Abb. 1: Platteau von Giseh, Ägypten: Ausdehnungen in Metern
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Zuletzt geändert von Sculpteur am 29.09.2022 19:36, insgesamt 22-mal geändert.
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 10.09.2022 13:04

TEIL III: Anhang
(Erläuterungen, Beispiele, Nachweise, Grafiken, Bilder)

INHALTSVERZEICHNIS (TEIL III)
III.1 Spezielle Proportionsphänomene auf dem Plateau von Giseh und ihre möglichen Ursachen
III.1.1 Problem der Abschüssigkeit von einzumessendem Gelände im Hinblick auf die Übertragung von Maßwerten aus Modellentwürfen
1.1.1Nachweis von Pfostenlöchern auf dem Plateau von Giseh
III.1.2 Spezielle Proportionsphänomene auf dem Plateau von Giseh: Hexagon-Arithmetik
III.1.3 Mit 12-streckiger Schnur erzeugbarer Proportionszusammenhang des Hexagons (als messtechnische Näherung)
III.1.3.a Berechnung: Proportiongsgefüge Hexagon
III.1.4 Die ermittelbare Verhältniszahl 1,1547... und die ungefähre Länge der halbierten Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide in Metern
III.1.5 Die Streckenausdehnung zwischen Südwestlicher Ecke Cheops-Pyramide und Nordöstlicher Ecke der Chepren-Pyramide
III.1.5.a Berechnung Proportionsfigur T2 (rechtwinklige Dreiecksfigur)[/u]
III1.3 Nord-Süd-Ausdehnung des Plateaus von Giseh (Messwerte Flinders)
III.1.3.1 Hypothese zum Modellentwurf Einmessung Plateau von Giseh in Richtung Nord-Süd
III.1.4 Hypothetische Erzeugung der Abmessungen auf dem Plateau von Giseh zwischen Cheops-und Chepren-Pyramide
III.1.5 Sind die Proportionsphänomene auf dem Plateau von Giseh nur Zufall?
III.1.5 Proportionszusammenhang 25 : 22 Einheiten
III.1.6 Nicht die Kreiszahl Pi sondern schnurfigurbasierte Arithmetik erklärt die Proportionen der Cheops-Pyramide
III.2 Sonderfall Pyramide des Niuserre (spitzwinklige Kleinpyramide in der Nekropole von Meroe)
III.1 Weitere Beispiele für Proportionen altägyptischer Pyramiden und deren hypothetische Erklärung

Zahlenreihenentwicklung bei Anwendung des seked 5 + /2 mit drei Spalten

(Beispiel)
Goyon beschreibt in [Goyon, B7,220 - 22]in 19 Abschnitten (incl. Plattform) mit einer Exaktheit im Zentimeterbereich gemessene Steinschichthöhen, die in einem jeweiligen Abschnitt zunächst abnehmen und im Übergang zum jeweils nächsten Abschnitt wieder zuzunehmen.
Die von Goyon erfasste Bandbreite von Steinschichthöhen beläuft sich dabei auf Werte von
min. 43 cm bis max. 150 cm.

Eine Maßwerttoleranz von ca. 1 cm entspricht im Hinblick auf die Verwendung des (hier beispielhaft verwendeten) Grundmaßes alte ägyptische Königselle (nach [Lespsius, B18]) einem Maßwert von etwa 1/64 meh = /16 + /32 + /64 schesep = /4 + /8 + / 16 djeba = ca. 0,8203126 cm (siehe Nnachfolgende Berechnungen).

Angenommen, ein altägyptischer Baumeister hätte bei einer Einmesstoleranz von min. 1/64 meh
bei einer Toleranz von georderten Schichthöhen von min. (45 * /2) djeba = 22 + /2 djeba = 5 + /2 + /8 schesep bis max. (160 * /2) djeba = 80 djeba = 20 schesep geordert. Dieser Maßwertzusammenhang hätte Schichthöhen von min. ca. 0,421875 m bis ca. 1,50 m enstprochen. Der Baumeister hätte dann folgendermaßen für die Erstellung einer Liste vorgehen können:

Erstellung einer Schichthöhenliste für die Erbauung der Cheops-Pyramide
(fiktive Liste für Schichthöhen des äußeren Kernmauerwerks der Cheops-Pyramide)
bei
min. Schichthöhe = 22 + /2 djeba = 5 + /2 + /8 schesep
max. Schichthöhe = 80 djeba = 20 schesep
Zuwachsrate = Schritte von /2 djeba = /8 schesep
seked = 5 + /2

[Berechnung: Ermittlung der einzumessenden Breite bei /2 djeba Höhe[/u]

Schritt I : Ermittlung der minimalen Einmesshöhe
Eine minimale Einmesshöhe von 1/64 meh auf Grundlage der Einteilung der alten ägyptischen Königselle, auf die in diesem Beispiel Bezug genommen werden soll, ist über die rückführende Teilung durch den Faktor 2 simpel zu ermitteln weil:

(ungefähre Maßwertdaten nach [Lepsius, B18]:)
bei
1 meh = ca. 52,5 cm

<Zeile> ; [meh] ; [schesep] ; [djeba] ; [cm]
<1> ; [1] ; [7] ; [28] ; [52,5000]
<2> ; [/2] ; [3 + /2] ; [14] ; [26,2500]
<3> ; [/4] ; [1 + /2 + /4] ; [7] ; [13,1250]
<4> ; [/8] ; [/2 + /4 + /8] ; [3 + /2] ; [6,5625]
<5> ; [/16] ; [/4 + /8 + /16] ; [1 + /2 + /4] ; [3,28125]
<6> ; [/32] ; [/8 + /16 + /32] ; [/2 + /4 + /8] ; [1,640625]
<7> ; [/64] : [/16 + /32 + /64] ; [/4 + /8 + / 16] ; [0,8203126]

ist die minimale Einmesshöhe festgelegt, können die dazu proportionale minimale Einmessbreite und Böschungslänge ermittelt werden: Ausgehend davon, dass die aus der Anwendung des seked 5 + /2 resultierende Proportion 5 + /2 : 7 (seked-geminderte Breite zu Höhe) bekannt ist kann der gewünschte Wert für die korrespondierende minimal einzumessende Breite auf simple Art und Weise ebenfalls rückführend über die Grundeinteilung der alten ägyptischen Königselle ermittelt werden. Auch die korrespondierende minimale Böschungslänge wird auf diese Art und weise ermittelt. Hierfür muss zuvor die Böschungslänge im Verhältnis zu der Propoertion 22 : 28 (einzumessendse Breite zu Höhe) ermittelt werden, die Resultat der Dividierung der idealisierten Originalabmessungen der Cheops-Pyramide ist:

bei Umwandlung des Näherungswertes für die idealisierte Böschungslänge der Cheops-Pyramide:
(auf die kleinschrittige Art der Umrechnung wird hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs verzichtet, der Böschungswert in Ellen wird korrespondierend zu 1/4-Elle Höhe von 7 schesep der Einfachheit halber zunächst durch den Faktor 4 geteilt, anschließend durch den Faktor 10 geteilt. Abschließend wird der Wert anstelle von der Maßeinheit meh mit der Maßeinheit schesep versehen.)

idealisierte Böschungslänge = 356 + /4 + /16 meh
356 + /4 + /16 meh / 4 = 89 + /16 + /64 meh
89 + /16 + /64 meh / 10 = 8 + /2 + /4 + /10 + /20 + /160 + /640 meh
idealisierte Böschungslänge = 8 + /2 + /4 + /10 + /20 + /160 + /640 meh

meh zu schesep umwandeln:
idealisierte Böschungslänge = 8 + /2 + /4 + /10 + /20 + /160 + /640 meh
Umwandlung zu schesep = 8 + /2 + /4 + /10 + /20 + /160 + /640 schesep

aufgrund der Kleinschrittigkeit ist es nun sinnvoll, den erhaltenen resuzierten Böschungslängenwert zu kürzen. Der gekürzte reduzierte Böschungslängenwert soll hier für die VEranschualichung der Methodik als ausreihend exakt angesehen werden:

Kürzung des Böschungslängenwerts von 8 + /2 + /4 + /10 + /20 + /160 + /640 schesep auf 8 + /2 + /4 + /10 + /20 schesep.
Da es sich bei dem reduzierten gekürzten Böschungslängenwert insgesamt um einen nur ungefährend Näherungswert handelt, werden sich in der anschließenden aufaddierenden Verwendung Verwendung des Werts für die folgende listenartige Berechnung entsprechende Ungenauigkeiten (Abweichungen von der tatsächlichen idealisierten Böschungslänge) ergeben.

Sind alle rückzuführenden Werte ermittelt, werden sämtliche Werte korrespondierend jeweils so häufig halbiert, bis die gewünschte Feingliederung erreicht ist (hier in der beispielhaften Berechnung in Anwendung auf die Grundmaßeinheit schesep):

Schritt II: Ermittlung der minimalen Einmessbreite
(Rückführung der Werte über spezifisch häufig aufeinanderfolgende Halbierung; beispielhafte Berechnung).
(Auf Meter- und Zentimeterangaben wird aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs und Zwecks der besseren Übersicht an dieser Stelle verzichtet.)

<Zeile> ; [Breite in shesep] ; [Höhe in schesep] ; [Böschungslänge in schesep]
<1> ; [5 + /2] ; [7] ; [8 + /2 + /4 + /10 + /20]
<2> ; [2 + /2 + /4] ; [3 + /2] ; [4 + /4 + /8 + /20 + /40]
<3> ; [1 + /4 + /8] ; [1 + /2 + /4] ; [2 + /8 + /16 + /40 + /80]
<4> ; [/2 + /8 + /16] ; [/2 + /4 + /8] ; [1 + /16 + /32 + /80 + /160]
<5> ; [/4 + /16 + /32] ; [/4 + /8 + /16] ; [/2 + /32 + /64 + /160 + /320]
<6> ; [/8 + /32 + /64] ; [/8 + /16 + /32] ; [/4 + /64 + /128 + /320 + /640]
<7> ; [/16 + /64 + /128] ; [/16 + /32 + /64] ; [/8 + /128 + /256 + /640 + /1280]

Die sich ergebende Feingliedrigkeit ist mit Messstäben nach altägyptischem Vorbild nicht manuell zwar nicht messbar, würde aber in der Aufaddierung zu Ungenauigkeiten führen. Deshalb wird die rechnerische Feingliedrigkeit für die Erstellung der Schichthöhenliste bei entsprechendem Rechenaufwand beibehalten und Ergebnisse werden beim fiktiven anschließenden Einmessprozess auf Einmessbarkeit gekürzt, bzw. gerundet.

Sind sowohl minimale Einmessbreite und minimale Einmesshöhe ermittelt, kann eine Schichthöhenliste mit korrespondierenden Einmessbreiten ausgehend von den ursprünglichen Minimalabmessungen angelegt werden. Wahlweise kann eine solche liste bei Bedarf auch um Angaben in anderen korrespondierenden Grundmaßen angelegt werden, oder auch z.B. um korrespondierende einzumessend (ungefähre) Böschungslängen erweitert werden, was entsprechende Schreibarbeit und Rechenarbeit erfordern würde. Erzeugt wird die folgende beispielhafte Liste durch einfaches fortschreitendes Aufaddieren der Grundwerte:

Liste der Einmessbreiten und korrespondierenden Einmesshöhen:

<Zeile> ; [Einmessbreite in schesep] ; [Einmesshöhe in schesep]
<1> ; [/16 + /64 + /128] ; [/16 + /32 + /64] ; [/8 + /128 + /256 + /640 + /1280] (1-fach)
<2> ; [/8 + /32 + /64] ; [/8 + /16 + /32] ; [/4 + /64 + /128 + /320 + /640] (2-fach)
<3> ; [/4 + /128] ; [/4 + /16 + /64] ; [/4 + /8 + /32 + /160 + /256 + /1280] (3-fach)
usw.

III.1 Spezielle Proportionsphänomene auf dem Plateau von Giseh und ihre möglichen Ursachen
Auf dem Plateau von Giseh finden sich mehrere Proportionsphänomene, die sich im Hinblick auf die Abmessungen des Plateaus und der auf dem Plateau verbauten Großpyramiden hypothetisch auf die altägyptische Vermessungstechnik mit Schnur und Seil und die von den alten Ägyptern tatsächlich verwendeten Vermessungswerkzeugen (unter bestimmten hypothetischen Bedingungen) anwenden lassen.
Erklären lassen sich die aufgezeigten Messwertphänomene auf dem Plateau von Giseh nach der Theorie des Verfassers mit der Verwendung spezieller Messchnüre, bzw. Messeile durch die alten Ägypter. Die im Folgenden beschriebenen Aufmesstechniken funktionieren arithmetisch (und damit auch vermessungstechnisch) tatsächlich, wobei die Exaktheit der Aufmessung von der Qualität und Exaktheit der verwendeten Messwerkzeuge aus Schnur und Seil abhängt.
Von entscheidender Bedeutung für eine gute Einmessqualität wäre dabei die Verwendung enstprechend proportional zur zu erzielenden Einmessung kurzer Messschnüre oder Messeile:
Je länger Messschnur oder Messeil werden, um so stärker würden die Einmesswerkzeuge aus Schnur oder Seil durchhängen, von seitlichem Wind angegriffen, oder unter Zug gelängt, was Einmessungen verfälschen würde, bzw. eine exakte Einmessung unmöglich machen würde. Kurze Messschnüre, die z.B. zu Schnurfiguren aufgespannt werden, können bei richtiger Handhabung vermutlich jedoch auch bei vielen hintereinander oder nebeneinander gesetzen Einmessungen relativ exakte Einmessergebnisse erzielen.
Es wäre unsinnig, anzunehmen, dass sich Einmessaufgaben wie sie auf dem Plateau von Giseh notwendig waren (mit vermutlicher Ausnahme von potenziellen längeren Fluchtschnur-Abschnitten) mit sehr langen Messseilen hätten durchführen lassen.
Es ist bei Einmessaufgaben größerer Abmessungen sinnvoller, Strecken in einzumessende Teilstreckenabschnitte zu staffeln und entsprechend dimensionierte Einmesswerkzeuge zu verwenden (liegt die Kalkulation einzumessender Strecken - z.B. im Modellentwurf - vor, kann natürlich alternativ z.B. auch mit Abschreitzirkeln, Messlatten o.ä.) eingemessen werden (ob und inwieweit die alten Ägypter solche speziellen Einmesswerkzeuge verwendeten, darüber existieren meines bisherigen Wissens keine Nachweise).
Einmessungen nach dem additiven Prinzip können aufgrund ihrer Staffelungssystematik von aufeinanderfolgenden Einmessungen (je nach verwendetem Einmesswerkzeug) sehr präzise Einmessergebnisse im Verhältnis zum z.B. Modellentwurf für eine Einmessung erzeugen. Die Proportionsphänomene auf dem Plateau von Giseh besitzen im Hinblick auf die Frage nach ursprünglichen Modellvorlagen für Einmessungen durch die alten Ägypter in Verbindung mit hypothetisch von ihnen hierfür verwendeten Werkzeugen und Gestaltungselementen eine gewisse Aussagekraft.

III.1.1 Problem der Abschüssigkeit von einzumessendem Gelände im Hinblick auf die Übertragung von Maßwerten aus Modellentwürfen
Das Plateau von Giseh ist leicht abschüssig [...]. Die Abschüssigkeit des Plateaus hätte bei vorstellbaren Einmessmethode für das Plateau von Giseh jedoch keine Rolle gespielt, wenn davon ausgegangen werden kann, dass die alten Ägypter mit kurzen Messchnüren oder Messseilen eingemessen hätten und Nivelierungen der einzelnen gestaffelten Einmesschritte über kürzere Strecken z.B. über in das Plateau eingelassene Pfosten realisiert worden wären: Über die jeweilige Übertragung von Nivellierungen an z.B. Pfosten in Kombination mit der Errichtung von Fluchtungen lassen sich auch größere Strecken einmessen, wie wir sie z.B. auf dem Plateau von Giseh mit seiner Gesamtausdehnung (in Bezug auf die Hauptbebauung in Form der drei Großpyramiden) in Richtung Nord-Süd von 907,15 m (nach Flinders [Flinders, E2]) vorfinden. Diese Gesamtabmessung des Plateaus in Richtung Nord-Süd kann jedoch auch Ergebnis additiver, d.H. in verschiedenen aufeinanderfolgenden Bauprozessen erfolgter Einmessung sein und sich aus der jeweiligen Gestaltung und daraus resultierenden Abmessungen einzumessender Abschnitte bzw. Areale) ergeben haben: Die Proportions-Phänomenik auf dem Plateau von Giseh könnte also insgesamt Ergebnis aufeinanderfolgender messtechnischer Phänomene sein, die sich aufgrund der hypothetischen Verwendung gleichartig konzipierter Vermessungswerkzeuge auf gleichartige arithmetische Ursachen beziehen können, was schließlich den Eindruck eines ursprünglichen "Gesamtplans" dfes Plateaus von Gishe erzeugen kann. Abmessungsphänomene auf dem Plateau von Gishe sind jedoch keinesfalls plausible Begründungen für die Annahme, dass es einen ursprünglichen Gesamtplan des Plateaus von Gishe gegeben habe: Die Annahme eines Gesamtplans für das Plateau von Giseh ist sogar eher unwahrscheinlich.

1.1.1 Nachweis von Pfostenlöchern auf dem Plateau von Giseh
Nachweise für Pfostenlöcher auf dem Plateau von Giseh führt Lehner im aufwändigen Gizeh-Mapping-Project (siehe [Lehner, ...]). Lehner entwickelte auch die Theorie, dass die auf dem Plateau von Giseh auffindbaren zahlreichen Pfostenlöcher für Einmesszwecke der alten Ägypter dienten (siehe Lehner´s Theorie vom sog. "Hilfsquadrat" für die Einmessung der Cheops-Pyramide, das jedoch nach [W4] bisher nicht schlüssig belegt werden konnte).

III.1.2 Spezielle Proportionsphänomene auf dem Plateau von Giseh: Hexagon-Arithmetik
Eines der interessantesten, vom Verfasser bereits vor etwa 10 Jahren kurzzeitig veröffentlichten Proportionsphänomene auf dem Plateau von Giseh wird in diesem Abschnitt besprochen. Heute kann es Dank der Veröffentlichungen Moosbrugger-Leu's [Moosbrugger-Leu, A6] schließlich mit Proportionsphänomenen auf dem Plateau von Giseh in einen naheliegenden hypothetischen Einmesszusammenhang gebracht werden.
Es handelt sich dabei um das Proportionsverhältnis 1,1547... : 1, rechnerisch [2(sqrt(3)/3] : 1.
Dieses Proportionsverhältnis beschreibt das Verhältnis der Höhe eines in einen Kreis einbeschriebenen Hexagons (gleiseitiges Sechseck) zur Höhe des Hexagons und nimmt dementsprechend rechnerisch Bezug auf die Quadratwurzel aus 3. Die Sehnenlänge des Hexagons entspricht dabei bekanntermaßen dem Radius des Trägerkreises, in den sich das Polygon einbeschreiben lässt.
Der hypothetisch mit den Abmessungen auf dem Plateau von Giseh im Zusammenhang stehende Proportionszusammenhang findet sich auf dem Plateau von Giseh in mehreren (dem Verfasser bekannten) Zusammenhängen.
Diese auf dem Plateau von Giseh und in den Abmessungen der Cheops-Pyramide hypothetisch vorfindbaren Proportionszusammenhänge erklären sich dabei in der Theorie des Verfassers als Planungs- und Vermessungsprinzip in Anlehnung an Moosbrugger-Leu's Erläuterungen des verdrehten (überkreuzten) Aufspannens einer 12-streckigen Schnur zur gedoppelt punktgespiegelten, sich an den Spitzen berührenden Dreiecksfigur, die sich aus zwei gleichseitigen Dreiecken bildet (siehe [Moosbrugger-Leu, A6].

III.1.3 Mit 12-streckiger Schnur erzeugbarer Proportionszusammenhang des Hexagons (als messtechnische Näherung)[/]
Eine 12- streckige, exakt zur Schlaufe zusammengeknotete Schnurschlaufe weist ebenfalls 12 gleichlange Strecken auf. Werden mit der 12-streckigen Schnur, die auf die beschriebene Art und Weise überkreuz geschlagen und aufgespannt wird, entlang einer Fluchtschnur ausreichend vielzahlige Messungen (Schnurfigurbreite neben Schnurfigurbreite; nach [Moosbrugger-Leu, A6]) exakt nebeneinandergesetzt , entsteht automatisch eine Grundstruktur aus neneneinandergesetzten gleichseitgen Dreiecksfiguren, auf die sich die Struktur einer Hexagonfigur anwenden lässt (siehe angehängte Abb. 8): In das aus den nebeneinanderliegenden gleichseitigen Dreiecksfiguren entstandene Strukturgefüge lässt sich deshalb die Proportions-Phänomenik des Hexagons anwenden und bei ausreichend nebeneinandergesetzten Einmessungen der beschriebernen Art lässt sich schließlich auch eine vollständige Hexagon-Figur in das Strukturgefüge einbeschreiben.
Das aus der Hexagonfigur resultierende mathematische Proportionsgefüge lässt sich messtechnisch als ungefähre Näherung zu Berechnungen der Hexagonfigur verstehen, wenn z.B. Messschnüre verwendet werden: 2 Schnurstrecken einer aufgestrafften Schnurfigur nach dem Prinzip des Überkreuzschlags nach [Moosbrugger-Leu, A6] entsprechen dabei der Sehnenlänge (sH) eines Hexagons, das sich in einen Trägerkreis mit einem Radius von 2 Strecken und einem Durchmesser von 2 * 2 = 4 Strecken einbeschreiben ließe. Aus dieser Konstellation resultiert messtechnisch ungefähr und mathematisch exakt eine Hexagonhöhe (hH) von r * sqrt(3) = 2 * sqrt(3) = 3,464101615... Einheiten.

III.1.3.a Berechnung: Proportiongsgefüge Hexagon
r = Radius Trägerkreis Hexagon
d = Durchmesser Trägerkreis Hexagon
sH = Sehnenlänge Hexagon
hH = Höhe Hexagon

bei r = 1; d = 2

Höhe Hexagon:

hH = r * sqrt(3)
r * sqrt(3) = 1 * 1,7320508076...
r * sqrt(3) = 1 * 1,7320508076... = 1,7320508076...

entspricht:
sH * sqrt(3) = 1 * 1,7320508076...
sH * sqrt(3) = 1 * 1,7320508076... = 1,7320508076...

oder alternativ:

bei d = 2

hH = d / [2*(sqrt(3)/3)]
d / [(2*sqrt(3))/3] = 2 / [(2*sqrt(3))/3]
2 / [(2*sqrt(3))/3] = 2 / 1,154700538...
2 / 1,154700538... = 1,7320508076...

III.1.4 Die ermittelbare Verhältniszahl 1,1547... und die ungefähre Länge der halbierten Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide in Metern
(mehr dazu später)

III.1.5 Die Streckenausdehnung zwischen Südwestlicher Ecke Cheops-Pyramide und Nordöstlicher Ecke Chepren-Pyramide
Auf dem Plateau von Giseh lässt sich, gemessen vom Mittenpunkt der Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide zur nordöstlichen Ecke der Chepren-Pyramide eine rechtwinklige Dreiecksfigur einbeschreiben; hier als Proportionsfigur T1 benannt (siehe angehängte Abb. 4). Die Proportionsfigur T1 umfasst damit die (nach Messwerten von Flinders ermittelten [Flinders, E2]) Abmessungen:

III.1.5.a Berechnung Proportionsfigur T1 (rechtwinklige Dreiecksfigur)

bei
a = kürzeste Seite Dreiecksfigur
b = Seite der Dreiecksfigur im Rechten Winkel zur kürzesten Seite
c = Hypopthenuse (längste Seite der Dreiecksfigur)

Die kürzeste Seite der einbeschriebenen Proportionsfigur T1 bildet dabei den Abstand in Richtung Nord-Süd zwischen der Südkante der Cheops-Pyramide und der Nordkante der Chepren-Pyramide, daraus folgt errechnet nach Flinders auf dem Plateau von Gishe ermittelten Messwerten:

III.1.5.b Proportionsfigur T1 (rechtwinklige Dreiecksfigur):
a = kürzeste Seite Proportionsfigur
b = Seite im rechten Winkel zur Proportionsfigur
c = längste Seite der Proportionsfigur (Hypothenuse)
bei b = halbe Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide + Abstand in Richtung Ost-West zwischen Westkante Cheops-Pyramide und Ostkante Chepren-Pyramide (Messwerte nach [Flinders, E2]):

halierte (durchschnittliche) Basiskantenlänge Cheops-Pyramide = ca. 230,350 m
Abstand Cheops-Pyramide zu Chepren-Pyramide in Richtung Ost-West = ca. 111,610 m

b = (ca. 230,35 m / 2) + ca. 111,610 m
b = ca. 115,175 m + 111,610 m
b = ca. 226,785 m

Proportionsfigur T1:
a = ca. 131,050 m
b = ca. 226,785 m
c = ca. sqrt(a² + b²) = ca. 261,923 m.

Auffällig an dieser Konstellation ist, das Seitenlänge a der dreieckigen Proportionsfigur in etwa der Hälfte von Strecke c, also der Hypothenuse der Dreiecksfigur entspricht, denn ca. 261,923 m/ 2 = ca. 130,961 m:

a = ca. 130,961 m
c = ca. 261,923 m

c / a = ca. 261,923 m / ca. 130,961 m
ca. 261,923 m / ca. 130,961 m = 2,0000076359

Der oben beschriebene Proportionszusammenhang, der sich auf dem Plateau von Giseh ausmachen lässt, bedarf einer korrekten Einordnung im Hinblick auf mögliche vorstellbare und auch naheliegende Einmessungspraktiken (und potenzielle ursprüngliche Modellentwürfe für die Ermittlung der Orientierung der Chepren-Pyramide zur Cheops-Pyramide) der alten Ägypter im Abgleich mit den ihnen tatsächlich zur Verfügung stehenden gestalterischen und messtechnischen Mitteln und Methoden: Dass der Abstand zwischen der Cheops-Pyramide und der Chepren-Pyramide hypothetisch gestalterisch und messtrechnisch zueinander in Beziehung gestezt wurde, kann nicht ordentlich bewiesen werden. Es ist jedoch keineswegs abwegig anzunehmen, dass die altägyptischen Baumeister für den Standort und damit die Einmessung des Basisquadrats der Chepren-Pyramide nach Erbauung und Fertigstellung der Cheops-Pyramide messtechnischen Bezug auf die nachfolgende Baustufe auf dem Plateau von Giseh - die Errichtung der Cheprenpyramide - nahmen: So hätten z.B. Einnordung und Einfluchtungen der Cheops-Pyramide in Richtung Nord-Süd und in Richtung Ost-West planerisch-messtechnisch übernommen werden können, was EInmessabläufe hätte erleichtern können.
Der oben ermittelte Proportionszusammenhang lässt sich mit sehr großer Wahrscheinlichkeit auf die Proportionen des Hexagons (gleichseitiges, in einen Trägerkreis einbeschreibbares Sechseck) zurückführen. In seiner ursprünglichen (planerischen und bautechnischen Entstehung wäre der aufgezeigte Proportionszusammenhang damit vermutliches Resultat der grundsätzlichen Verwendung des Prinzips der 12-streckigen-Schnur in ihren ggf. verwendeten Abwandlungen und Variationen (siehe z.B. hypothetische Messschnüre der Harpedonapten und hypothetisches 100-Ellen-Seil der alten Ägypter).
Messchnüre und Messeile wären dabei von den alten Ägyptern sehr wahrscheinlich in entsprechenden Abwandlungen und Modifikationen des ursprünglichen Prinzips einer 12-streckigen Schnur spezifischer Länge sowohl gestalterisch-planerisch als auch schließlich einmesstechnisch (dabei möglicherweise entsprechend proportional verlängert) verwendet worden.
Die Möglichkeit, dass zu den genannten Abmessungen auf dem Plateau von Giseh tatsächlich ein Bezug zur Hexagonfigur herzustellen ist, kommt deshalb mit sehr großer Wahrscheinlichkeit in Betracht, weil sich z.B. aus einer 12-streckigen Messschnur durch Aufstraffen und Umschlagen (wie bereits besprochen) nach [Moosbrugger-Leu, A6] eine Schnurfigur mit exakt diesen Proportionen (rechnerisch exakt, messtechnisch als Näherung erzeugen lässt (siehe auch III.1.3.a) Berechnung: Proportionsgefüge Hexagon). Deshalb soll in diesem Zusammenhang folgend eine Vergleichsberechnung aufgestellt werden:

III.1.5.c Berechnung der mit der 12-streckigen Schnur erzeugbaren hexagonalen Struktur
Durch sepzielles Aufspannen (wie bereits erläutert; nach [Moosbrugger-Leu, A6]) kann mit der 12-streckigen Schnur bei exakter Abstreckung der Schnur und exakter Einmessung eine triangulatorische Grundstruktur entlang einer exakten Fluchtlinie erzeugt werden. In eine so erzeugte Grundstruktur lässt sich (bei entsprechend vielen additiven (d.H. exakt hintereinander gesetzten) Einmessungen spezifischer Art eine Hexagonfigur einbeschreiben (siehe angehängte Abb. 8).
Zur Schnurfigur mittels "Überkreuzschlag" lässt sich eine 12-streckige Schnur wie bereits aufgezeigt in eine proportionales Abmessungs-Verhältnis bringen, das sich widerum deckungsgleich in Bezug auf Höhe (oder auch Länge), auf die Sehnenlänge und auf die querverbindenen Strecken der entstandenen Hexagonfigur einbeschreiben lässt.

Vergleichsberechnung von im Überkreuzschlag aufgestraffter 12-streckiger-Schnur
bei

a = 1/12 Streckeneinheit berechneter 12-streckiger Schnur
2a = Seitenlänge (oder auch Breite) der schmalen Seite der Schnurfigur
h = Höhe der Schnurfigur
h/2 = halbe Höhe der Schnurfigur

sH = Sehnenlänge des Vergleichs-Hexagons
hH = Höhe des Vergleichshexagons
hH/2 = halbe Höhe des Vergleichs-Hexagons
r = Radius des Trägerkreises, in den sich das Vergleichshexagon einbeschreiben lässt
d = Durchmesser des Trägerkreises, in den sich das Vergleichshexagon einbeschreiben lässt

bei

a = 131,050 m
a = 1/12 Strecke der 12-streckigen Schnur
2a = 262,100 m
2a = 2/12 = 1/6 der 12-streckigen Schnur
4a = Länge eines jeweiligen Querverbinders der sich ergebenden Schnurfigur

Berechnung Schnurfigur
a = 131,050 m
2a = 262,100 m

(Querverbinder:)
4a = 4 * 131,050 m
4 * 131,050 m = 524,200 m
4a = 524,200 m

h = 2a * sqrt(3)
h = 262,100 m * sqrt(3)
262,100 m * sqrt(3) = 453,9705166638 m
h = 453,9705166638 m

h/2 = a * sqrt(3)
a * sqrt(3) = 226,9852583319 m
h/2 = 226,9852583319 m

(Hinweise: 524,200 m entsprechen in etwa 1000 alten ägyptischen Königsellen bei 0,525 m nach [Lepsius, B18] für eine alte ägyptische Königselle: 524,200 m / 0,525 m = 998,4761904762 Ellen
ca. 524,200 m / 2 entsprechen ca. 262,100 m, was bei einer Elle von ca. 0,525 m etwa 500,6685768863 Ellen entspräche;
131,050 m entspächen bei einer Elle von 0,525 m ca. 249,619047619 Ellen.)

Vergleichsberechnung Hexagon
sH/2 = 131,050 (Einheiten)

sH = 2 * sH/2
2 * sH/2 = 2 * 131,050 (Einheiten)
2 * 131,050 m = 262,100 (Einheiten)
sH = 262,100 (Einheiten)

hH = sH * sqrt(3)
sH * sqrt(3) = 262,100 (Einheiten) * sqrt(3)
262,100 (Einheiten) * sqrt(3) = 453,9705166638 (Einheiten)

r = sH
r = 262,100 (Einheiten)

d = 2 * sH
2 * sH = 2 * 262,100 (Einheiten)
2 * 262,100 (Einheiten) = 524,200 (Einheiten)

Vergleich der Ergebnisse mit von Flinders ermitteltem durchschnittlichen Ellenwert auf dem Plateau von Giseh
Für die vergleichende Berechnung mit den von Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelten Messwerten (siehe [Flinders, E2]) die von Flinders ermittelte durschnittliche Ellenlänge von 0,5236 m verwendet. Wird ein Hexagon (in Korrespondenz zu der zu gleicher Systematik aufgespannten 12-streckigen Schnur) berechnet, entstehen die folgenden Proportiongsgefüge:

Vergleichsberechnung mit Ellenwerten:
bei
1 Elle = 0,5236 m (Flinders Durchschnittelle für das Plateau von Giseh)
sH/2 = 250 Ellen
sH = 2 * 250 Ellen
sH = 500 Ellen

sH = 500 Ellen
sH = 500 * 0,5236 m
500 * 0,5236 m = 261,800 m
sH = 261,800 m

sH = r
r = 500 Ellen
r = 261,800 m

d = 2 * sH
2 * sH = 2 * 500 Ellen
2 * 500 Ellen = 1000 Ellen
1000 Ellen = 1000 * 0,5236 m
1000 * 0,5236 m = 523,600 m
d = 523,600 m

hH = sH * sqrt(3)
sH * sqrt(3) = 500 Ellen * sqrt(3)
500 Ellen * sqrt(3) = 866,0254037844 Ellen
hH = 866,0254037844 Ellen

(500 * 0,5236 m) * sqrt(3)
(500 * 0,5236 m) * sqrt(3) = 453,4509014215 m
hH = 453,4509014215 m

Verhältnisberechnung Breite Hexagon zu Höhe Hexagon mit Flinders Ellenwerten
d = 1000 Ellen
d = 523,600 m
hH = sH * sqrt(3) Ellen
hH = 866,0254037844 Ellen
hH = 453,4509014215 m

d : hH = Breite Hexagon : Höhe Hexagon
d : hH = 1 / [2 * (sqrt(3)/3)]

d : hH = 1000 Ellen / 866,0254037844 Ellen
1000 Ellen / 866,0254037844 Ellen = 1,1547005384

d : hH = 523,600 m / 453,4509014215 m
523,600 m / 453,4509014215 m = 1,1547005384

zum Vergleich:
1 / [2 * (sqrt(3)/3)] = 1 / 1,15470005384

Folgender hypothetischer Zusammenhang resultiert aus den vorangestellten Berechnungen im Hinblick auf die Abmessungen des Hexagons und der damit in Bezug auf Proportionszusammenhänge korrespondieren 12-streckigen Schnur im Hinblick auf die Abmessungen auf dem Plateau von Giseh im Abgleich mit den hypothetischen Planungs- und Einmessmöglichkeiten der alten Ägypter:
In einer Trägerkreisfigur mit einem Durchmesser von 1,000 Einheiten lässt sich die Proportionsphänomenik gestalten und berechnen, die sich korrespondierend auf eine 12-streckige Messschnur übertragen lässt.
Übertragen auf die hypothetische Einmessung des Plateaus von Giseh mit Messschnüren bestimmter Länge resultiert daraus die Möglichkeit, die Dimensionierungen zwischen Cheops-Pyramide und Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh (Dimensionierung zwischen Südwest-Kante der Cheops-Pyramide und Nordost-Kante der Chepren-Pyramide) mit einer überkreuzgeschlagenen aufgestrafften 12-streckigen Schnur bei sH = 2/12 Strecken zu (2 * sqrt(3)) Strecken Höhe als Proportionsverhältnis der resultierenden Schnurfigur zu erzeugen.
Die Schnurfigur wäre hierfür (wie bereits erläutert) im hypothetischen modellhaften Planentwurf mit dem sich im Überkreuzschlag ergebenden Schnittpunkt der Schnurstränge (Querverbinder) exakt auf dem Mittelpunkt der Südkante der Cheops-Pyramide positioiniert worden. Durch achssymetrisches Einfluchten der Schnurfigur entlang der Südkante der Cheops-Pyramide hätte sich dann der Punkt für die Position der Nordost-Kante der Chepren-Pyramide in der verbauten Realität in Richtung Süd-West ergeben.

III1.6 Nord-Süd-Ausdehnung des Plateaus von Giseh (Messwerte Flinders)
Bei dem hier rechnerisch in III.1.5.c ermittelten hypothetischen (rechnerischen) Messwert von 453,9705166638 m für die Nord-Süd-Ausdehnung des Pleateaus von Giseh fällt auf, dass der Messwert etwa der Hälfte der Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd (in Bezug auf die dort verbauten drei Großpyramiden) entspricht:

Ausdehnung Plateau von Giseh in Richtung Nord-Süd
Nach Flinders in Inches ermittelten Messwerten entspricht die Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd ca. 907,15 m. Es fällt auf, dass 907,15/2 Meter 453,575 m entsprechen.
Es ist auf Grundlage dieses Zusammenhangs nicht abwegig, hypothetisch davon auszugehen, dass sich die Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd im Modellentwurf mit einer 12-streckigen Schnur realisieren lässt:
Eine 12-streckige Schnur von beliebiger Länge erzeugt (wie bereits aufgezeigt) aufgrund der arithmetischen Eigenschaften der 12-fachen gleichmäßigen Streckenteilung die gleichartige Proportionsphänomenik wie ein Hexagon (im Hinblick auf Breite und Höhe des Hexagons sowie des Durchmessers des Trägerkreises, in das ein Hexagon einbeschrieben werden kann.
Deshalb genügt es (bei Annahme von Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelter Durchschnittselle von ca. 0,5236 m [Flinders, E2]) im Modellentwurf mit einer 12-streckigen Schnur von 12 meh Länge (entspricht 12 * ca. 0,5236 m = 6,2832 m) eine durch Anwendung des Überkreuzschlags erzeugte, punktgespiegelte gleichseitige Doppeldreiecksfigur zweimal hintereinander weg (in Richtung der längeren Seite der Schnurfigur) exakt aneinanderzureihen um die Längenausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd als Modellentwurf im Maßstab 1 : 500 zu erzeugen:

Berechnung der Schnurfigur für Modellentwurf bei 6,2832 m Schnurlänge
bei a = 1/12 Messschnur und rechtwinkliger Aufspannung folgt:

2a * 4a = rechteckige Abmessungen der aufgespannten Schnurfigur
{2a : 4a} = Proportion der als Rechteck aufgespannten Schnurfigur

2 : (4 / (2 * (sqrt(3)/3)) = 2 : (4 / 1,1547005384)
2 : (4 / 1,1547005384) = 2 : 3,4641016151 Schnurstrecken von je 1/12 Schnur

(siehe angehängte Abb. 6)

interessant ist bei dieser mathematisch berechneten Schnurfigur, die messtechnisch natürlich nur annähernde Exaktheit der Aufspannung erzeugt, die Längenausdehung der Schnurfigur:

2a = Breite der Schnurfigur
4a / (2 * (sqrt(3)/3)) = Länge der Schnurfigur, die im folgenden als "hexagonal reduzierte Rechtecksschnurfigur bei 2a : 4a" bezeichnet wird.

oder auch:

2a Breite : hexagonal reduzierten 4a Länge

Die hexagonal reduzierte Länge von 4a (als Strecken) entspricht bei Verwendug einer 12 meh langen Messschnur bei Annahme von Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelten durchschnittlicher Elle von 0,5236 m [Flinders, E2] also
einer Länge von 3,4641016151 Schnurstrecken von je 1/12 Schnur, das sind in Metern bei einer Elle von 0,5236 m:

3,4641016151 * 0,5236 m = 1,8138036057 m

Da die originale Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd nach Flinders [Flinders, E2] ca. 907,15 m beträgt, folgt daraus ein Maßstab zwischen Entwurf mit 12 meh langer Messschnur und Original von

907,15 m : 1,8138036057 m = ca. 500,1368379406

also ein Maßstab von 1 : 500

wenn hypothetisch angenommen wird, dass die Längenausdehnung in Richtung Nord-Süd auf dem Plateau von Giseh tatsächlichg im Zusammenhang mit der zuvor aufgezeigten Konstruktionsmethode eines zweimal hintereinander gereihten Überkreuzschlags steht.
In einer realistischen rekonstruierenden Einmessung der Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd würde die hypothetische zur Schnurschlaufe zusammengeknotete (rein fiktive, weil praktisch tatsächlich unmöglich anwendbare) Messschnur maßstabsgerecht eine Länge von 6000 meh (entspricht etwa 3141,600 m bei einer nach Flinders für das Plateau von Giseh [Flinders, E2] angenommenen Durchschnitts-Ellenlänge von 0,5236 m) Länge aufweisen, eine Länge also, die für die Anwendung eines tatsächlichen Messwerkzeugs aus Schnur oder Seil also völlig absurd ist.
Hypothetisch soll dennoch aufgezeigt werden, welcher Proportionszusammenhang sich aus einer solchen fiktiven Schnur theoretisch erzeugen lässt:
Wird eine theoretische, in 12 gleichlange Streckenabschnitte eingeteilte Messschnur von 6000 meh Länge zur theoretischen Rechteckfigur bei einer Breite von 2/12 Gesamtstrecke der fiktiven Messschnur aufgespannt, entsteht eine Rechteckfigur:

mit den Breitenabmessungen:

in meh
2a = 2/12 * 6000 meh
((6000 / 12) * 2) meh = 1000 meh
2a = 1000 meh

in Metern
2a = 1000 meh
1000 * 0,5236 m = 523,600 m
2a = 523,600 m

und den Längenabmessungen:

in meh
b = 4/12 * 6000 meh
4/12 * 6000 meh = (4 * (6000 / 12)) meh
(4 * (6000 / 12)) meh = 2000 meh
b = 2000 meh

in Metern
b = 4/12 * (6000 * 0,5236 m)
4/12 * (6000 * 0,5236 m) = 4/12 * 3141,600 m
4/12 * 3141,6 m = (4 * (3141,600 / 12)) m
(4 * (3141,600 / 12)) m = (261,800 * 4) m
(261,800 * 4) m = 1047,200 m

Von Interesse für die Ausdehnungen des Plaetaus von Giseh ist nun der Zusammenhang, der entsteht, wenn dieselbe, zur Rechteckfigur aufgespannte fiktive Messschnur mittels Überkreuzschlag bei gleicher Breite von 2a = 500 meh = 261,800 m korrekt eingefluchtet zur Schnurfigur aufgestrafft wird. Es entsteht dann folgender Proportions-Zusammenhang:

Breite der Schnurfigur bei Überkreuzschlag
2a = 1000 meh
2a = 523,600 m

Länge der Schnurfigur bei Überkreuzschlag (in meh)
b = (2a * sqrt(3)) meh
(2a * sqrt(3)) meh = ((1000 * sqrt(3)) meh
((1000 * sqrt(3)) meh = 1732,050 meh
b = 1732,050 meh

Länge der Schnurfigur bei Überkreuzschlag (in Metern)
2a = 523,600 m
b = (523,600 * sqrt(3)) m
(523,600 * sqrt(3)) m = 906,902 m (aufgerundet)
b = 906,902 m

(bei den vorstehenden Berechnungen wurde die alternative - vereinfachte -Berechnung für das proportionale Verhältnis zwischen der Sehenlänge eines Hexagons im Verhältnis zu seiner Höhe verwendet, dieses proportionale Verhältnis beträgt in Bezug auf die in einen Trägerkreis einbeschreibbare Hexagonfigur als Polygon Radius Trägerkreis * sqrt(3) oder auch r * sqrt(3).)

Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd: Vergleich ermittelter Werte
Der Vergleich der von Flinders ermittelten Messwerte für die Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd mit den hier hypothetisch ermittelten Werten zeigt folgendes Verhältnis der Werte auf:

Längenausdehnung Plateau von Giseh in Richtung Nord-Süd (in Metern
Messwerte Flinders (umgerechnet in Meter) = 907,15 m
hier hypothetisch errechnete Werte = 906,902 m
(bei einer angenommenen Ellenlänge von 0,5236 m nach Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelter Durchschnittselle [Flinders, E2]).

prozentualer Vergleich der Werte:

907,15 m = 100%
906,902 m = (906,902 / (907,15 / 100)) %
(906,902 / 9,0715) % = 99,973 % (aufgerundet)

prozentuales Verhältnis der Werte:
100% : 99,973 %

Differenz in Prozent:
100% - 99,973% = ca. 0,027% Differenz

Übertragung der Einmesszusammenhänge auf ein hypothetisches Einmesskonzept
Das zuvor aufgezeigte hypothetische Einmesskonzept für eine Planung der Dimensionierung des Plateaus von Giseh im Modellentwurf hätte sich die Ausdehnung in Richtung Nord-Süd des Plateaus von Giseh von den alten Ägyptern unter Verwendung einer 84 shesep langen Messschnur erzielen lassen. Hierfür wäre die mit Überkreuzschlag aufgespannte 84 shesep lange Messschnur entlang einer in Richtung Nord-Süd exakten Fluchtung theoretisch 500 mal exakt hintereinander weg aneinandergereiht worden. Diese Anzahl von Aneinanderreihungen ergibt sich, weil die durch Überkreuzschlag in ihrer Länge erzeugte Schnurfigur eine Länge von (28 / [2 * (sqrt(3)/3)] shesep aufgewiesen hätte. (28 / [2 * (sqrt(3)/3)] shesep entsprechen einer Längenabmessung der Schnurfigur von 24,248711306 shesep.
Die von Flinders ermittelte Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd von 907,15 m hätte deshalb relativ exakt von den alten Ägyptern auf diese Art und Weise ermittelt worden sein können, weil eine Länge von (rechnerisch) 24,248711306 shesep sich auf eine hypothetische errechnete Länge von (14.000 / [2 * (sqrt(3)/3)]) shesep anwenden lässt (2000 meh entsprechen 14.000 shep, weil 2000 * 7 = 14.000, da 1 meh Länge aus jeweils 7 shesep Länge besteht):

(14.000 / [2 * (sqrt(3)/3)]) / (28 / [2 * (sqrt(3)/3)] = 500

Hätten die alten Ägypter im Verhältnis zur 84 shesep langen Schnur entsprechend proportional verlängerte Messschnüre (oder Messeile) verwendet, hätte die Anzahl der hypothetischen hintereinandergereihten Einmessungen entlang einer Fluchtung in Richtung Nord-Süd des Plateaus von Giseh entsprechend reduziert werden können:

500 Einmessungen bei Verwendung einer 84 shesep langen Messschnur
50 Einmessungen bei Verwendung eines 840 shesep langen Messeils

(ein 840 shesep langes Messeil entspräche einer Länge von 840/7 meh = 120 meh.
Diese Einmesspraxis hätte sich also mit einem 120 meh langen Messeil von den alten Ägyptern realisieren lassen. Da die alten Ägypter unseres heutigen Wissens jedoch kein explizit 120 Ellen langes Messeil verwendeten, muss die Verwendung eines solchen Messeils hypothetisch bleiben und als unbeweisbar gelten.
Die alten Ägypter hätten sich jedoch mit anderen Einmesspraktiken behelfen können, die heute möglicherweise noch unbekannt sind: Entscheidend in diesem Zusammenhang ist, dass die Methodik der Erzeugung eines Modellentwurfs von der anschließenden tatsächlichen Methodik der Einmessung hätte aweichen können.

III.1.3.1 Ausdehnung Plateau von Giseh, Nord-Süd (Nordkante Cheops-Pyramide bis Südkante Mykerinos-Pyramide):
Nach Flinders beträgt die durchschnittliche Basiskantenlänge der Mykerinos-Pyramide auf dem Plateau von Giseh 105,5 m. In Richtung West-Ost ist die Ost-Kante der Mykerinos-Pyramide nach Flinders ca. 79,65 m Meter von der West-Kante der Chepren-Pyramide entfernt. Da die Chepren-Pyramide eine von Flinders ermittelte mittlere Basiskantenlänge von ca. 215,26 m und damit eine halbierte Basiskantenlänge von 215,26 m / 2 = 107,63 m als Mittelwert aufweist, ergibt sich (nach [Flinders, EB2] daraus folgender interessanter Proportionszusammenhang auf dem Plateau von Giseh:

Distanz Mykerinos-Pyramide zu Chepren-Pyramide in Richtung West-Ost = 79,65 m
Länge halbierter (durchschnittlicher) Basiskantenlänge Cheprenpyramide = 107,63 m

es folgt:

79,65 m + 107,63 m = 187,28 m

Dieser Abmessungswert lässt einen Zusammenhang zum alten ägyptischen Remen (Pygon) messtechnisch als naheliegend erscheinen, denn 1 Remen entspricht in Bezugnahme auf Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelter Durschnitts-Elle von 0,5236 m [Flinders, EB2] einer Strecke von 0,373 m, weil sich bei der Verwendugn der im alten Ägypten üblichen Näherungslösung für die Bestimmung des proportionalen Streckenverhältnisses zwischen alter ägptischer Königselle und dem Remen folgender Streckenzusamenhang ergibt:

Altägyptisches Remen (Pygon)
Das altägyptische Remen besitzt nach Lepsius [Lepsius, B18, S. 5] aufgrund der Verhältniszuordnung der alten ägyptischen Königselle zum Remen von 7 : 5 Strecken bei Lepsius angenommener Elle von 52,5 eine Länge in Metern von 0,375 m (siehe [Lepius, B18, Anhang mit Bildtafeln]).

0,525 m : 1,4 = 0,375 m

es folgt zum Vergleich:
79,65 m + 107,63 m = 187,28 m
187,28 m / 0,375 m = 499,4133333333

Verwenden wir Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelten Durschnittswert von 0,5236 m [Flinders, E2] für eine alte ägyxptische Königselle, ergibt sich für die Länge des Remen:

0,5236 m : 1,4 = 0,374 m

es folgt zum Vergleich mit Lepsius Ellenwert von 0,525 m als Basis für die Ermittlung der Remenlänge:
79,65 m + 107,63 m = 187,28 m
187,28 m / 0,375 m = 499,4133333333

es folgt zum Vergleich mit Flinders Ellenwert von 0,5236 m als Basis für die Ermittlung der Remenlänge:
79,65 m + 107,63 m = 187,28 m
187,28 m / 0,374 m = 500,7486631016

Wird diese rechnerisch ermittelte Streckenlänge auf dem Plateau von Giseh auf die Abmessungswerte angewendet (hier flinders-basierte Werte), die sich aus der Distanz zwischen der Ostkante der Mykerinos-Pyramide und dem Mittelpunkt der Strecke der Basiskantenlänge der Südkante der Chepren-Pyramide (als Mittelwert) ergibt, lässt sich folgender hypothetischer Proportionszusammenhang daraus ableiten (siehe vorherige Berechnungen):

Distanz Mykerinos-Pyramide zu Chepren-Pyramide in Richtung West-Ost = 79,65 m
Länge halbierter (durchschnittlicher) Basiskantenlänge Cheprenpyramide = 107,63 m

79,65 m + 107,63 m = 187,28 m

durchschnittliches Remen auf dem Plateau von Giseh (nach Flinders) = ca. 0,374 m

187,28 m / 0,374 m = 500,7486631016 (gerundet)

Angenommen, der ursprünglich geplante Abstand zwischen der Mykerinos-Pyramide und der Chepren-Pyramide wäre von den ausführenden altägyptischen Baumeistern tatsächlich mit einem einzumessenden Streckenmesswert von 500 Remen für den Abstand zwischen der Ostkante der Mykerinos-Pyramide und dem Basismittelpunkt der Südkante der Chepren-Pyramide geplant worden, welche messtechnischen Schlussfolgerungen könnten dann daraus resultieren? Folgende hypothetische Möglichkeit kommt dafür naheliegend in Betracht (leichte, messwerkzeugbedingte Messungenauigkeiten bewusst mit einkalkulierend) :
Angenommen, ein altägyptischer Baumeister hätte im Modellentwurf eine Dimensionierung der Mykerinos-Pyramide zur Chepren-Pyramide geplant, die sich (im Modellentwurf) mit einer 84 shesep langen Messschnur (hypothetische lange Schnur der Harpedonapten) hätte realisieren lassen, wie wäre er möglicherweise vorgegangen? Vorschlag:

Proportionsfgigur T2 auf dem Plateua von Giseh
eine 72 shesep lange Messschnur (siehe hypothetische mittlere Messschnur der altägyptischen Harpedonapten) erzeugt folgende Proportionsphänomenik, wenn sie mittels Überkreuzschlag nach dem Prinzip des summarischen Tripels

25 : 60 : 65 oder auch 2 + 1/2 : 6 : 6 + 1/2 bzw. dezimal 2,5 : 6 : 6,5 aufgespannt wird, wenn in 1/2-schesep-Schritten gemessen und gerechnet wird (bei angenommener von Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelter Durschnittselle von 0,5236 m [Flinders, E2]:

bei
1 meh = 0,5236 m
1 meh = 7 schesep

1 schesep = 0,5236/7 m
1 schesep = 0,0748 m

1 schesep = 4 djeba
1 djeba = 1/28 meh
1/28 meh = 0,5236 / 28 m
0,5236 / 28 m = 0,0187 m

1/2 schesep = 2 djeba
2 djeba = (2 * (1/28)) meh
(2 * (1/28)) meh = 2 * 0,0187 m
2 * 0,0187 m = 0,0374 m

0,0374 m = 1/10 Remen

oder auch:
1/2 schesep = 2 djeba
2 djeba = 2 * 0,0187 m

wird nach den vorstehenden mathematischen Zusammenhängen eine Messschnur von 72 halben schesep mittels Überkreuzschlag (nach dem prinzipiellen Vorbild nach [Moosbrugger-Leu, A6], jedoch mit abweichendem Proportionszusammenhang aufgespannt, entsteht bei einer Grundunterteilung der (72 * 1/2) schesep langen Messschnur in 12 Teilstrecken von jeweils ((72 * 1/2) schesep) = 36 schesep Gesamtlänge der Schnur folgende Proportionsphänomenik, wenn die Schnur zu einer Schnurfigur aufgespannt wird:

bei
1/12 Schnur = 36/12 schesep
36/12 schesep = 3 schesep

a = 1/12 Schnur
a = 3 schesep

72/2 schesep = 36 schesep
72/2 schesep / 12 = 6/2 schesep
6/2 schesep = 3 schesep

a = 1/12 Schnur
a = 3 schesep

2a = Breite Schnurfigur
2a = 2 * 3 schesep
2 * 3 schesep = 6 schesep
Breite Schnurfigur = 6 schesep
Breite Schnurfigur = (6 * 2) halbe Schesep
(6 * 2) halbe Schesep = 12 halbe schesep
2a = 12 halbe schesep

in Metern:
2a = 12 halbe schesep
1/2 schesep = 1/14 mh
1/14 meh = (0,5236 / 14) m
(0,5236 / 14) m = 0,0374 m
0,0374 m = 1/10 Remen
1/14 meh = 1/10 Remen

12 halbe schesep = 12 * 1/10 Remen
12 * 1/10 Remen = 12/10 Remen
12/10 Remen = 12 * 0,0374 m
12 * 0,0374 m = 0,4488 m
2a = 0,4488 m

Breite der Schnurfigur (mit Affinität zu Proportionsfigur T2) figur bei Messschnur von 72 halben schesep = 10/2 schesep oder 5 schesep oder 6/7 alte ägyptische Königselle oder 12/10 Remen oder auch 0,4488 m

Proportionsverhältnis alte ägyptische Königselle zu 0,4488 m:
0,5236 m / 0,4488 m = 1,166 (Periode)
1,166 (Periode) = 7/6
0,4488 m = 6/7 alte ägyptische Königselle

Länge der Schnurfigur (mit Affinität zu Proportionsfigur T2):
bei
a = 6 halbe schesep
2a = 12 halbe schesep

a = 0,2244 m
2a = 0,4488 m

Länge der Schnurfigur = 2a * sqrt(3)
2a * sqrt(3) = (2 * 0,2244 m) * sqrt(3)
(0,4488 m) * sqrt(3) = 0,777344402 m

Entscheidend im Hinblick auf die auf dem Plateau von Giseh tatsächlich verbaute Dimensionierung zwischen der Chepren-Pyramide und der Mykerinos-Pyramide ist nun die hypothetische korrekte Anwendung einer wie oben berechneten planerischen Schnurfigur:

Einbeschrieben lässt sich die Proportionsfigur T2 in die halbierte zuvor beschriebene und berechnete Schnurfigur bei:
a (Proportionsfigur T2) = entspricht a der Schnurfigur
b (Proportionsfigur T2) = entspricht 1/2 der Länge der Schnurfigur
c (Proportionsfigur T2) = entspricht der halbierten Länge eines Querverbinders der Schnurfigur

Das sich ergebende Streckenverhältnis bei der aufgespannten Schnurfigur ergibt sich aus dem summarischen Tripel mit 25 : 60 : 65 bzw. 2,500 : 6,000 : 6,500 weil nach dem Satz des Pythagoras:

a = 2,5
b = 6,0
c = sqrt(a² + b²)
sqrt(a² + b²) = 6,5

Proportionsverhältnis b zu a:
a = 2,5
b = 6,0

b : a = 2,4

es folgt:

a Schnurfigur = 2,5 Teilstrecken
Querverbinderstrecke Schnurfigur = c Schnurfigur
c Schnurfigur = 6,5 Teilstrecken

Gesamtlänge der Messschnur, aufgeteilt in proportionale Strecken = 2,5 + 2,5 + 6,5 + 6,5 + 2,5 + 2,5 + 6,5 + 6,5
2,5 + 2,5 + 6,5 + 6,5 + 2,5 + 2,5 + 6,5 + 6,5 = 36 Teilstrecken

gerechnet mit halbierten Teilstrecken ergibt sich:
(2,5 * 2) + (2,5 * 2) + (6,5 * 2) + (6,5 * 2) + (2,5 * 2) + (2,5 * 2) + (6,5 * 2) + (6,5 * 2) Teilstrecken = 5 + 5 + 13 + 13 + 5 + 5 + 13 + 13 Teilstrecken = 72 Teilstrecken

Diese Proportionsphänomenik kann auf eine fiktive Messschnur mit einer Gesamtlänge von 12 * 250 Remen = 3000 Remen übertragen werden. Bei einer mit 1/2-Remen-Schritten konzipierten fiktiven (messtechnisch nicht sinnvoll möglichen)
Messschnur würde sich eine fiktive Schnurlänge von 6000 Remen ergeben. Die Streckenverteilung der fiktiven Messschnur mit einer Länge von 6000 halben Remen würde sich dann folgendermaßen ergeben:
bei
Proportionsverhältnis b zu a = 2,4

a = 500 halbe Remen
2a = 1000 halbe Remen
2a * 2,4 = Länge der Schnurfigur in Remen
2a * 2,4 = Länge Schnurfigur
2,4 * (1000 halbe Remen) = 2.400 halbe Remen

in Metern:
1/2 Remen = (0,374 / 2) m
1/2 Remen = 0,187 m
2.400 halbe Remen = 2.400 * 0,187 m
2.400 * 0,187 m = 448,400 m

Wird die Schnurfigurlänge nun halbiert, lässt sich die Proportionsfigur T2 in eine der beiden gleichseitigen Dreiecksfiguren einbeschreiben, die sich aus der Aufspannung der fiktiven Messschnur von 3000 Remen Gesamtlänge bei Anwendung des Überkreuzschlags bei einem Teilstreckenverhältnis von

(3000/60) = 50
50 Remen = 1/60 von 3000 Remen
a = 250 Remen
b = 500 Remen
(13 * 50) Remen = Querverbinderstrecke
(13 * 50) Remen = 650 Remen

(10 * 50 Remen) : (13 * 50 Remen) : (13 * 50 Remen) : (10 * 50 Remen) : (13 * 50 Remen) : (13 * 50 Remen) =

500 Remen : 650 Remen : 650 Remen : 500 Remen : 650 Remen : 650 Remen

Aus dieser Gesamtkonstellation ergibt sich nun für die Proportionsfigur T2 und damit auch für die fiktive Schnurfigur folgende Proportionsphänomenik:
bei c : a = 2,4

2a Breite der Schnurfigur = 500 Remen
2b = Länge der Schnurfigur = (500 * 2,4) Remen
b = halbierte Länge der Schnurfigur =
c = Querverbinderstrecken
c = 650 Remen

b = (2a * 2,4) / 2
(2a * 2,4) / 2 = ((500 * 2,4) / 2) Remen
((500 * 2,4) / 2) Remen = 1200/2 Remen
1200/2 Remen = 600 Remen
Schnurfigurhöhe = 600 Remen

Schnurfigurhöhe in Metern:
bei
1 Remen = 0,374 m
600 Remen = 600 * 0,374 m
600 * 0,374 m = 224,4 m

Es ergibt sich also im Vergleich mit den auf dem Plateau von Giseh tatsächlich verbauten, von Flinders [Flinders, E2] ermittelten Messwerten:

Plateau von Gishe: Dimensionierung Chepren-Pyramide zu Mykerinos-Pyramide

Abstand Basiskantenmittelpunkt Richtung Nord-Süd Chepren-Pyramide zu Nord-Süd-Linie Höhe Ostkante Mykerinos-Pyramide:

durchschnittliche Basiskantenlänge Cheprenypramide (nach [Flinders, E2]) = (215,26 / 2) m
(215,26 / 2) m = 107,63 m
durchschnittliche Basiskantenlänge Cheprenypramide = 107,63 m

Distanz Westkante Chepren-Pyramide zu Ostkante Mykerinos-Pyramide = 79,65 m
107,63 m + 79,65 m = 187,28 m.

Abstand Basiskantenmittelpunkt Richtung Nord-Süd Chepren-Pyramide zu Nord-Süd-Linie Höhe Ostkante Mykerinos-Pyramide = 187,28 m.

Abstand Südkante Chepren-Pyramide Richtung Nord-Süd zu Nordkante Mykerinos-Pyramide (nach [Flinders, E2]):

Abstand Südkante Chepren-Pyramide Richtung Nord-Süd zu Nordkante Mykerinos-Pyramide = ca. 224,95 m

Vergleich der Werte:
Abstand Basiskantenmittelpunkt Richtung Nord-Süd Chepren-Pyramide zu Nord-Süd-Linie Höhe Ostkante Mykerinos-Pyramide (nach [Flinders, E2]) = 187,28 m.

hier für fiktive Messschnur errechneter Messwert = 500 Remen
(bei 1 Remen = 0,374 m nach [Flinders, E2])
500 Remen = 500 * 0,374 m
500 * 0,374 m = 187 m

Differenz der Werte:
187,28 m - 187 m = 0,28 m

Abstand Südkante Chepren-Pyramide Richtung Nord-Süd zu Nordkante Mykerinos-Pyramide (nach [Flinders, E2]) = 224,950 m

hier für fiktive Messschnur errechneter Messwert = 600 Remen
600 Remen = 600 * 0,374 m
600 * 0,374 m = 224,400 m

Differenz der Werte:
224,950 m - 224,400 m = 0,55 m

Gesamtausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd: Vergleich alte ägyptische Königselle Elle zu Remen
Die Gesamtausdehnung des Plateaus in Richtung Nord-Süd, beträgt auf Grundlage der zuvor errechneten Zusammenhänge hypothetisch eine planerische Streckenlänge von durch Überkreuzschlag aufgestraffte Messschnurfiguren hexagonal reduzierten 2000 meh.
Gleiche hypothetisch planerische Streckenlänge lässt sich auch durch Verwendung des Grundmaßes Remen bei gleichlanger fiktiver Messschnur durch Überkreuzschlag erzeugen, denn 28.000 hexagonal reduzierte Remen entsprechen 20.000 hexagonal reduzierten meh, weil alte ägyptische Königselle (meh) und Remen im proportionalen Zusammenhang von 1 : 0,714285714 oder auch 7 : 5 Strecken (als messtechnischer Näherungslösung zur Quadratwurzel aus 2 von 1,414213562 stehen.
Da alte ägyptische Königselle und Remen proportionstechnisch über die Quadratfigur-Konstruktion in Verbindung stehen, lässt sich die Abmessung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd von 907,15 m auch in eine entsprechende Anzahl von hexagonal reduzierten Remen auflösen, denn:

907,15 m / (0,374 m / [2 * (sqrt(3)/3)]) = 907,15 m / (0,374 m / 1,1547005389...)
907,15 m / (0,374 m / 1,1547005389...) = 2800,766 Remen

Deshalb kann für die Ausdehnung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd alternativ folgender Streckenvergleich angeführt werden:

907,15 m = 2000 hexagonal reduzierte meh
2000 hexagonal reduzierte meh = 2800 hexagonal reduzierte Remen

2800 hexagonal reduzierte Remen = (2000 * 0,374) / [2 * (sqrt(3)/3)]) m
(2800 * 0,374) / [2 * (sqrt(3)/3)]) m = 906,9018028 m
2800 hexagonal reduzierte Remen = 906,9018028 m

oder alternativ ausgedrückt: Die hypothetische planerische Ausdehnung des Plateaus von Giseh beträgt 2000 hexagonal reduzierte meh oder 2800 hexagonal reduzierte Remen, weil meh und Remen über die Quadratfigur-Konstruktion in einem proportionalen Beziehungsgefüge stehen.
Deshalb lassen sich sowohl die Einmessung von 2000 meh Streckenlänge als auch die Einmessung einer Streckenlänge von 2800 Remen mit einer 12-streckigen Messchnur von gleicher Machart bei spezifischer Länge messtechnisch ermitteln.

herkömmliche und hexagonal reduzierte Streckenmaße meh und Remen
(die hexagonale Reduzierung der Streckenmaße erfolgt über die beschriebene Aufstraffung eines in 12 gleichlange Teilstrecken aufgestrafften Messwerkzeugs aus Schnur oder Seil entsprechender Länge.)

Es ist möglich, eine Messschnur von 12 gleichlangen Teilstrecken zu einer Messfigur mit den folgendne Strecken aufzuspannen:

Breite = 2 von 12 Strecken
Länge = 4 von 12 Strecken

das hexagonal reduzierte Aufstraffen einer 12-Strecken-Schnur meint hier das durch Überkreuzschlag erzeugte Aufstraffen der ursprünglichen, 2 * 4 Strecken messenden Rechteckfigur [nach Moosbrugger-Leu, A6].

durch die Aufstraffung mit Überkreuzschlag entsteht das reduzierte Proportionsverhältnis von herkömmlicher Höhe (4 Strecken) der ursprünglich rechteckigen Schnurfigur zu hexagonal reduzierter Höhe der Schnurfigur von
4 / [2 * (sqr(3)/3)] Strecken. Daraus resultiert die folgende grundsätzliche hexagonal reduzierte Schnurfigurenlänge:

4 / [2 * (sqr(3)/3)] Strecken = 4 / 1,1547005384 Strecken
4 / 1,1547005384 Strecken = 3,464101615 Strecken

Beispiel für durch Überkreuzschlag reduzierte Figurenhöhe bei z.B. 12-Strecken langen Vermessungswerkzeugen aus Schnur und Seil als Schlaufe (Maßangaben in shesep)
(Ausschreiben der rechnerisch ermittelten reduzierten Längenwerte soll Umrechnungsungenauigkeiten vermeiden)
Gewählt werden hier die Längen der hypothetisch von den altägyptischen Schnur- und Seilvermessern [nach W4] verwendeten Messchnurlängen:

[Länge Schnur/Seil] ; [Breite Figur] ; [herkömmliche Länge Figur] ; [hexagonal reduzierte Länge Figur]
[60 shep] ; [10 shep] ; [20 shep] ; [17,32050808 shep]
[72 shep] ; [12 shep] ; [24 shep] ; [20,78460969 shep]
[84 shep] ; [14] ; [28 shep] ; [24,24871131 shep]

Die Umrechnung der Ergebnisse in Meter lässt hypothetische Proportionszusammenhänge auf dem Plateau von Giseh deutlicher werden und lässt weitere Rückschlüsse auf altägyptische Flächen- und Proportionsgestaltung zu:

Beispiel für durch Überkreuzschlag reduzierte Figurenhöhe bei z.B. 12-Strecken langen Vermessungswerkzeugen aus Schnur und Seil als Schlaufe (Maßangaben in Metern)
[Schnur/Seil] ; [Länge Schnur/Seil in Metern] ; [Breite Figur] ; [herkömmliche Länge Figur] ; [hexagonal reduzierte Länge Figur]
[60 shep] ; [4,488 m] ; [0,748] ; [1,496 m] ; [1,295574004 m]
[72 shep] ; [5,3856 m] ; [0,8976] ; [1,7952 m] ; [1,554688805 m]
[84 shep] ; [6,2832 m] ; [1,0472] ; [2,0944 m] ; [0,906901803 m]

Eine Vervielfachung der Werte gibt Auskunft über hypothetische Übertragungsmöglichkeiten auf Messchnüre und Messeile mit dem meh als Grundmaßeinheit (Verlängerung von shep zu Elle): Messchnüre und Messeile hätten sich für die alten Ägypter als Werkzeuge für das Messen und Proportionieren in gestalterischen modellhaften Entwurfsprozessen angeboten, während eine Übertragung der Streckenproportionen auf proportional verlängerte Einmesswerkzeuge aus Schnur und Seil mit dem meh als Streckenggrundeinheit Einmessprozesse für längere Strecken und größere Flächen vereinfacht hätten.
Deshalb ist Lehners Annahme, dass die alten Ägypter auf dem Plateau von Giseh ein 84 Ellen langes Messeil verwendet haben könnten (siehe [W4], um über die Konstruktion einer "Hilfsquadratefigur" zur Einmessung der Basisfläche der Cheops-Pyramide um einen Felskern herum einmessen zu können zunächst einmal nicht abwegig, Dies auch nicht, wenn Lehners eigentliche Theorie vom "Hilfsquadrat" bisher nicht bestätigt werden konnte.

Proportionale Streckenverlängerungen von Vermessungswerkzeugen (z.B. aus Schnur oder Seil)
Proportionale Streckenverlängerungen dürften für die alten Ägypter als versierte Schnur- und Seilvermesser keine Problematik dargestellt haben: Unter der Bedingung dass Messchnüre und Messeile im Hinblick auf ihre Materialeigenschaften (Dehnungsfaktor, Reißfestigkeit, Gewicht) hypothetisch nicht zu stark überdimensioniert worden wären, um Exaktheiten von Einmessungen zu gewährleisten, wäre die Herstellung Schnur- und Seillängen simpel möglich gewesen (ganz anders als die Herstellung qualitativer Schnüre und Seile, was eine Handwerkskunst für sich darstellt, auf die heir aufgrund des dafür erfordelrichen Umfangs nicht eingegangen werden kann):

Proportionales Beziehungsgefüge zwischen der alten ägyptischen Königselle und dem Remen
Alte ägyptische Königselle und Remen (Pygon) stehen mit dem von den alten Ägyptern angewendeten Umrechnungsfaktor 1,4 bei einem Streckenverhältnis von 7 : 5 (nach [Lepsius, B18]) in einem Streckenverhältnis von ungefähr der Quadratwurzel aus 2 zu 1, was dem Streckenverhältnis zwischen der Diagonale und der Grundseite einer Quadratefigur entspricht.
Es ist dabei unwahrscheinlich (wenn auch nicht ausgeschlossen) dass die alten Ägypter sich der irrationalität des Zahlenwertes der Quadratwurzel aus 2 bewusst waren. Im messtechnischen und mathematischen Sinne im Hinblick auf die Messkunst der alten Ägypter spielt diese Fragestellung jedoch keine Rolle:
Das proportionale streckentechnische Beziehungsgefüge zwischen der Diagonalen und der Grundseite einer Quadratefigur lässt sich zeichnerisch-messtechnisch sehr leicht ermitteln und kann (je nach Arbeitsweise) zu der von den alten Ägyptern arithmetisch und messtechnisch angewendeten Faustformel von 7 zu 5 Strecken führen.
Der Vorteil des proportionalen Streckenverhältnisses von 7 : 5 Strecken liegt dabei darin begründet, dass sich diese Proportion direkt auf die 12-Strecken-Schnur in ihren möglichen Variationen anwenden lässt.

Wird die nicht in weitere Unterformen ganzer Zahlen kürzbare Grundproportion von 5 : 7 Strecken (also 1 : 1,4 Strecken) in einer Zahlenreihenentwicklung verdoppelt, erklärt sich auch, weshalb die Streckenproportion von 2000 : 2800 (Remen zu Elle), die sich hypothetisch auf die Ausdehnung in Richtung Nord-Süd auf dem Plateau von Giseh anwenden lässt, messtechnisch und arithmetisch interessant ist:

Verdoppelnde Zahlenreihenentwicklung mit Proportion 5 : 7
5 : 7
10 : 14
20 : 28

Die alten Ägypter kannten und verwendeten das Multiplizieren mit dem Faktor 10 [...]
Wird die oben stehende Zahlenreihenentwicklung mit dem Faktor 10 kombiniert, entsteht folgende Zahlenreihe, aus der sich auch die hypothetische Abmessung des Platteaus von Giseh in Richtung Nord-Süd sowohl in meh als auch Remen ausdrücken lässt:
(10 * 5) : (10 * 7) = 50 : 70
(10 * 10) : (10 * 14) = 100 : 140
(10 * 20) : (10 * 28) = 200 : 280

QUELLEN:

(Die Quellenliste auf die dieser Beitrag Bezug nimmt, befindet sich im ersten Beitrag zu diesem Thema)
Zuletzt geändert von Sculpteur am 29.09.2022 19:34, insgesamt 2-mal geändert.
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 18.09.2022 13:28

- Beitrag befindet sich in Bearbeitung und wird in Kürze lektoriert fertiggestellt -

TEIL III (b):

Inhaltsverzeichnis (Teil III.b):
1.3.2 Hypothese zum Modellentwurf Einmessung Plateau von Giseh in Richtung Nord-Süd

III.1.3.2 Hypothese zum Modellentwurf Einmessung Plateau von Giseh in Richtung Nord-Süd
Eine exakte Einmessung des Plateaus von Giseh durch altägyptische Baumeister hätte in den aufeinanderfolgenden Baustufen für die drei auf dem Plateau von Giseh verbauten Großpyramiden (Cheops-Pyramide, Chepren-Pyramide, Mykerinos-Pyramide) nicht nur gestalterische Gesamtansprüche bedient, die durch einen vorstellbaren Modellentwurf mit simplen Mitteln hätten realisiert werden können:
Der Baumeisterliche messtechnische Bezug auf die bereits erbaute Cheops-Pyramide mit ihrer sehr exakten Nord-Süd-Ausrichtung [...] hätte auch einen sinnvoll nutzbaren messtechnischen Vorteil bedeutet: Es ist sehr wahrscheinlich davon auszugehen, dass auch für die späteren, der Erbauung der Cheops-Pyramide nachfolgenden Bauphasen (im Hinblick auf die Pyramidengroßbauten auf dem Plateau von Giseh betrifft das die Erbauung der Chepren-Pyramide und der Mykrerinos-Pyramide) eine oder mehrere, sich über die Länge des gesamten Plateaus erstreckende (in den Bauprozessen potenziell permanent existente, bzw. "reaktivierbare") Nord-Süd-Einfluchtungen existierten. Dies ggf. auch in Form von markierten Fixpunkten, über die sich ausgehend von der bereits exakt eingefluchteten Cheops-Pyramide entsprechende Fluchtschnur-Strecken, bzw. Fluchtseil-Strecken (temporär) hätten errichten lassen.
Eine Einfluchtung des gesamten Plateaus in Richtung Nor-Süd (und auch in Richtung West-Ost) hätte Einmessprozesse während der stellenweisen Einebnung und Bebauung des Plateaus vermutlich erleichtert (siehe z.B. die Erbauung der Cheops-Pyramide auf einem auf dem Plateau von Giseh befindlichen Felskern [...].
Die Einmessung solcher Strecken stellte für die alten Ägypter zwar eine messtechnische Herausforderung jedoch keine unlösbare Problematik dar, wie aus den vielen bautechnichen Errungenschaften der alten Ägypter bereits im Alten Reich abzulesen ist [...].
Wäre die EInfluchtung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd einmal erzeugt gewesen, wäre es für die alten Ägypter relativ simpel möglich gewesen, das Plateau in Ausdehnung Nord-Süd auch exakt einzumessen: Baumeisterliche Gesamteinmessungen von zu bebauenden Arealen sind nicht nur möglich, sondern auch sinnvoll und daran hat sich auch heute nichts geändert.
Eine Gesamteinmessung des Plateaus von Giseh nach Modellvorlage wäre auch im Hinblick auf die Organisation von Arbeitsprozessen, Transportwegen und z.B. Lagerflächen und Wohnstätten für Arbeiter [...] eine sinnvolle Maßnahme gewesen, weil dann der zur Verfügung stehende Bauplatz nach einem quasi logistikorientierten Plan insgesamt hätte organisiert werden können.
Auf dem Plateau von Giseh musste während der aufeinanderfolgenden Bauphasen der drei Großpyramiden (sämtliche anderen Bauwerke auf dem Plateau von Giseh in dieser Abhandlung aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs ignorierend) schließlich einiges untergebracht werden: Aufwege, Nebenpyramiden und Bootsgruben und anderes. Nach neuesten Erkenntnissen war auch die Anlage eines bewässerten Kanals zum Transport von Natursteinblöcken für die Erbauung der Cheops-Pyramide für die alten Ägypter mit zu berücksichtigen [...].
Die exakte Einmessung des Plateaus in Richtung Nord-Süd wäre bei all diesen zu bewältigenden Aufgaben der alten Ägypter eine der eher simpel zu lösenden Aufgaben gewesen: Für eine exakte Einmessung des Plateaus von Giseh entlang einer vorhandenen Fluchtung in Richtung Nord-Süd wäre es lediglich erforderlich gewesen, entlang der Fluchtung ein bestimmtes Streckenmaß einzumessen, das z.B. auf die bisher beschriebenen Arten und Weisen im Modellentwurf hätte erzeugt werden können. Es ist daher aus bautechnischer Sichtweise gar nicht nachzuvollziehen, weshalb die Ägyptologie sich (im wahrnehmbaren Durchschnitt) innerhalb des breiter gefächerten Diskurses mit auch alternativen Meinungen stellenweise so sehr gegen einen "Gesamtplan" des Plateaus von Giseh erwehrt:
Es ist zwar mit gewisser Wahrscheinlichkeit anzunehmen, dass eine Kombination von aufeinanderfolgenden Planungsstufen auf dem Plateau von Giseh schließlich zu einer Abmessungs- und Proportions-Phänomenik führten, die den Eindruck eines Gesamtplans erzeugen können, es spräche aber aus rein gestalterischen Gründen überhaupt nichst dagegen, dass auf dem Plateau von Giseh schließlich eine gesamtgestalterische Vision durch einen oder mehrere Baumeister und Bauherren in Aufeinanderfolge der Bauprozesse umgesetzt wurde.
Dieser Gedanke wird dadurch untermauert, dass das Bauherrentum für das Plateau von Giseh in einer familiären, bzw. verwandtschaftlichen Linie stand und unseres heutigen Wissens federführend von einem einzelnen Baumeister beeiflusst wurde (Hemiunu) [...].
Die Ägyptologie geht heute außerdem davon aus, dass Wissen und handwerkliches Können im alten Ägypten zielgerichtet von vorhergehenden auf nachkommende Generationen überliefert wurde [...]: So kann auch angenommen werden, dass auch gestalterisches Wissen im alten Ägypten - und damit auch bestimmte gestalterische Einstellungen von z.B. Baumeistern in gewissem Maße auf nachfolgende Generationen von Baumeistern übertragen wurden (siehe hierzu auch die interessante Erörterungen von Müller-Römer zum Thema "Mathematikunterricht im alten Ägypten [...]). Dieser Zusammenhang ergibt sich bereits alleine dadurch, dass nachfolgenden Generationen von Baumeistern kreativ- und innovativ- Anleihen bei bereits bestehenden Bauwerken hätten nehmen können:
Ebenso wie wesentlich später z.B. ein Künstler des antiken Roms oder eines Florenz oder Nürnbergs zu Zeiten der Renaissance nur die eigene Werkstatt hätte verlassen und vor die eigene Haustür hätte treten müssen, um z.B. ein ggf. "verschachteltes" historisches Streckenmaß zu erhalten, indem z.B. mit einem Stück Schnur an einem öffentlich zugänglichen für damalige Verhältnisse historischen Bauwerk oder z.B. einer Skulptur "Maß zu nehmen", hätte es sich auch für einen Baumeister des alten Ägypten zu Zeiten des Alten Reichs verhalten können:
Ebenso wie Albrecht Dürer d.J. (...) [...] simpel mit geeigneten messtechnischen Mitteln auf eine Vielzahl von verbauten und gestalterisch verarbeiteten historischen Maßen, Maß- und Proportionssystemen des Nürnbergs seiner Zeit hätte zurückgreifen können um sie schließlich in seine eigenen Werke mit einfließen zu lassen, wäre dies einem fiktiven Baumeister des Alten Reichs im alten Ägypten ebenfalls möglich gewesen:
Stellen wir uns vor, der für die Erbauung der Mykerinons-Pyramide verantwortliche Baumeister wäre hypothetisch auf Ansinnen seines damaligen Bauherren gewillt und beauftragt gewesen, mit seinem Werk Bezug auf die Vorhergehenden, auf dem Plateau von Giseh verbauten Pyramiden zu nehmen: Dies wäre ihm (bei einer Auswahl aus diversen Möglichkeiten) ein leichtes gewesen, wenn hierfür z.B. mittels geeigneter Messwerkzeuge die Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide und damit das verbaute Grundmaß in meh von ihm übernommen worden wäre:
Der fiktive Baumeister hätte nach heutiger durchschnittlicher Lehrmeinung (als Übereinkunft) [...] ein Streckenmaß von 440 alten ägyptischen Königsellen (oder den annähernden Abmessungen der alten ägyptischen Königselle, die heute ggf. als eine andere Art von "Elle" bezeichnet werden könnten) erhalten.
Wäre dieses Streckenmaß nun vom fiktiven altägyptischen Baumeister halbiert worden, hätte er ein Streckenmaß von 220 alten ägyptischen Königsellen erhalten. Ungenauigkeiten bei der Maßstreckenabnahme sowie die Materialeigenschaften der fiktiv verwendeten Messwerkzeuge (z.B. Messeil) hätten hypothetisch dazu führen können, dass sich das Ergebnis der ursprünglich an der Cheops-Pyramide abgenommenen Streckenlänge schließlich leicht hätte verfälschen können. Dies möglicherweise auch aufgrund von leichten mathematischen Übertragungsfehlern durch Berechnungen (etwa auf- oder Abrundungen). Auch ein potenziell nicht vorhandenes Wissen darüber, wie die Proportionen der Cheops-Pyramide ursprünglich vom verantwortlichen Baumeister geplant wurden; worauf konkret sie ursprünglich also messtechnisch Bezug nahmen; hätte für unseren fiktiven Baumeister zu einer Verfälschung des ursprünglich an einer Basiskante der Cheops-Pyramide abgenommenen Streckenmaßes führen können:
Könnten wir heute mit Gewissheit sagen (und beweisen), ob Erbauer (Bauherr) und Baumeister der Mykerinos-Pyramide wirklich ein eigenes Ellensystem verwendeten, oder ob in der Mykerinos-Pyramide ledigllich ungenau übertragene alte ägyptische Königsellen (oder aufgrund ihrers Entstehungs-Ursprungs andersartig zu benennende Ellen) nach dem Vorbild der Cheops-Pyramide als Grundmaßeinheit verbaut wurden [...]: Ohne konkrete altägyptische Überlieferungen zum Thema ist dies nicht möglich, bzw. besitzt keinerlei Beweiskraft: Selbst Herodot drückte sich bereits sehr vage aus, als es um Überlieferungen über die Cheops-Pyramide ging:

[Zitat Herodot]
An der Pyramide selbst (gemeint ist hier die Cheops-Pyramide, Anm. des Verf.) arbeitete man zwanzig Jahre Bei viereckigem Grundriss ist jede Seite acht Plethren lang und ebenso hoch.
[ZITAT ENDE] [NB1,309]

Hinweis: Bei einer Plethre, auf die Herodot sich in seinem Werk bezieht, handelt es sich um ein altgriechisches Seilmaß. Nach [NW1] [NW2] entspricht 1 Plethron 100 Fuß und damit 30,83 Meter.

Nach Herodots Aussagen hätte die Höhe der Cheops-Pyramide also ihrer Basiskantenlänge entsprochen, was nicht der Fall ist, wie neuzeitliche Einmessungen (siehe z.B. [Flinders, E2] ergeben haben und wie bereits erwähnt wurde. Nach heutigem Kenntnisstand (bzw. fachwissenschaftlicher Übereinkunft über die Abmessungen der Cheops-Pyramide belief sich die ursprüngliche Planhöhe der Cheops-Paramide eben; wie bereits erwähnt; auf 280 Ellen zu 440 Ellen Basiskantenlänge, was einem proportionalen Faktor von Basiskantenlänge zu Höhe von ungefähr 1,57 entspricht. Dieser Zahlenwert hat jedoch nichts mit der Hälfte der transzendenten Kreiszahl Pi (3,141592654 / 2 = ca. 1,570796327 zu tun hat, sondern sich aus anderen geometrischen Zusammenhängen ergibt, auf die ich an anderer Stelle noch eingehen werde.
Es ist vorstellbar (wenn auch nicht beweisbar, so doch auch nicht eindeutig wiederlegbar), dass ein altäyptischer Baumeister für die Vorplanung der Erbauung der Mykerinos-Pyramide auf die folgende Art und weise hätte vorgehen können:
Über die Vermessung der bereits erbauten Cheops-Pyramide generierte 220 Ellen wurden vom fiktiven Baumeister im Modellentwurf auf die Länge einer Entwurfsschnur von 22 schesep Länge übertragen: Hierfür hätte der Baumeister das ermittelte Streckenmaß von 220 Ellen z.B. mit dem Faktor 7 multiplizieren und anschließend durch den Faktor 10 dividieren müssen (auf eine Bezugnahme auf tatsächlich von den alten Ägyptern verwendete Rechenweisen mit Stammbrüchen kann hier aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs nicht eingegangen werden, siehe hierzu z.B. [Lehmann, B13] [Robins / Shute, B24]:

((220 Ellen * 7) / 10) schesep = 1540 / 10 schesep
1540 / 10 schesep = 154 schesep

1 schesep = 1/7 Elle
1 Elle = ca. 0,536 m (hier Bezug nehmend auf die von Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelten Messwerte für eine durchschnittliche Elle [Flinders, E2])
1 schesep = ca. 0,5236 / 7 m
ca. 0,5236 / 7 m = ca. 0,0748 m
154 schesep = 154 * 0,0748 m
154 * 0,0748 m = 11,5192 m
Länge Messschnur in Ellen = 11,5192 m / 0,5236 m
Länge Messschnur in Ellen = 22 Ellen

Die so gewonnene Messchnur von 154 schesep, was einer Länge von 22 Ellen entspricht, hätte der fiktive altägyptische Baumeister nun folgendermaßen auf die Planung und Erbauung der Mykerinos-Pyramide anwenden können:
Mit ein wenig Herumprobieren findet der fiktive Baumeister heraus (oder weiß es schon aufgrund seiner vorhergehenden Ausbildung), dass aus einer 154 schesep oder 22 Ellen langen Messschnur im Modellentwurf die Proportionen der Cheops-Pyramide (bei angenommenen 280 : 220 Ellen Höhe zu halber Basisbreite für die Proportionen der Cheops-Pyramide) abgeleitet werden können. Damit hätte der fiktive Baumeister gewusst, dass sich aus der Messchnur der Seked, mit dem der Böschungswinkel der Cheops-Pyramide festgelegt wurde, ableiten lässt, denn:

11 * 14 = 154

anschließend hätte der fiktive Baumeister die ursprüngliche geplante Höhe der Cheops-Pyramide im Modellentwurf unter Verwendung der Messschnur ermittlen können, denn:

14/2 : 11/ = 7 : 5,5

Dieser Zusammenhang bedeutet, dass sich aus der Messchnur von 154 schesep Länge, die der fiktive altägyptische Baumeister durch Vermessung der Länge der halbierten Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide hätte ermitteln können, der hypothetisch in der Cheops-Pyramide verbaute Seked hätte abgeleiten lassen. Damit wäre es dem fiktiven Baumeister auch möglich gewesen, die ursprüngliche Höhe der Cheops-Pyramide rechnerisch zu ermitteln, denn die aus der Analyse Messchnur resultierende Proportion von 14 : 11 = 7 : 5,5 lässt sich in beide Richtungen (proportional verkürzend und proportional verlängernd; "blow up´s und "blow down´s") erweitern, z.B.:

(2 * 11) * (2 * 14) = 22 * 28
22 * 28 = 616

Wird in den obenstehenden Berechungen das Multiplikationszeichen durch ein Divisionszeichen ersetzt und die Berechnung umgestellt, erzeugt die Berechung den Proportionszusammenhang der Cheops-Pyramide, der anschließend auf den Ursprung (und weitergehend) zurückgeführt werden kann:

28 : 22 = Proportion Cheops-Pyramide
28/2 = 14; 22/2 = 11
14 : 11 = Proportion Cheops-Pyramide
14/2 = 7; 11/2 = 5,5
7 : 5,5 = Proportion Cheops-Pyramide

oder auch:

7 : (5 + 1/2) = Proportion Cheops-Pyramide

Autoren im Bereich der Fachliteratur (so ist es zu beobachten) legten Informationen zu den altägyptischen Pyramiden, speziell zu deren Abmessungen und daraus ableitbaren Proportionen fest (um Arbeitsgrundlagen für den Umagng mit solchen Abmessungen zu schaffen, oder Theorien zu etablieren.
Anschließend geschah mit solchen informationen in der Vergangenheit - einmal veröffentlicht - das Folgende: Unzählige Forschende verwendeten die veröffentlichten Informationen und ließen sie ggf. in ihre eigenen Theorieentwicklungen mit einfließen. Gefragt wurde dabei allzu selten, ob denn die überlieferten Informationen im Sinne der Proportionsforschung stellenweise überhaupt einen Wert besaßen:
Es ist natürlich richtig, dass die Fachliteratur z.B. bei Abmessungen altägyptischer Pyramiden i.d.R. Ist-Werte aufnahm und nicht nach Belieben auf- oder abrundete. So wurden in der Fachliteratur bisher eben in verschiedenen Vermessungsunternehmungen generierte Messdaten von altägyptischen Pyramiden veröffentlicht (so z.B. auch die heutigen Abmessungewn von altägyptischen Pyramiden im Sinne von z.T. geschliffenen und verfallenden Bauruinen). Da nicht immer eindeutig beleuchtet werden kann, wie solche Daten jeweils gewonnen wurden und wo ggf. großzügig auf- und abgerundet wurde (selbst Flinders verwendete bei all der Exaktheit seiner Vermessung des Plateaus von Giseh geringfügige Auf- und Abrundungen, [Flinders, E2]), bringen solche Daten im Sinne der Proportionsforschung im Hinblick auf das alte Ägypten bei Fehlen einer grundlegenden Auseinandersetzung mit Fragen zur Entstehung von Proportionen keinen wirklichen Mehrwert.
Eben so falsch ist es allerdings, wenn Korff sich auf Grundlage des Beteuerns der Richtigkeit seiner Theorie zum Bauprinzip altägyptischer Pyramiden erlaubt, veröffentlichte Messwert im Sinne seiner eigenen Theorie "zu korrigieren" und dabei keinerlei Rücksicht auf dne Diskurs zum Thema nimmt [...].
Fazit: In puncto Auseinandersetzung mit den (eigentlich vielfältigen) Fragen zu den Proportionen altägyptischer Pyramiden (und anderer altägyptischer Bauwerke wie z.B. Tempelanlagen, von denen zahlreiche Überreste noch heute existieren) benötigt die Ägyptologie nicht noch mehr neue oder neu interpretierte oder auf die teilweise übliche Art und Weise übertragene oder abgeschriebene Daten, sondern eine grundlegendere Auseinandersetzung mit Fragen rund um die Entstehung von Proportionen als gestalterischem Mittel. Dies im Übereinklang mit alten Handwerks- und Kunsthandwerkstechniken, mit künstlerischer und bautechnischer Gestaltungstechnik und allem voran: Mit deutlich mehr Interdisziplinarität in Richtung der tatsächlichen Fachpraxis in Lehre und Forschung, also summasummarum eine stärkere Übereinkunft mit der experimentellen Archäologie, dem Handwerk und den Kunsthandwerk.
In der Ägyptologie wird zwar davon ausgegangen, dass in den Proportionen der Pyramiden von Giseh jeweils unterschiedliche Ellenmaße verbaut sind, so ganz lässt sich aber auch diese Annahme nicht mit vernünftigen Argumenten belegen: Hier bewegt sich auch die Ägptologie auf einem interpretatorisch sehr unruhigen Fahrwasser [...], denn es wäre die Frage, wie solche Hypothesen bewiesen werden sollten angesichts der Vielzahl an Möglichkeiten, wie die Abmessungen und Proportionen altägyptischer Bauwerke seinerzeit hätten entstehen können: Sinn und Zweck der modernen Ägyptologie kann und sollte es aber nicht sein, selbst zu spekulieren und zu interpretieren, während sich die Ägyptologie gerne gegen andersartige Meinungen verwehrt, die von der Ägyptologie aber wahrnehmbar und teilweise nur oberflächlich oder überhaupt nicht näher überprüft wurden oder von vorneherein als Spekulation abgewehrt wurden (siehe hierzu die zahlreichen alternativwissenschaftlichen Auseinandersetzungen und Veröffentlichungen zum Thema im Bereich: Selbst in Werken, die als z.T. exttrem seoterisch, spirtuell oder anderweitig glaubensinspiriert inspiriert oder einfach nur bautenforschungstechnisch motiviert sind, findne sich neben häufig zu beobachtenden Fehleinschätzungen teilweise dennoch nenenswerte interessante Details, die einer Bautenforschung z.B. im Bereich der altägyptischen Pyramiden hätten weiterhelfen können: Solche Werke generalisiert abzulehnen und damit auch die interessanten, darin durchaus ausfindig zu machenden Wissenszusammenhänge abzulehnen, bedeutet im Sinne der Ethik einer Forschung, wissenschaftliche Erkenntnisse anderer zu ignorieren und übergehen [...]
Die moderne Ägyptrologie besitzt natürlich keinen universellen Anspruch auf "die Wahrheit" und würde sich deshalb auch keinen Gefallen damit tun, sich generalisiert nicht mit alternativen Theorien ausführlicher auseinanderzusetzen (was auch immer dabei unter einer "alternativen Theorie" dabei verstanden sein mag, denn die Wissenschaft ist ja frei und demnach kann jeder forschen und sich Wissenschaftler nennen).
Zu beobachten ist deshalb leider, dass - teilweise auch beeinflusst durch die Statuten Wikipedias [...] Wissen in heutige Wikipedia-Artikel über den altägyptischen Pyramidenbau einfließt, das zwar häufig durch Fachliteratur begründet wird (was ja den Statuten Wikipedias entspricht), wobei jedoch hier und dort nicht berücksichtigt wird, dass auch Fachliteratur sich irren und teilweise als überholt gelten kann, oder aber Wikipedia-Autoren eben teilweise entscheiden können, welche "Fakten" aufgenommen werden und welche nicht. (Um es zu betonen: Bei der Wikipedia finden sich teilweise exzellente Artikel, es ist bei der Nutzung der Wikipedia jedoch entscheidend, die dort veröffenbtlichten Zusammenhänge nicht nur mit der dort zitierten fachwissenschaftlichen Literatur abzugleichen und sich auch die hinterfragung solcher Erkenntnisse zu erlauben).

Warum überhaupt Argumente gegen einen gestalterischen Gesamtplan des Plateuas von Giseh?

Ein baustufenspezifischer, sich über verschiedenen Stufen von Bauprozessen allmählich entwickelnder "Gesamtplan" des Plateaus von Giseh hätte simpel durch altägyptische baumeisterliche Gestaltungspraxis erfolgen können. Hierbei darf nicht vergessen werden, dass Pyramidenbauten im alten Ägypten stets Komponenten eines gesamten Pyramidekomplexes waren, der ja entsprechend hätte gestaltet und geplant werden müssen. Eine Gesamtarealsplanung für altägyptische Monumentalbauprojekte anzunehmen, ist also alles andere als abwegig, sondern aus bautechnischer Sicht sogar sehr naheliegend: Weshalb sollte ein altägyptischer Baumeister es dem "Zufall" überlassen haben, wo auf dem Plateau von Giseh sich Bauwerke befunden hätten und wo nicht? Hätten die geologischen Zusammenhänge auf dem Plateau von Giseh wirklich die alles entscheidende Rolle bei einer Bautenplanung gespielt?
Selbst wenn das so gewesen wäre, wären gestalterische Aspekte der damals eingesetzten altägyptischen Vermessungstechnik damit nicht automatisch ausgeschlossen gewesen: Sich generalisiert gegen eine Gesamtarealsplanung des Plateaus von Giseh auszusprechen wirkt deshalb in heutiger Zeit der perfekt durchgestalteten Bebauungen von Arealen (siehe z.B. die Halbinsel Manhattan in New York in den USA [NW3]) und bei Bezugnahmen auf z.B. die Bebauung des alten Roms [NW4] wie eine Behauptung darüber, dass altägyptische Baumeister (als versierte und gut ausgebildete Handwerker und Gestalter und die sie beauftragenden Bauherren nach dem Prinzip des Steinweitwurfs den Zufall hätten entscheiden lassen, wo eine Monumentalpyramide zum Stehen kommen sollte und wo nicht.
Selbstverständlich könnte dem entgegengehalten werden, dass auch Zufälle wie Methode wirken können. Ablesbar ist dies tatsächlich aus der neuzeitlichen Primzahlforschung: Der Graph für die Entwicklung der Primzahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen weist von seiner Entwicklungsphänomenik her Ähnlichkeiten mit einer "zufälligen Entwicklung" auf) (siehe die Riemannsche Hypothese" und die Zahlentheorie im Allgemeinen; ohne hier jedoch aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs näher einzugehen; siehe hierzu z.B. [Reiss / Schmieder, B1] [Sautoy, B2]
Wir sprechen bei der altägyptischen Bau-, Vermessungs- und Gestaltungspraxis bei Betrachtung des Plateaus von Giseh jedoch nun einmal von einer stark auch von Gesamtästhetischen Gesichtspunkten gesteuerter und geprägter Gestaltungspraxis der alten Ägypter: Warum hätten die alten Ägypter die Details einer ungemein kosten- und arbeitsintensiven Mega-Bauunternehmung, die selbst heute unsere Vorstellungskraft sprengt, überaus sorgfältig planen gestalten sollen und dabei das Große und Ganze einer Arealsabebauung wie z.B. der auf dem Plateau von Giseh einfach dem Zufall überlassen sollen?
Ob das Plateau von Giseh von den alten Ägyptern baumeisterlich z.B. tatsächlich in seiner Ausdehnung in Richtung Nord-Süd im Hinblick auf die Bebauung exakt eingemessen wurde, kann wissenschaftlich anhand vorliegender Indizien nicht ordentlich bewiesen werden. Die Proportions-Zusammenhänge auf dem Plateau von Giseh sind jedoch so interessant und auffällig in ihrem Zusammenspiel, dass eine generelle Annahme des Faktors Zufall in diesen Zusammenhängen eher unwissenschaftlich wirkt.
Eine simpel durchzuführende, möglicherweise von altägyptischen Baumeistern praktizierte Variante der Einmessung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd soll deshalb hier beispielhaft aufgezeigt werden:

Hypothetische Einmessung des Plateaus von Giseh in Richtung Nord-Süd

Hierfür wird entlang einer Fluchtung im beispielhaften Modellentwurf (lediglich eine von mehreren Möglichkeiten) die hypothetische Harpedonaptenschnur von 60 schesep Länge als Schnurschlaufe überkreuzt aufgespannt und mit der Fluchtung in exakte Deckungsgleichheit gebracht. So ensteht automatisch die bereits besprochene Proportion, die bei Verwendung entsprechender Grundmaße (hier im Beispiel Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelte Durchschnittselle von 0,5236 m [Flinders, E2]) zu einer eingemessenen Strecke von ca. 907,15 m Streckenlänge in Richtung Nord-Süd auf dem Plateau von Giseh führen würde, wenn die verwendeten Grundmaße entsprechend "transponiert", also proportional verlängert würden (wie bereits aufgezeigt).

III.1.4 Hypothetische Erzeugung der Abmessungen auf dem Plateau von Giseh zwischen Cheops-und Chepren-Pyramide
Zunächst wären auf dem Plateau von Giseh z.B., ausgehend von der Cheops-Pyramide Fluchtschnüre (bzw. Fluchtseile gespannt) worden, die jeweils in das Gelände des Plateaus hineinragten: Eine Fluchtschnur als exakte Verlängerung der Westkante (angerissene Basislinie) der Cheops-Pyramide; eine Fluchtschnur (bzw. Fluchtseil) als exakte Verlängerung der Südkante (angerissene Basislinie) der Cheops-Pyramide: Die Fluchtschnüre hätten ein Einnorden der Basisfläche der Chepren-Pyramide potenziell erleichtert, weil die Cheops-Pyramide als bereits fertiggestelltes Bauwerk bereits sehr exakt eingenordet war [...].
Möglicherweise kann jedoch davon ausgegangen werden, dass errichtete Fluchtlinienabschnitte schließlich zwischen in der Nähe zur jeweils einzumessenden Pyramidenbasis befanden, von denen entsprechend zur Basiskantenlinie einer Pyramide herübergemessen wurde (siehe hierzu Lehners Theorie vom "Hilfsquadrat" für die Einmessung der Basis der Cheops-Pyramide um einen Felskern herum. Messtechnisch gesehen sind solche Fluchtungen realisierbar und bieten sogar den Vorteil, dass keine Konstruktionen für Fluchtlinien den Baubereich auf Höhe der Basislinie einer Pyramide blockieren (tendeziell wäre es für die Alten Ägypter aber möglich gewesen, temporäre Fluchtungen mit jeweils wieder Entfernbaren Konstruktionen vorzunehmen, um so z.B. den Anbau von Transportrampen und Bereichen für die Zuführung von Baumaterialien zu ermöglichen).

Resultierende Einmessungen
Ausgehend von dem Eckpunkt der Süd-West-Kante der Cheopspyramide in Richtung Süd hätte die Distanz zur Nordkante der Chepren-Pyramide mit einem über Kreuz geschlagenen 12-streckige Messeil mit einer Gesamtlänge von 60 meh Gesamtlänge erzielt werden können: Hierfür wäre das Messeil zur Seilschlaufe zusammengeknotet und mittels Überkreuzschlag aufgespannt worden. Durch Hintereinandersetzen der quer zur Südrichtung entlang der Fluchtschnur gelegten Seilfigur mit einer Breite von 10 meh und einer Länge von 20 meh hätte die hypothetische einzumessende Strecke mit 25 exakt hinterienander gesetzten Einmessungen realisiert werden können.
Dass die alten Ägypter die Einteilungen und Längen ihrer hypothetisch verwendeten Messschnüre von 60, 72 und 84 meh Länge proportional verlängerten ("transponierten") ist vom Grundgedanken her nicht abwegig, sondern entspräche einer gesunden bautechnischen und handwerklichen Praxis.

Unterscheidung zwischen Entwurfspraxis und tatsächlicher Einmessungspraxis
Bei den Fragen zur altägyptischen Einmessungspraxis sollte stets zwischen Entwurfspraxis und Einmessungspraxis für die Erzielung tatsächlicher Abmessungen auf z.B. einem Baugrund oder an einem Bauwerk unterschieden werden:
Während Entwürfe für z.B. zu erbauende Pyramiden und zu bebauende Gesamtareale im modellhaften Entwurf sehr gut mit z.B: den hypothetischen Schnüren der altägyptischen Harpedonapten hätten bewältigt werden können (Schnurlängen von 60 schesep, von 60 + 10 schesep, von 72 schesep und von 84 schesesep) oder auch einfach mittels proportional entsprechend verkürzter Fadenlängen in dem meh und dem schesep untergeordneten Grundmaßeinehiten hätten bewerkstelligt werden können (z.B. 1/2 meh und 1/4 meh, z.B. 1/2 schesep und 1/4 schesep usw.; z.B. die generelle Entwurfsarbeit mit djeba als Grundmaß; z.B. mit Spezialvariationen wie z.B. 1/10 meh, wie wir sie an der von Hinkel gefundenen Entwurfsritzzeichnung für einen Kleinpyramidenquerschnitt in der Nekropole in Meroe ablesen können [Müller-Römer, PDF9])

Alternativ kommen angesichts der den alten Ägyptern hypothetisch zur Verfügung stehenden Vielzahl an Einmesswerkzeugen aus Schnur und Seil und deren vermessungstechnischen (mathematisch begründeten) Anwendungsmöglichkeiten für die genannte Einmessung noch weitere Variationsmöglichkeiten in Frage:

Mit dem hypothetischen 100 meh langen Messseil der alten Ägypter, aufgespannt zur rechtwinkligen Dreiecksfigur mit den um den Faktor 2 faktorisierten Streckenproportionen 9 : 16 : 25 = (2 * 9) : (2 * 16) : (2 * 25) = 18 : 32 : 50 Strecken wäre die Einmessung bei Anlegen der Seilfigur mit den 50 sich ergebenden Strecken (als Hypothenuse) der Seilfigur in nur 5 hintereinander gestezten Messschritten möglich gewesen (250 meh / 50 meh = 5). Die Verwendung der Aufspanntechnik des 100 meh langen Messeils hätte dabei im Vergleich zu einem herkömmlichen, entlang einer Flucht aufspespannten Messeils den Vorteil besessen, dass sie eben gleichzeitig Rechte Winkel erzeugte und damit gleichermaßen eine Flächeneinmessung des eingemessenen Areals für andere Zwecke möglich machte (z.B. die hypothetische Einmessung von Pfostenlöchern o.ä.):

Die verhältnismäßig "kurzen" hypothetischen Messchnüre der altägyptischen Harpedonapten ermöglichten Aufgespannt zu "relativ kleinen" Schnurfiguren relativ exakte Einmessungen; ganz anders als bei Verwendung langer Messeile, die sich bei Straffung längen oder Durchhängen konnten. Das Konzept der Verwendung möglichst kurzer Messchnüre für Einmesszwecke, die zu Schnurfiguren aufgespannt wurden, haben die alten Ägypter deshalb vermutlich präferiert: Kurze Messschnurstrecken können sich nicht so stark dehnen, nicht so stark durchhängen und nicht so stark von seitlichem Wind verformt werden, wie es bei langen Messschnurstrecken oder langen Messeilstrecken der Fall wäre.
Vermutlich ist die Präzision einer Einmessung bei Verwendung kurzer, entsprechend häufig hintereinandergesetzter Schnurstrecken höher als bei vergleichender Verwendung von längeren Messschnurstrecken oder Messeilstrecken (was noch zu beweisen wäre).

Einmessung Distanz Richtung Ost-West zwischen Cheops-PYramide und Chepren-Pyramide

Entlang einer Fluchtschnur in Richtung West-Ost entlang der Südkante (angerissene Basislinie) der Cheops-Pyramide hätten die altägyptischen Schnur- und Seilvermesser auf gleichartige Art und Weise eine Strecke von ca. 230,36/2 m + 111,61 m = 226,79 m einmessen können, was der Strecke vom Basismittelpunkt der Cheops-Pyramide bis zur Ostkante der Chepren-Pyramide in Richtung West entspricht.
Vielfältige Einmessmethoden wären für die alten Ägypter in Frage gekommen, den bereits besprochenen vermutlich mittels einer 12-streckigen hexagonal reduzierten Schnurfigur von Breite : Länge von 2a : 4a im Modellentwurf hergestellten Abstand zwischen der Cheops-Pyramide und der Chepren-Pyramide in Richtung Ost-West in die einmesstechnische Realität zu übersetzen: Hierfür hätten die alten Ägypter entlang einer exakten Fluchtung zur Südkante der Cheops-Pyramide lediglich ein Streckenmaß von (hier rechnerischen) (500 / [2 * (sqrt(3)/3)]) meh = 433,0127019 meh einmessen müssen, was einer Strecke von ca. 226,7254507 m entspricht.
Die einzumessende Distanz wäre dabei aus dem Modellentwurf als messtechnische Näherungslösung von den alten Ägyptern mit den ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln und Methoden aufgrund von Erfahrungswerten hochgerechnet worden, oder aber es kam tatsächlich der messtechnische Einsatz einer mittels Überkreuzschlag erzeugten Figur entsprechender Gesamtschnurlänge bei entsprechender Einteilung in 12 gleichlange Teilstrecken zum Einsatz:
Eine Messstrecke von ca. 433 hexagonal reduzierten meh hätte sich von den alten Ägyptern z.B. mit einer in Südrichtung auf die Seite gelegten Schnurfigur bei Überkreuzschlag bei exakt hintereinander gestezten Einmessungen bewerkstelligen lassen:

(bei Messwerten nach Flinders und bei Annahme der von Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittelten Durschnitts-Elle von 0,5236 m [Flinders, E2])

bei
1 meh = 0,5236 m
1 Remen = 5/7 meh
1 Remen = 0,374 m

500 meh = ((500 / 7) * 5) Remen
500 meh = 700 Remen

bei einer fiktiven Gesamtschnurlänge von (12 * 350) Remen = 4.200 Remen bei a = 350 Remen im Maßstab 1 : 1
bei Messung in 1/2-Remen von 0,374 m / 2 = 0,187 m pro 1/2-Remen
1/2-Remen = 5/7 * 1/2 meh
(5/7 * 1/2) meh = (5/7 * (0,5236 / 2)) m
(5/7 * (0,5236 / 2)) = 0,187 m

1 meh = 7 schesep
1/2-meh = 14 schesep

1 Remen = 5 schesep
1/2-Remen = 5/2 schesep
5/2 schesep = 2,5 schesep

die Schnurfigurbreite einer 2 * 4.200 halbe Remen langen fiktiven Messschnur im Maßstab 1 : 1 zu den Abmessungen auf dem Plateau von Gishe beträgt 2 * 4.200 = 8.400 halbe Remen.

Gesamtschnurlänge (fiktive Schnur bei M 1 : 1) = (12 * 700) halbe Remen
12 * 700 halbe Remen = 8.400 halbe Remen

bei
a = 700 halbe Remen

2a = (2 * 700) halbe Remen
(2 * 700) halbe Remen = 1.400 halbe Remen

4a = (4 * 700) halbe Remen
(4 * 700) halbe Remen = 2.800 halbe Remen

Abmessungen herkömmlich als Rechteck aufgespannter fiktiver Schnurfigur bei (M 1 : 1):
Breite Schnurfigur = 1.400 halbe Remen
Länge Schnurfigur = 2.800 halbe Remen

Hexagonale Reduzierung der Schnrufigurlänge (fiktive Schnurfigur (M 1:1) durch Überkreuzschlag:
Breite Schnurfigur = 1.400 halbe Remen
Breite Schnurfigur = (1.400 * (0,374 / 2)) m
(1.400 * (0,374 / 2)) m = 261,800 m

Länge Schnurfigur = (2.800 / [2 * (sqrt(3)/3)]) halbe Remen
(2.800 / [2 * (sqrt(3)/3)]) halbe Remen = 2424,871131 halbe Remen (rechnerisch)
2424,871131 halbe Remen = 2424,871131 * 0,187 m
2424,871131 * 0,187 m = 453,4509014 m

Höhe Proportionsfigur T1
Die Höhe der Proportionsfigur T1 entspricht der Länge der Schnurfigur bei 1.400 hexagonal reduzierten Remen
Höhe Proportionsfigur T1 = (1.400 * (0,374 / 2)) m
(1.400 * (0,374 / 2)) m = ca. 261,800 m

a (T1) = ca. 261,800 m

Wird der Maßstab der fiktiven Schnurfigur nun im Hinblick auf die auf dem Plateau von Gishe verbauten Originalabmessungen vergrößert, verringert sich die Anzahl erfordelricher Einmessungen entsprechend proportional:

Anzahl erforderlicher Einmessungen mit Schnurfigur bei hexagonal reduzierter Läneg von ca. 261,800 m

Maßstab 1 : 1 = 1 Einmessung von 1.400 hexagonal reduzierten halben Remen
Maßstab 1 : 10 = 10 hintereinander gesetzte Einmessungen von 140 hexagonal reduzierten halben Remen
Maßstab 1 : 100 = 100 hintereinander gesetzte Einmessungen von 14 hexagonal reduzierten halben Remen

1 Einmessung = 1 (fiktive) Schnurfigurlänge
10 Einmessungen = 10 Schnur- oder Seilfigurlängen
100 Einmessungen = 100 Schnurfigurlängen

(bei Schnurfigur, bzw. Seilfigurlänge in Richtung Ost-West um 90° zur Nord-Süd-Achse verdreht)

Hypothetischer Modellentwurf für die Dimensionierung zwischen Cheops-und Chepren-Pyramide

Unter der Voraussetzung der entsprechenden Streckeneinteilung der verwendeten Messschnur in 12 gleichlange Teilstrecken) wäre mit der hypothetischen Harpedonaptenschnur von 84 schesep Länge ein Modellentwurf der Dimensionierung zwischen Cheops-Pyramide und Chepren-Pyramide im Maßstab (...) zu den auf dem Plateau tasächlich verbauten Abmessungen für die alten Ägypter möglich gewesen: Hierfür wäre die 84 schesep lange Schnur bei einer Streckenverteilung von

Breite Schnurfigur = 2a
Länge Schnurfigur = 4a

aufgespannt und anschließend durch Überkreuzschlag verdreht worden. Im Resultat entsteht auf diese Art und Weise (rechnerisch) eine Schnurfigur von 2a Breite mit hexagonal reduzierter Länge von 4a / [2 * (sqrt(3)/3)] = 3,46101615 Strecken:

(bei Verwendung von Flinders auf dem Plateau von Gishe ermittelter Durschnittselle von 0,5236 m)

bei
84 schesep = (7 * 12) schesep
1 schesep = 1/7 meh
1/7 meh = (0,5236 / 7) m
(0,5236 / 7) m = 0,0748 m
1 schesep = 0,0748 m
84 schesep = 84 * 0,0748 m
84 schesep = 6,2832 m

Maßstabsermittlung zwischen Originalabmessung und Verkleinertem Maßstab bei Verwendung einer 84 schesep langen Messschnur:
Originalabmessungen áuf dem Plateau von Giseh (Abstand Ost-West zwischen Basismittelpunkt Südkante Cheops-Pyramide und Ostkante Chepren-Pyramide in Richtung West = 261,800 m
Schnurfigurlänge bei 12-streckiger 84 schesep langer Messschnur:

bei
Breite Schnurfigur = 2a
Länge Schnurfigur = 4a
Schnurfigurlänge = 84 schesep
Breite Schnurfigur = 2a
2a = (2 * (84/12)) schesep
Länge Schnurfigur = 4a
4a = (4 * (84/12)) schesep
(4 * (84/12)) schesep = 28 schesep
1 schesep = 0,0748 m
28 schesep = 28 * 0,0748 m
28 * 0,0748 m = 2,0944 m

Maßstabsermittlung:

261,800 m / 2,0944 m = 125

Aus den oben stehenden Berechnungen resultiert, dass der Maßstab zwischen den Originalabmessungen áuf dem Plateau von Giseh (Abstand Ost-West zwischen Basismittelpunkt Südkante Cheops-Pyramide und Ostkante Chepren-Pyramide in Richtung West in einem proportionalen (maßstäblichen) Verhältnis zur mit der 84 schesep langen Messschnur aufspannbaren Schnurfigur von 1 : 125 steht. Dieser Zusammenhang bedeutet, dass die alten Ägypter dazu in der Lage gewesen wären, die in diesem Abschnitt besprochenen Originalabmessungen (Dimensionierung Cheops-Pyramide zu Chepren-Pyramide) mit einer 84 schesep langen Messschnur bei Grundeinteilung in 12 gleichlange Teilstrecken bei einer Anzahl von jeweils 125 exakt aneinandergestezten Vermessungen zu ermitteln.
Da der originale Abstand Ost-West zwischen Basismittelpunkt Südkante Cheops-Pyramide und Ostkante Chepren-Pyramide in Richtung West sowie der Abstand Südkante Cheops-Pyramide zu Nordkante Chepren-Pyramide in dem bereits aufgezeigten proportionalen Verhältnis von (2a / 2) / ((4a / 2) / [2 * (sqrt(3)/3)] stehen (siehe Proportionsfigur T1) würde dies bei Verwendung der 84 schesep langen Messschnur bei Aufstraffung zur besprochenen Schnurfigur für beide Dimensionierungs-Richtungen (Ost-West und Nord-Süd) die gleiche Anzahl von aufeinanderfolgenden 125 exakt aneinandergestezten Messchritten bedueten. Die Ausrichtung der zur besprochenen Schnurfigur entscheidet dabei über das schließliche Einmessungsergebnis, weil:

Einmessung mit Schnurfigurbreite von (2 * (84/12)) Strecken
(2 * (84/12)) Strecken = 2a
2a = 2 * 7 schesep
2a = 14 schesep
Maßstab 1 : 125 (Original zu Modell)
125 * 14 shesep = 1750 shesep
1750 schesep = 1750 * ca. 0,0748 m
1750 * 0,0748 m = ca. 130,900 m

Ausdehnung zwischen Südkante Cheops-Pyramide und Nordkante Chepren-Pyramide = ca. 131,050 m
(von Flinders ermittelter Messwert)

zum Vergleich:

131,050 m - 130,900 m = 0,15 m

125 * 14 shep = 1750 shesep
1750 schesep = 1750 * ca. 0,0748 m
1750 * 0,0748 m = ca. 130,900 m

Einmessung der Ausdehnung zwischen Südkante Cheops-Pyramide und der Nordkante Chepren-Pyramide mit 84 schesep langer Messschnur
Die für den hypothetischen Modellentwurf der Dimensionierungen zwischen der Cheops-Pyramide und derChepren-Pyramide auf dem Plateau von Gishe hypothetisch in Frage kommende Messschnur von 84 schesep Länge lässt sich hypothetisch auch verwenden, um die Ausdehnung in Richtung Ost-West zwischen dem Mittelpunkt der südlichen Basiskantenlänge der Cheops-Pyramide bis zur Ostkante der Chepren-PYramide in Richtung Westen zu ermitteln.
Hierfür wird die zuvor besprochene Messschnur entlang einer fluchtenden Verlängerung der südlichen Basiskante der Cheops-Pyramide der Breite nach entsprechend oft exakt hintereinandergesetzt (abgetragen). Bei den Dimensionierungen der Messschnur von 84 schesep ergeben sich folgende Proportionszusammenhänge, wenn sie mittels Überkreuzschlag aufgespannt wird, woraus eine hexagonale Reduzierung der ursprünglich rechteckigen Schnurfigur entsteht:

Gesamtlänge der Messcnur = 84 schesep
Breite der Messschnur = 14 schesep
14 schesep = 14 * 0,0748 m
14 * 0,0748 m = 1,0472 m
Länge der Messchnur = (28 / [2 * (sqrt(3)/3)]) schesep
(28 / [2 * (sqrt(3)/3)]) schesep = 24,248711306 schesep (rechnerisch)
(die Länge der Messschnur spielt für die hypothetische Einmessung keine Rolle, sondern die Breite)

abgetragen wird nun auf der Fluchtung Richtung Süd als Verlängerung der Westkante der Cheops-PYramide die Breite der Schnurfigur von 14 schesep auf einer Strecke von 131,050 m.

Dieser Abstand entspricht der Strecke zwischen der Südkante der Cheops-Pyramide und der Nordkante Chepren-Pyramide in Richtung Süd nach den von Flinders auf dem Plateau von Giseh ermittleten Messwerten [Flinders, E2].

Ermittlung des Maßstabs:
131,050 m / 1,0472 m = 125,1432391 (rechnerisch)

Aus den Zusammenhängen resultiert also, dass die Breite der Schnurfigur in Richtung Süd von den alten Ägyptern 125 mal exakt hintereinander weg hätte abgetragen werden müssen, um in etwa die Messstrecke von 131,050 m in Richtung Nord-Süd als Abstand zwischen der Südkante der Cheops-Pyramide und der Nordkante der Chepren-Pyramide bei einem angewendeten Maßstab von 1 : 125 einzumessen.

III.1.6 Nicht die Kreiszahl Pi sondern schnurfigurbasierte Arithmetik erklärt hypothetisch die Proportionen der Cheops-Pyramide
Das Abmessungs- und Proportionszusammenspiel der altägyptischen Mathematik und Vermessungskunst kann tatsächlich verwirren, wenn bestimmte Berechnungen durchgeführt werden, bzw. die Art und Weise der Berechnungen nicht zu den ursächlichen Gründen für Proportionsphänomeniken in altägyptischer Kunst und Baukunst passen.
Die Problematik des (häufig radosophisch inspirierten) Irrrtums, dass die alten Ägypter mit ihrer alten ägyptischen Königselle und den Proportionen der Cheops-Pyramide Bezug auf die (mathematisch) transzendete Kreiszahl Pi (3,1415...) genommen hätten, beruht jedoch ausschließlich auf dem Umstand, dass eine dem rechnerischen Wert von 1/6 Kreiszahl Pi nahekommende Streckenlänge der alten ägyptischen Königselle auf verblüffende Art und Weise ähnelt:

1/6 Kreiszahl Pi = (gerundet) 3,141592654 / 6
(gerundet) 3,141592654 / 6 = (gerundet) 0,523598776

6 alte ägyptische Königsellen = 6 * ca. 0,525 m [nach Lepsius, B18]
6 * 0,525 m = 3,15

6 alte ägyptische Königsellen = 6 * ca. 0,5236 m [nach Flinders, E2; in Bezugnahme auf seine Vermessung des Plateaus von Giseh]
6 * ca. 0,5236 m = 3,1416

Zum Vergleich:

Kreiszahl Pi = (gerundet) 3,141592654
6 alte ägyptische Königsellen = 6 * ca. 0,525 m [nach Lepsius, B18] = 3,15 m
6 alte ägyptische Königsellen = 6 * ca. 0,5236 m [nach Flinders, E2] = 3,1416 m
altägyptische Näherungslösung für die Kreiszahl Pi = 3,16

von den alten Ägyptern (unseres heutigen Wissens) tatsächlich verwendeter Näherungswert für die Beziehung zwischen Kreisumfang und Kreisradius der Kreisfigur war (über die 8-Eck-Annäherung (siehe [Robins / Shute, B24]) der Zahlenwert 3,16.

Aufgrund der annähernden Gleichheit zweier Zahlenwerte in den "strudelartigen Unweiten" der Mathematik und der mathematisch-geometrischen Möglichkeiten zu dem Schluss zu kommen, dass es sich bei der Streckenlänge der alten ägyptischen Königselle um 1/6 Kreiszahl Pi handeln müsse, ist im Sinne wissenschaftlicher Deduktion in Anspielung auf das Ockham´sche Rasiermesser überspitzt formuliert z.B. in etwa so, als würde man davon ausgehen, dass Äpfel und Orangen dasselbe sind, weil ein bestimmter Apfel und eine bestimmte Orange in etwa die (relativ) gleiche Größe besitzen können.
Manche Radosophen heutiger Zeit mögen es sicherlich nicht gerne hören, aber es geschehen in der Welt aufgrund der Vielzahl von möglichen Ereignissen tasächlich zuweilen Ereignisse, die "unglaubliche Zufälle" assoziieren. Und weil Zufälle für manche moderne Radosophen aufgrund ihres Weltbilds nicht in Frage kommen mögen, wird mit manchen radosophischen Theorien angenommen, dass es sich nicht um Zufall, sondern um z.B. "überweltliche" Absicht (oder irgendetwas mögliches anderes) handeln muss.
Im Sinne der (zumindestens in der Bundesrepublik Deutschland per Grundgesetz garantierten) Glaubens- und Überzeugungsfreiheit ist dem nichts entgegenzubringen. Vielfach sprechen die Fakten jedoch für sich: Die Ägyptologie geht heute im Allgemeinen davon aus, dass der Ursprung des Streckenmaßes alten ägyptische Königselle in altägyptischen Nilpegelmessern zu suchen ist (siehe z.B. [Roik,B26]).
Nun mag es noch so unwahrscheinlich wirken, dass der damalige Wasserstrom, der das alte Ägypten in der Antike mit dem lebensspendenden Nass versorgte, sich mit seinen Pegelständen ausgerechnet nach einem Naturgesetz verhalten haben soll, dass auffällige Ähnlichkeit zum rechnerischen Wert von 1/6 Kriszahl Pi haben soll: Letzendlich können wir aber auch nicht beweisen, warum es sich "zufälligerweise" nicht genau so zugetragen haben soll.
Entgegenhalten könnte man der modernen Ägyptologie allerdings dennoch, dass es ihr an Indizien in Bezug auf den Ursprung der alten ägyptischen Königselle fehlt, weshalb sie sich auf die bekannten altägyptischen Nilpegelmesser als Ursprung der altägyptischen Königselle "geeinigt" hat: Es könnte sich jedoch rein argumentativ tatsächlich genau andersherum verhalten haben: Ein altägyptisches Urmaß, das auf "irgendeine" uns heute unbekannte Art und Weise entstanden ist, wurde genutzt, um die Pegelstände des Nils in der Antike zu messen.
Die Frage danach, was denn nun zuerst da war: Die Elle alte ägyptische Königselle oder der Nil (wir wissen es vermutlich bereits) ist allerdings müßig zu stellen: Fakt ist, wir kennen heute keine plausible Begründung für die Entstehung des altägyptischen Streckenmaßes alte ägyptische Königselle, die sich auch beweisen lässt. Und die Ableitung der alten ägyptischen Königselle aus den uns heute bekannten Nilpegelmessern lässt sich eben ordentlich beweisen, weil diese Nilpegelmesser tatsächlich existieren.
Mancher Naturwissenschaftler würde nun vielleicht entgegenhalten, dass es durchaus im Bereich des Möglichen gelegen haben kann, dass die alten Ägypter dazu in der Lage waren, die Gestalt der Erde zu vermessen (im alten Griechenland war dies betreits kein gravierendes Problem mehr, die alten Griechen konnten sogar bereits den Abstand zwischen Erde und Mond mit erstaunlicher Annäherung zum tatsächlichen durchschnittlichen Erde-Mond-Abstand ermitteln[].
Die Vermessung der Gestalt der Erde ist tatsächlich auch heute häufig radosophisches Argument [] und wäre auch eine der wenigen plausiblen in Frage kommenden Möglichkeiten, weshalb die alten Ägypter eine alte ägyptische Königselle von ausgerechnet ungefähr 0,525 Metern Länge verwendeten (Zur Erläuterung: wird aus der äquatorialen Gestalt der Erde ein Streckenmaß z.B. mittels Schattenmessung bei täglichem Sonnendurchlauf ermittelt, müsste lediglich ein ungefähres 1/76tel (oder etwas mehr) der Erdengestalt in der äquatorialen Zone bei einem ungefähren Erdendurchmesser im äquatorialen Bereich von 40.000.000 Metern ermittelt werden, um auf eins Streckemaß von ungefähr 0,525 m zu kommen: Ägypten liegt annähernd im äquatorialen Bereich der Erde und solceh Einmessungen von Sonnendurchläufen sind technisch tatsächlich möglich, erfordern in puncto Exaktheit allerdings sehr lange Messtrecken von idealerweise mehreren Kilometern.
Von der Plausibilität her ist die Annahme der Einmessung der Erdengestalt durch die alten Ägypter als Option allerdings nicht wahrscheinlich genug, um den altägyptischen Nilpegelmessern als eigentlichem Ursprung für die alte ägyptische Königselle den Rang abzulaufen.
Und noch ein dritter potenzieller plausibler Grund kommt in Frage, wenn es um die Beantwortung der Frage geht, wie die alten Ägypter ausgerechnet auf die alte ägyptische Königselle kamen: rein theoretisch hätte tatsächlich ein altägyptischer Königseherrscher existieren können, der mit seinem körpereigenen Ellenmaß eine Vorlage für die Streckenlänge der alten ägyptischen Königselle hätte liefern können: Allerdings hätte dieser potenzielle Königsherrscher vermutlich sehr groß gewesen sein müssen, um eine solche Ellenlänge vorzuweisen.
Und noch ein vierter potenzieller Grund für die Länge der alten ägyptischen Königselle kommt in Frage: Ein tatsächlicher altägyptischer Königsherrscher hat eine körpereigene Ellenlänge geliefert, die anschließend arithmetisch verlängert wurde (aus welchen Gründen auch immer).
Damit soll es genug der Gründe sein, wie die alte ägyptische Königselle als Streckenmaß enstanden sein könnte. Fakt ist: Im wissenschaftlichen Sinne der "Beweisbarkeit" kommen die altägyptischen Nilpegelmesser aufgrund ihrer tatsächlichen Existenz am ehesten für den tatsächlichen Ursprung der alten ägyptischen Königselle in Frage und im Sinne wissenschaftlicher Deduktion nach dem Prinzip des Ockham´schen Rasiermessers gibt es deshalb auch gar nichts weiter zu diskutieren.
Aus den vorhergehenden Zusammenhängen resultiert, dass das Streckenmaß der alten ägyptischen Königselle in Kombination mit Bezugnahme auf bestimmte geometrische und arithmetische Zusammenhänge, die sich hypothetisch aus der von den alten Ägyptern angewendeten Messtechnik ableiten lassen, bestimmte Phänomeniken erzeugt, die bei fehlender Fachkenntnis leicht mit anderen Zusammenhängen verwechselt werden können.

III.3 Sonderfall Pyramide des Niuserre (spitzwinklige Kleinpyramide in der Nekropole von Meroe)
Nach der von Hinkel 1979 gefunden Ritzzeichung ermittelt Müller-Römer in [Müller-Römer, PDF6, S. 5] für den altägyptischen Pyramidenentwurf eine Proportion der Pyramide von 8,5 : 10,6 bzw. gerundet 8 : 5 (auf der schmalen

Erzeugt werden kann diese Proportion als Rechteckfigur als auf der schmalen Seite stehende Rechteckfigur (bei halbierter Basisbreite : Höhe) mit:

a = halbe Basisbreite
b = Höhe

a = 2,5 Einheiten
b = 8 Einheiten

U = a + b + a + b
U = (2,5 + 8 + 2,5 + 8) Einheiten = 21 Einheiten

Proportionsfigur aufspannen mit der Schnur von 84 shesep Länge (lange Schnur)
(bei Ignorieren der Staffelung der langen Schnur von 7-shep-Schritten; bei einer Staffelung von 1-shep-Schritten)

84 shep = lange Schnur
84/4 = 21
oder
21 * 4 = 84

21 Einheiten * 4 = 84 Einheiten

daraus resultiert:
(4 * 2,5) shep + (4 * 8 shep) + (4 * 2,5) shep + (4 * 8 shep) = 10 shep + 32 shep + 10 shep + 32 shep = 84 shep

es folgt also bei dieser Variante

a = 10 shep
b = 32 shep

Die Proportionsfigur ummisst nach dieser Variante also 10 * 32 shep

Das Problem mit dem Entdweder-Oder in der Pyramidenforschung
Viele Autoren beziehen sich mit ihren Veröffentlichungen auf eine bunte Palette an Theorien, die heute bereits darüber existieren, wie altägyptischen Pyramiden erbaut (und eingemessen) worden sein könnten, bzw. geben diese wieder, um dann eventuell auch eine eigene Theorie zu diesen Themen vorzustellen (siehe z.B. [Müller-Römer, B21]). Sinn und Zweck z.B. der auch im Bereich der wissenschaftlichen Bautenforschung tätigen Ägyptologie ist unter anderem ja auch, bestehende Theorien (z.B: zum Pyramidenbau und der Pyramideneinmessung und den hierfür verwendeten Techniken und Methoden) zu sammeln und zu erörtern, um über die bisherigen Theorien zu diskutierenum bestehende Theorien zu erweitern, zu relativieren oder auch neue Theorien zu entwickeln.Zu diesne Themenm haben sich in den letzten Jahrzehnten sehr viele neueund Veränderungen ergeben (einen guten Überblick hierüber gibt z.B. [Müller-Römer, B21].
Aus Gründen des dafür erforderlichen umfangs ist es hier nicht möglich, auf dieses sehr komplexe Thema einzugehen. Aus den Konzepten und Theorien über den Pyramidenbau und die Pyramideneinmessung der alten Ägypter ist jedoch insgesamt abzulesen, dass Autoren verschiedentlich nach dem Prinzip des "Entweder-Oder" nach Lösungen suchten und entsprechende Theoriekonzepte entwickelten:
Wie z.B. an den Veröffentlichunegn Korffs [Korff, B9; B10] zum Thema der altägyptischen Vermessungstechnik abgelesen werden kann, helfen allzu starre Theopriekonzepte darüber, wie die alten Ägypter z.B. Pyramiden Proportionierten nicht wirklich weiter: Werden Theoriekonzepte zu starr, fördern und beleben sie zwar kurzzeitig (oder auch dauerhaft) die fachwissenschaftliche Diskussion, einen wirklichen Schritt in Richtung der Lösung von bereits sehr lange in der Ägyptologie diskutierten Fragestellunegn bringen sie jedoch nicht:
So wie aus der vielfältig unterschiedlichen Art und Weise, wie die alten Ägypter z.B. die Pyramidenbauweise allmählich in relativ dynamischen Konzepten entwickelten (siehe hierzu z.B. [Stadelmann, B30; B31] [Müller-Römer, B21]), gibt es keinen guten Grund für die Annahme, dass die alten Ägypter - vom Angebinn ihrer Kultur - z.B. Baukörper auf eine bestimmte Art und Weise gestalteten und etwa Proportionen für Pyramiden entwarfen:
Die Pyramidenbauzeit im alten Ägypten umspannte Jahrtausende. Aus dem alten Ägypten ist zwar eine gewisse Fixierung auf Traditionen auch im Bereich der Handwerkstechniken und verwendeten Materialien ablesbar (siehe z.B. die Verwendung von Kupferwerkzeugen für die Gesteinsbearbeitung [Stocks, E3]), die Gründe für solche Entwicklungen ist jedoch stets dezidiert zu betrachten und bewerten.
Im Bereich des Gestaltens von Proportionen können es im Hinblick auf das alte Ägypten viele verschiedenen Einflüsse gewesen sein, die zu Zeiten des alten Reichs, also dem Hauptmarker für den Großpyramidenbau im alten Ägypten zu einer allmählichen Entwicklung spezieller gestalterischer Proportionierungskonzepte geführt haben könnten. Deshalb ist es im Sinne von Korff´s Theorien grundsätzlich zuunächst einmal abwegig anzunehmen, dass die alten Ägypter sich gestalterisch und handwerklich über weite Zeiträume auf eine einzige Art und Weise festgelegt hätten, die Proportionen von Pyramiden zu gestalten: Die alten Ägypter waren Fachpraktiker, die ihr Wissen von Generation zu Generation weitergaben, doch solceh Weitergabe von Wissen kann Veränderungen und innovative Neuerungen durch nachfolgende Generationen stets beinhalten.
Die Fixiertheit auf "Musterlösungen" bzw. auf "Idealkonzepte" nahc dme prinzip des Ausschlusses sämtlicher anderer Möglichkeiten und innovativer Dynamik war bisher auch eines der Hauptprobleme von Autoren im Bereich der Radosophie:
Einige radosophische Autoren der Vergangenheit und der Moderne und Veröffentlichungen in diesem Bereich versuchten (teils beharrlich), ein Idealkonzept auf die Existenz der Cheops-Pyramide anzuwenden und verloren sich damit in Theoriedarlegungen, die sich stark von dem Konzept des Ockham´schen Rasiermessers entfernten, einem Wissenschaftskonzept, das einen Sinn für die Theoriefindung in der Wissenschaft darin sieht, stets die einfachste Möglichkeit auch als die naheliegendste und damit zu präferierende Lösung anzusehen (die jedoch im Übereinklang mit Indizien und tatsächlcih vorhandenen Möglichkeiten stehen sollte; siehe z.B. die im Hinblick auf die Proportionen der Cheops-Pyramide und/oder des Plateaus von Giseh kritischen veröffentlichten Ergebnisse der ägyptischen Expedition Napoleon Bonapartes als Begleiterscheinung seines Ägyptenfeldzugs (1798 und 1801), obwohl die Erforschung Ägyptens durch Napoleons Konglomerat an Künstlern und Wissenschaftlern seiner Zeit im Nachhinein tatsächlich kulturfördernde Ergebnisse an den Tag legten [Janosi, B8, S. 23]. Auch die Theorien von John Taylor oder Piazzi-Smith [Janosi, B8, S. 24] wiesen die Charakteristik von "starren" Theoriekonzepten auf, die im Sinne der Wissenschaft die ursprüngliche Motivation der wissenschaftlichen Fragestellung aus dem Blickfeld verloren, um ihre eigene Theorie in den Vordergrund zu stellen: Hier wurde im Bereich der Radosophie das Prinzip wissenschaftlicher Auseinandersetzung schließlich verkehrt: Nicht Indizien und Beweise formten eine Theorie, sondern die Indizien und Beweise wurden an die entwickelte Theorie angepasst.
Auf eben diese Art und Weise sind auch die Theorien Korff´s zum altägyptischen pyramidenbau zu bewerten: Indizioen und Beweise werden solange auf eine Ideal konzeptionierte Theorie angepasst, weshalb ein Autor unter Umständen schließlich immer mehr abstruse Gründe findet (oder sogar finden muss) um zu Beweisen, dass die eigeneTheorie wahr sein muss: Im Zweifelsfall bleibt dann bei vorherrschender Kritik gegen eine Theorie manchmal nur die vehemente Behauptung, dass sich alle Zweifler eben irren oder den Wahrheitsgehalt der Behauptungen eben nicht erkannt haben oder nicht zu würdigen wissen (siehe z.B. [Korff, B9; B10]: Dabei richtet sich Kritik an einer wissenschaftlichen Theorie i.d.R. nicht gegen eine Autor als Person (oder sollte es zumindestenss nicht tun), sondern soll eben der Diskussion und Theorieerweiterung dienen.
Doch auch Ockham´s Rasiermesser schützt nicht vor Fehleinschätzungen, wenn nicht sämtliche indizien bei entsprechend vorhandener Fachkompetenz bewertet werden: So ist z.B. Graefe´s Theorie [Graefe, PDF1] über die vereinfachte Einmessung einer Pyramide im alten Ägypten über die Einmessung diagonal über die Ecke im Proportionalen Verhältnis der jeweils waagerecht und senkrecht zueinander stehenden Messstrecken von 1 : 1 interessant, lässt jedoch eine intensivere Auseiandersetzung mit den zahlreichen andersartigen Proportionsphänomenen vermissen, die sich aus den existenten Überlieferungen, Artefakten und Bauwerken für die altägyptische Handwerkskunst im Abgleich mit der altägyptischen Mathematik und Vermessungstechnik ablesen lassen.

[u]QUELLEN:

(siehe Quellenliste im ersten Beitrag dieses Themas)
NACHGETRAGENE QUELLEN:
Bücher:
[NB1] Herodot: Historien. 7. Aufl., Verlag Pathmos / Artemis & Winkler, Düsseldorf, 2006

[NB2] Reiss, K./ Schmieder, G.: Basiswissen Zahlentheorie - Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche. 2. Aufl., Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2007.

[NB3] du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 7. Aufl., dtv Wissen / Deutscher Taschenbuch Verlag, 2013.

(deutsche) Wikipedia:
[NW1] Seite „Längenmaß“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 29. Juli 2022, 02:02 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =224898590 (Abgerufen: 13. September 2022, 04:14 UTC)

[NW2] Seite „Plethron“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 1. Juli 2022, 08:50 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =224134038 (Abgerufen: 13. September 2022, 04:11 UTC)

[NW3] Seite „Manhattan“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. September 2022, 09:45 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =226068862 (Abgerufen: 13. September 2022, 05:00 UTC)

[NW4] Seite „Rom“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 27. August 2022, 21:02 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =225694824 (Abgerufen: 13. September 2022, 05:02 UTC)
Dateianhänge
Abb. 10 Modellentwurf Proportionen Cheops-Pyramide mit 72 shesep-Schnur.jpg
Der Modellentwurf der Proportionen der Cheops-Pyramide ist mit einer 72 schesep langen Schnur bei einer Einteilung in schesep-Schritte möglich.
Mathematisch wäre der Entwurf im Hinblick auf die resultierende Böschungslänge nicht absolut exakt. Vermessungstechnisch dürfte diese Ungenauigkeit im Modellentwurf bei Verwendung einer 72 schesep langen Messschnur jedoch kaum aufgefallen sein. Hypothetisch ist es deshalb vorstellbar, dass die alten Ägypter diese Schnurfigur tatsächlich aufgespannt haben und möglicherweise auch für andersartige Vermessungszwecke bei Vermessung kleinerer Areale nutzten. Falls dem so gewesen wäre, liegt die mögliche Vermutung nahe, dass die alten Ägypter in diese spezielle Aufspanntechnik der 72 schesep langen Messchnur eine besondere und für sie interessante (möglicherweise "göttliche") Ästhetik hinein interpretierten.
Bautechnisch liegt die aus dieser Aufspanntechnik der 72 schesep langen Schnur resultierende Proportion im Hinblick auf die Errichtung einer statisch stabilen Pyramide vermutlich in einem "gesunden Mittelfeld".

Der Umfang der mit 3 Schnurstrecken von 72 schesep erzeugbaren Rechteckfigur, in die sich die Proportionen der Cheops-Pyramide (bei Annahme der Werte 440 Ellen Basislänge und 280 Ellen Höhe (siehe [...]) einbeschreiben lassen, beträgt:

bei
a = halbe Basislänge Schnurfigur
b = Höhe Schnurfigur

2a + b + 2a + b = 44 schesep + 28 schesep + 44 schesep + 28 schesep
44 schesep + 28 schesep + 44 schesep + 28 schesep = 144 schesep

Die Böschungslänge der resultierenden Pyramiden-Proportion beträgt bei Verwendung einer 72 schesep langen Schnur 36 schesep wobei 2 * 36 schesep 72 schesep ergeben.

Die Aufspanntechnik lässt sich entweder als Resultat von drei aufeinanderfolgenden Aufmessungen oder aber mit 3 verschiedenen, gleichlangen Messschnüren realisieren. Für die Aufspannung nach dieser besprochenen Methode ist das vorherigen Aufreissen eines Rechten Winkels erforderlich, was für die alten Ägypter keine Problematik darstellte.

Hinweis: 1 schesep = 1/7 alte ägyptische Königselle (nach [Lepsius, B18]).

Die tatsächlichen mathematisch korrekten Proportionszusammenhänge eines rechtwinkligen Dreickes mit a = 22 zu b = 28 Strecken (als Modellentwurf) ergeben sich wie folgt:

Berechnung rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras):
a_1 = 22
b_1 = 28
c_1= sqrt(a² + b²)
c_1 = 35,60898763

Differenz zwischen idealisiertem Böschungslänegnwert 36 schesep und 35,60898763 schesep (mathematisch korrektem Wert (im Modellentwurf):
36 schesep = idealisierter Böschungslängenwert in schesep (Modellentwurf; hier Hypothenuse c_2
35,60898763 schesep (mathematisch korrekter Böschungslängenwert in Bezunahme auf Modellentwurf, (hier korrekte Hypothenuse c_1)

Differenz c_2 zu c_1 (dezimal):
c_2 - c_1 = 36 - 35,60898763
36 - 35,60898763 = 0,39101237 (gerundet)

Differenz c_2 zu c_1 (prozentual; Überschussberechnung, weil c_1 den korrekten mathematischen Wert darstellt):
c_2 / (c_1 / 100) = 101,0980721 %
c_2 in % - c_1 in Prozent = Differenz (Überschuss) in Prozent
101,0980721 % - 100% = 1,0980721%
Differenz (Überschuss) in Prozent = 1,0980721%

Der Messfehler, der aus der Verwendung einer 36 Schesep langen Strecke (im Modellentwurf) für die Böschungslänge der Cheops-Pyramide bei tatsächlicher Ausführung auf Grundlage der genannten Schnurfigur-Konstellation hypothetisch entstanden wäre, hätte sich also auf gerundet etwa 1% belaufen. Dieser theoretische messtechnische Fehler muss den alten Ägyptern bei Anwendung der hier genanten Hypothese nicht einmal zwangsläufig aufgefallen sein: Selbst die Anfertigung und Verwendung von Vermessungs-Werkzeugen aus Schnur und Seil erzeugt stets minimale Toleranzen im Vergleich zu Idealen mathematisch korrekten Berechnungen von mit solchen Vermessungswerkzeugen durchführbaren Vermessungen. Im Idealfall hätten sich die genannten Unkonstanten im Verlauf der Einmessung der Cheops-Pyramide einfach ausgeglichen.
Es ist aber auch bekannt, dass an altägyptischen Pyramidenbauten im Verlauf des Prozesses einer Baustufe reichlich korrigiert wurde. Abzulesen ist die z.B. an dem (einstmals zerstörten und wieder zusammengesetzten) Pyramidion der Grabpyramide des Snofru in Dahschur/Nord [Stadelmann, B30,Taf. 29]: Es spielte bei Betrachtung fertiggestellter altägyptischer Großpyramidem im ästehtischen Sinne keine Rolle, ob z.B. der oberste Teil einer altägyptischen Großpyramide in jeder Hinsicht akkurat ausgeführt war: Der Aufwand, jedes einzelne Bauteil eines Großmonuments bis ins winzigste Detail maßgerecht zu gestalten, hätte für die alten Ägypter einen exorbitanten Aufwand bedeutet. Korrekturen im Bauprozess, z.B. aufgrund sich aufaddierender Messfehler, sind deshalb wesentlich wahrscheinlicher und entsprechen auch einer gesunden und ausgewogenen Baupraxis angesichts der von den alten Ägyptern verwendeten Mittel, Methoden, Werkzeugen, Materialien und handwerklichen Bearbeitungstechniken. Diese Art von Korrekturen und pragmatischen Anpassungen ist aus vielen altägyptischen Bauwerken abzulesen (siehe z.B. Stadelmann, B30, diverse Bildtafeln]).

Berechnung des Streckenunterschieds (in Metern) zwischen c_1 und c_2 in Anwendugn auf die Abmessungen der Cheops-Pyramide:
bei
a_1; a_2 = halbe Basislänge Cheops-Pyramide
a_1; a_2 =220 Ellen

b_1; b_2 = Höhe Cheops-Pyramide
b_1; b_2 = 280 Ellen

bei
1 Elle = ca. 0,5236 m (nach [Flinders, E2])

Berechnung Böschungslänge Cheops-Pyramide (theoretisch rechnerisch) in Metern:
a_1; a_2 = 220 Ellen
a_1; a_2 = 220 * 0,5236 m
220 * 0,5236 m = 115,192 m
a_1; a_2 = 115,192 m

b_1; b_2 = 280 Ellen
b = 280 * 0,5236 m
280 * 0,5236 m = 146,608 m
b_1; b_2 = 146,608 m

(Satz des Pythagoras:)
c_1 = sqrt(a_1² + b_1²)
c_1 = sqrt((220 * 220) + (280 * 280))
c_1 = sqrt(48400 + 78400)
sqrt(126800) = 356,0898763 Ellen
c_1 = 356,0898763 Ellen

356,0898763 Ellen = ca. (356,0898763 * 0,5236) m
ca. (356,0898763 * 0,5236) m = ca. 186,4486592 m
c_1 = ca. 186,4486592 m

Berechnung Böschungslänge Cheops-Pyramide (idealisiert, mit seked 5 + /2) in Metern:

(dezimale Vergleichsbrechung für besseren Überblick)

In dieser Berechnung ist c_2 Resultat aus der zweifachen Anwendung der Formelstellung (7 / verdoppelter seked) * Basislänge Pyramide, also (7 / (2 * 5 + /2)) * 2a. In der Ersten Berechnung wird dabei die basiskantenlänge der Cheops-PYramide in Ellen angenommen. In der zweiten Berechnung wird das Ergebnis aus der ersten Berechung, das die hypothetische Höhe der Cheops-Pyramide in Ellen darstellt wier die Basiskantenlänge einer Pyramide angesehen, dessen Höhe berechnet werden soll. Es resultiert aus dieser Berechnungsfolge ein Einblick in die besondere Charakteristik der Proportionen der Cheops-Pyramide, die als Näherungslösung eine geometrische Sonderstellung einnimmt:

Hypothetische Berechnung 1: Höhe der Cheops-Pyramide über seked ermitteln:
bei
seked = 5 + /2

a_2 = 220 Ellen (halbe Basislänge Cheops-Pyramide)
2a_2 = 2 * 220 Ellen
2a_2 = 440 Ellen

b_2(seked) = gesuchter Wert für die Höhe der Cheops-Pyramide in Ellen
b_2(seked) = ((7 / (2 * 5 + /2)) * 440) Ellen

b_2(seked) = ((7 / (2 * 5 + /2)) * 440) Ellen
b_2(seked) = (7 / 11 * 440) Ellen
b_2(seked) = (0,6363... * 440) Ellen
b_2(seked) = 280 Ellen

Hypothetische Berechnung 2: Böschungslänge der Cheops-Pyramide über seked ermitteln:
bei
b_2(seked) = 280 Ellen (wie halbe Basiskantenlänge einer Pyramide angenommen)
2b_2(seked) = (2 * 280) Ellen
2b_2(seked) = 560 Ellen

c_2(seked) = Böschungslänge Cheops-Pyramide (wie zu ermittelnde Höhe einer Pyramide anzusehen)
c_2(seked) = ((7 / (2 * 5 + /2)) * 560) Ellen
c_2(seked) = (7/11 * 560) Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

Bei Durchrechnung des hypothetisch mit einer 72 schesep langen Schnur möglichen Erzeugung der Proportionen der Cheops-Pyramide
unter Anwendung des seked dürfte einem altägyptischen Rechenkundigen aufgefallen sein, dass sich auf diese Art und Weise die im Originalmaßstab zu verbauende Böschungsstreckenlänge der Cheops-Pyramide in Ellen ermitteln lässt, jedoch vom möglicherweise erwarteten Ideal relativ minimal abweicht:

Berechnung Differenz zwischen c_2(seked) und mathematisch korrektem c_1:
bei
c_1 = 356,0898763 Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

(Überschussermittlung; dezimal):
Überschuss Streckenlänge = c_2 - c_1
c_2 - c_1 = 356,3636... Ellen - 356,0898763 Ellen
356,3636... Ellen - 356,0898763 Ellen = ca. 0,273760064 Ellen

(Überschussermittlung; prozentual):
c_1 = 356,0898763 Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

c_1 = 100%
c_2 = (100 + x)%

x = c_2 / (c_1 / 100))
x = ((100 + x)%) / 1%
x = ((100 + x)%) / (c_1/ 100)
x = (356,3636... / (356,0898763 / 100)) %
x = (356,3636... / 3,560898763) %
x = 1,000768795%

Berechnung Differenz zwischen c_2(seked) und idealisiertem c_1(Modellentwurf):
bei
c_2(Modellentwurf) = 360 Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

(Differenzermittlung, dezimal):
c_2(Modellentwurf) - c_2(seked) = Differenz
c_2(Modellentwurf) - c_2(seked) = 360 Ellen - 356,3636... Ellen
360 Ellen - 356,3636... Ellen = 3,6363... Ellen
Differenz = 3,6363... Ellen

Berechnung prozentuale Überschussermittlung zwischen c_2(seked) und idealisiertem c_1(Modellentwurf):
bei
c_2(seked) = 356,3636... Ellen
c_2(Modellentwurf) = 360 Ellen

c_2(seked) = 100%
c_2(Modellentwurf) = (100-x)%

x = c_2(Modellentwurf) / (c_1(seked) / 100))
x = ((100 + x)%) / 1%
x = ((100 + x)%) / (c_1/ 100)
x = (360/ (356,3636... / 100)) %
x = (360 /3,563636...) %
x = ca. 101,0204082%

Differenzermittlung in Prozent:
ca. 101,0204082% - 100% = 1,0204082%
Differenz in % = 1,0204082%
Es muss auch Menschen wie mich geben. Sonst gäbe es mich nicht. (aus eigener Feder)
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