Aufgabe Nr. 57 des Papyrus Rhind

Palaeozoologie, Palaeobotanik und alle archäologischen Hilfswissenschaften, sowie Methodendiskussionen innerhalb der Archäologie.

Aufgabe Nr. 57 des Papyrus Rhind

Beitragvon Sculpteur » 22.09.2022 21:30

(Trotz sorgfältiger Prüfung übernimmt der Verfasser dieses Beitrags keine Gewährleistung für die Korrektheit von Berechnungen und für evtentuelle inhaltliche Fehler in diesem Beitrag; gilt auch für Übersetzungen.)

Der Paphyrus Rhind (engl. Rhind Mathematical Paphyrus, kurz RMP) ist ein in der Mitte des vorletzten Jahrhunderts entdeckter altägyptischer Papyrus. Gefunden wurde der Rhind Papyrus in den Überresten eines kleinen Gebäudes nahe des Totentempels Ramses II in Theben. Über Umwege gelangte der Papyrus bei einem Kauf auch anderer altägyptischer Antiquitäten schließlich in die Hände von Henry Rhind, nach dem der Papyrus heute benannt ist. Rhind hielt sich aus gesundheitlichen Gründen 1855-56 und 1856-57 in Ägypten auf. Nach Rhind´s Tod auf der Rückreise von einer weiteren Ägyptenreise in 1863 wurde der Papyrus Rhind zusammen mit einem weiteren altägyptischen mathematischen Dokument, das heute als die Leather Roll (deutsch: Lederrolle) (British Musem Index: BM 10250) bekannt ist, vom British Museum von Rhinds Testamentsvollstrecker aufgekauft (Informationen vom Verfasser dieses Beitrags übersetzt aus [Robins/Shute, B2,9]).

Der Papyrus Rhind enthält diverse Anweisungen für das Erlernen verschiedener mathematischer Berechnungen und eine umfangreiche Liste von Stammbrüchen (auf der Rückseite des Papyrus).
(Hinweis: Stammbrüche sind Brüche, deren Zähler stets den Zahlenwert 1 aufweisen). Der echte Bruch 2/3 stellt für das alte Ägypten die einzige uns heute bekannte Ausnahme hiervon dar [B2,Vorwort[/i]).

Der Papyrus Rhind stellt heute eines der wenigen, uns überhaupt vorliegenden altägyptischen mathematischen Dokumente dar [Wg2].

Das im Papyrus Rhind beschriebene Problem Nr. 57 befasst sich mit der Frage, wie die höhe einer Pyramide (nach altägyptischer, im Papyrus Rhind überlieferter Methodik berechnet werden kann. [Robins/Shute B2] schreiben hierzu:

[ZITAT]
In no. 57 the pyramid has a base of 140 cubits and it is required to find the height. This is obtained by dividing 7 by twice the seked to get /3, which is then multiplied by 140 to give a height of 93 + /3 cubits.
[ZITAT ENDE] [B2, 47]

(Hinweis: Der bei Robins/Shute verwendete Überstrich über dem Zahlenwert 3 kann hier nicht dargestellt werden. Alternativ wählt der Verfasser den Schrägstirch (engl. slash). Der Begriff cubit kann aus dem Englischen mit Elle (siehe z.B. ägyptische Königselle [Wg1]) übersetzt werden).

In der Übersetzung des Verfassers kann aus dem Zitat von Robins/Shute, dass die Aufgabe Nr. 57 des Rhind Papyrus bespricht, der folgende mathematische Zusammenhang in etwa wie folgend abgeleitet werden:

Teile den Zahlenwert 7 durch den verdoppelten [i]seked (von 5 + /4; Anm. des Verf.) um Drittel (einer Elle) zu erhalten und multipliziere anschließend mit der Basisbreite (der Pyramide) von 140 Ellen und Du erhälst die Höhe (der Pyramide) von 93 + /3 Ellen.[/i]

Janosi beschreibt das Prinzip des seked folgendermaßen:

[ZITAT]
Der Neigungswinkel wurde auf einfache und doch präzise Weise bestimmt, nämlich durch die Messung des Rücksprunges zu einer Elle Höhe (1 Elle = 7 Handbreit = 0,525 m); die alten Ägypter nannten dieses Verhältnis ein seked.
[ZITAT Ende] [Janosi, B1,51]

Bei dem von Robins/Shute ursprünglich verfassten und hier durch den Verfasser übersetzten zitierten Text zeigt sich eins der Hauptprobleme in der Vermittlung von mathematischen inhalten: Werden mathematische Zwischenschritte und mögliche Individuallösungen in mathematischen Beschreibungen ausgelassen, kann dies bei Rezipienten, die versuchen, eine Aufgabenstellung nachzuvollziehen, potenziell Verwirrung stiften und Blockaden erzeugen (bzw. antriggern):
Wer keine Erfahrungen im Umgang mit der Stammbruchrechnung besitzt, dem mag die genannte Aufgabenstellung (je nach mathematischer Erfahrung) potenziell wie eine schwer zu knackende Nuss erscheinen. Das Hauptproblem der genannten Aufgabenstellung äußert sich tatsächlich in der Frage, wie man den Zahlenwert 7 durch einen Zahlenwert von 10 + /2 teilt (was einem verdoppelten seked von 5 + /4 entspricht).

Die genannte Aufgabenstellung lässt sich jedoch relativ simpel auflösen, wenn der ursprüngliche genannte Zahlenwert-Zusammenhang erweitert wird:

Das proportionale Zahlenwert-Verhältnis 7 zu 10 + /2 kann durch einfache Verdopplung erweitert werden und zeigt damti sehr deutlich auf, in welchem proportionelen Zahlenwert-Zusammenhang der Zahlenwert 7 zu dem Stammbruch 10 + /2 steht:

7 : 10 + /2 (Verdopplung)
14 : 21

Aus dem proportionalen Zahlenwert-Zusammenhang lässt sich bei entsprechender mathematischer Erfahrung ablesen, dass beide Zahlenwerte sich durch den Faktor 7 teilen lassen, weil:

14 / 7 = 2; 21 / 7 = 3

Daraus resultiert ein proportionales Verhältnis zwischen beiden Zahlenwerten von 2 : 3 oder auch 2/3.

(Zur Erinnerung: Der echte Bruch 2/3 stellt die einzige uns heute bekannte Ausnahme dar. Ansonsten rechneten die alten Ägypter unseres heutigen Wissens ausschließlich mit Stammbrüchen.)

Auf Grundlage dieser Erkenntnis lässt sich die Aufgabe Nr. 57 des Papyrus Rhind bei entsprechender Kenntnis der Möglichkeiten der Stammbruchrechnung entsprechend auflösen:

7 geteilt durch 10 + /2 entspricht 14 geteilt durch 21. Deshalb lässt sich 7 zu 10 + /2 zu (2 * 3 + /2) zu (3 * 3 + /2) auflösen weil:

2 * 3,5 zu 3 * 3,5 = 7 zu 10,5 (dezimal)


Nun kann die Aufgabe Nr. 57 des Papyrus Rhind auf insgesamt einfachere Art und Weise aufgelöst werden:

Berechnung: 7 / 10 +/2

7 / (10 + /2) entsprechen 14 / 21

in Stammbruchrechnung (nach modifizierter Methode des Verfassers):


(Aufgabe: Nach Erkennen des Zusammenhangs, dass 7 / (10 + /2) den Zahlenwert 2/3 ergibt, muss der Zahlenwert 2/3 anschließend noch mit 140 multipliziert werden, um die Höhe der Pyramide zu ermitteln (der Zahlenwert 140 entspricht der Anzahl in Ellen, die der Basis der in Aufgabe Nr. 57 besprochenen Pyramide entsprechen):

(in Stammbruchrechnung; nach modifizierter Methode des Verfassers)

Brechnung: 2/3 * 140
1; 2/3
10; 6 + 2/3 |
100; 66 + 2/3 |
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1; 2/3 |
2; 1 + /3 |
4; 2 + 2/3 |
40; 26 + 2/3 |
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
100; 66 + 2/3 |
40; 26 + 2/3 |
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
140; 93 + /3 | (total)

Die Höhe der in Aufgabe Nr. 57 besprochenen Pyramide entspricht demanch 93 + /3 Ellen (siehe [Robins/Shute, B2,47]).

QUELLEN:
[B1] Janosi, P.: Die Pyramiden - Mythos und Archäologie, 2., durchgesehene und aktualisierte Aufl. Verlag CH Beck, München, 2010.

[B2] Robins, G / Shute, C: The Rhind Mathematical Papyrus - An ancient Egyptian text. British Museum Publications, London, 1987.

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